（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（2）

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．向量，满足，，与的夹角为60°，则（    ）

A． B． C．4 D．2

4．m，n为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量（百件）与单位成本（元）满足回归直线方程，则以下说法正确的是（    ）

A．产量每增加100件，单位成本约下降元

B．产量每减少100件，单位成本约上升元

C．产量每增加100件，单位成本约上升元

D．产量每减少100件，单位成本约下降元

6．已知函数在处取得最小值，则函数的一个单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

7．流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（    ）

A．1．2 B．1．7 C．2．0 D．2．5

8．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（    ）

A．该教师退休前每月储蓄支出2400元

B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍

C．该教师退休工资收入为6000元月

D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少

10．已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．设函数，则（    ）

A．的最大值为2 B．在区间上单调递增

C．是偶函数  D．的图象关于点对称

12．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为  B．的最小值为

C．的最小值为5 D．的最小值为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知三棱锥相邻的两条棱长分别为3和4，其余棱长均为5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．

14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______．

15．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则、两岛屿的距离为______海里．

16．在等差数列中，若，，则_____；使得数列前项的和取到最大值的_____．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．

在中，角，，的对边分别为，，，若，，______，求的面积．

18．（12分）如图，四棱锥中底面为矩形，底面，，，E、F分别为CD、PB的中点．

（1）求证：EF⊥平面PAB；

（2）求三棱锥的体积．

19．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为．证明：．

20．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．如下表：

（1）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；

（2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．

附：，其中．

21．（12分）设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．

（1）直线的斜率为，求的离心率；

（2）若直线在轴上的截距为，且，求a，b．

22．（12分）已知函数，其中为常数，且．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值．

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（二）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】，，故选D．

2．【答案】A

【解析】由，知：当且仅当时取等号，

当时，有，而由上知，即，

∴；

当时，若，显然，故不一定有，

∴是的充分不必要条件，故选A．

3．【答案】D

【解析】由已知可知：，

∴，故选D．

4．【答案】B

【解析】A．因为，，所以当时，不满足，故错误；

B．根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B正确；

C．因为，，所以可能是异面直线，故错误；

D．因为，，所以时也满足，故错误，

故选B．

5．【答案】A

【解析】表示产量每增加100件，单位成本约下降元，故选A．

6．【答案】D

【解析】因为，

且在处有最小值，所以，

所以，所以，

取的一个值为，

所以，

令，所以，

令，所以此时单调递减区间为，故选D．

7．【答案】B

【解析】把，代入，得，解得，

所以，

由，得，则，

两边取对数得，得，故选B．

8．【答案】C

【解析】①∵(其中m为整数)，

∴，∴，

∴函数的值域为；

②由定义知：当时，，；

当时，，，

故在上不是增函数，所以②不正确；

③由，得，

∴，∴，

所以函数是周期函数，最小正周期为1；

④由②可知：在时，关于y周对称；

又由③可知：函数是周期函数，最小正周期为1，

∴函数的图象关于直线对称，

正确结论为①③④，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】ACD

【解析】退休前工资收入为8000元月，每月储蓄的金额占，则该教师退休前每月储蓄支出元，故A正确；

该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，

则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为元月，则，即元月，故C正确；

该教师退休前的旅行支出为元，退休后的旅行支出为元，

该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的倍，故B错误；

该教师退休前的其他支出为元，退休后的其他支出为元，

该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正确，

故选ACD．

10．【答案】AD

【解析】A．在上单调递减，所以当时，，故A正确；

B．当时，不成立，故B不正确；

C．当时，，两边同时除以，得，故C不正确；

D．当时，两边同时乘以，得，或两边同时乘以，得，所以，故D正确，

故选AD．

11．【答案】CD

【解析】．

选项A：的最大值为，A错误；

选项B：，所以，因此是单调递减，B错误；

选项C：，它是偶函数，C正确；

选项D：由，得，所以函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，D正确，

故选CD．

12．【答案】AD

【解析】对A，因为，所以，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A正确；

对B，因为，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，

故B错误；

对C，因为，所以，

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立，不符合题意，故C错误；

对D，因为，，所以，即，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故D正确，

故选AD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】设在三棱锥中，，，，．

取的中点，则平面，

故的外心就是外接球的球心，，

故求得表面积为，故答案为．

14．【答案】

【解析】由题意可得，解得且，

因此，实数的取值范围是，

故答案为．

15．【答案】

【解析】连接AB，依题意，，，

中，，故由正弦定理得，

即，得．

中，，故．

中，，

故由余弦定理得，

，

故答案为．

16．【答案】95

【解析】设等差数列的公差为，

∵，，∴，，

解得，．

∴．

令，解得．

∴使得数列前项的和取到最大值的．

故答案为9；5．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】条件选择见解析，面积为．

【解析】选择条件①：因为，

所以，所以，

因为，所以，所以，，

所以．

选择条件②：因为，

所以，

即，

所以，，

因为，所以，

所以．

选择条件③：因为，

由正弦定理可得，

所以，

即，

所以，

因为，所以，

所以，即，

因为，所以，

所以．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点，连接，．

∵为的中点，∴且，

∵为矩形，∴，，

∵为的中点，∴四边形为平行四边形，∴．

∵，为的中点，∴，

∵底面，∴，

∵，，∴平面，

∵，∴，

∵，∴平面，

∵，平面．

（2）由（1）知，，且为以为底面的三棱锥的高，

∵，∴，∴．

19．【答案】（1），；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，所以，故，

当时，，

当时，，

且也满足上式，所以数列的通项公式为，．

（2），

所以

．

20．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为；（2）．

【解析】（1）由已知得

∴，

∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关．

（2）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，

分别设为，，，．

∵，∴．

设含有在“个人空间”感到幸福的学生为事件A，，

∴，则．

21．【答案】（1）；（2），．

【解析】由题意知，，设，则，

又因为，解得，所以．

（1）若直线的斜率为则，即，

将代入，得，

所以，解得或（舍去），

故的离心率为．

（2）由题意，原点为的中点，轴，

所以直线与轴的交点是线段的中点，故，

即，①

由，得，即，

设，由题意知，则，即，

所以，把点代入C的方程，得，②

将①及代入②得，

解得，，故，

所以，．

22．【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或．

【解析】（1），，

令，得或1，则列表如下：

所以在和上单调递增，在上单调递减．

（2）∵，

令，，，

因为在处取得极值，所以．

①时，在上单调递增，在上单调递减，

所以在区间上的最大值为，令，解得；

②当，；

(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得，

而，

∴，

∴，

(ii)当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得而，

所以，解得，与矛盾；

(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，

所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，

综上所述，或．