2020-2021学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形
2．（2分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．对某池塘中现有鱼的数量的调查，最适合采用全面调查
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件
D．对角线相等的四边形是矩形
4．（2分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2分）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7．（2分）计算的结果是 ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）把分式进行通分时，最简公分母为 ．
10．（2分）在下列四个转盘中，③，④转盘分成8等分，若让四个转盘均自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的可能性最大的转盘是 ．（填序号）
11．（2分）反比例函数y＝（k为整数，且k≠0）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为（2，1），则k的值是 ．
12．（2分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
13．（2分）已知点A（1，m），B（2，n），C（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则m，n的大小关系是 ．
14．（2分）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是 ．
15．（2分）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
16．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线y＝上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为 ．
三、解答题(本大题共10小题,共68分)
17．（6分）计算：（1）（﹣3）×；
（2）（1﹣）2+÷．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（4分）先化简，再求值：，其中x＝5．
20．（6分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，我校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了一部分学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要““B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 名学生进行调查统计，扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角大小为 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生约有多少人？
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．求证：BD＝DE．
22．（6分）某商场出售一批衬衫，衬衫的进价为80元/件．在试销售期间发现，定价在某个范围内时，该衬衫的日销售量w（件）是日销售价a（元）的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每天可售出30件．
（1）求出w与a之间的函数表达式；
（2）若商场计划销售此种衬衫的日销售利润为1000元，则其售价应定为多少元？
23．（6分）反比例函数y1＝（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当y1＞y2时，x的取值范围为 ；
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
24．（6分）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（+++…+）（+1）＝ ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，请直接写出∠BDG的度数．
26．（10分）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形﹣﹣先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图﹣﹣根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
【应用】
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
2020-2021学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
1．（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义求解．
【解答】解：A．是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不能确定是否为轴对称图形（正方形、菱形、长方形为轴对称，其他的平行四边形不是轴对称），不符合题意．
D．是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（2分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．对某池塘中现有鱼的数量的调查，最适合采用全面调查
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件以及矩形的判定分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；
B、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
C、“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件，故此选项正确；
D、对角线相等且平分的的四边形是矩形，故此选项错误；
故选：C．
4．（2分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，即两个变量的乘积为非零常数k．
【解答】解：A．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
B．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
C．x与y的乘积全都等于﹣6，故变量y是x的反比例函数，符合题意；
D．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
故选：C．
5．（2分）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【分析】将代数式化简即可判断．
【解答】解：（﹣）2
＝3﹣2××+6
＝9﹣2
＝9﹣2×3
＝9﹣6，
故选：A．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
【分析】根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
故选：B．
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7．（2分）计算的结果是 3 ．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0
9．（2分）把分式进行通分时，最简公分母为 12a2b ．
【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
【解答】解：分式的分母分别是3a、2a2、4ab，最简公分母为12a2b．
故答案为：12a2b．
10．（2分）在下列四个转盘中，③，④转盘分成8等分，若让四个转盘均自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的可能性最大的转盘是 ② ．（填序号）
【分析】直接利用已知转盘得出每组的概率进而得出答案．
【解答】解：∵P①＝＝，P②＝＝，P③＝，P④＝＝，
∴指针落在阴影区域内的可能性最大的是转盘②．
故答案为：②．
11．（2分）反比例函数y＝（k为整数，且k≠0）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为（2，1），则k的值是 1 ．
【分析】假设点A（2，1）在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象上，得k＝2，再由题意得k＜2，求解即可．
【解答】解：假设点A（2，1）在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象上，
则1＝，
∴k＝2，
但是点A在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象的上方，
∴k＜2，
∵k为整数，且k≠0，k＞0，
∴k＝1，
故答案为：1．
12．（2分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【分析】根据三角形的中位线定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
13．（2分）已知点A（1，m），B（2，n），C（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则m，n的大小关系是 m＜n ．
【分析】将点C（﹣2，3）代入反比例函数y＝中求得k＝﹣6，即可推出k＜0，反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大即可推出m、n的大小关系．
【解答】解：将点C（﹣2，3）代入反比例函数y＝中得：k＝﹣6，
∵k＜0，
∴在该反比例函数图象的每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1＜2，
∴m＜n；
故答案为m＜n．
14．（2分）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是 ﹣4 ．
【分析】根据二次根式有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 +2＝的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程 +2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（2分）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
16．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线y＝上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为 2 ．
【分析】设A点坐标为（a，b），则k＝ab，用a、b的代数式表示B、C、D、E坐标，根据双曲线y＝经过AD的中点E，列方程求出b＝2，再由矩形ABCD对角线相等列方程求出a，即可得A坐标，从而求出k．
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则k＝ab，y＝，如图，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
∴ON＝3﹣b，即yB＝b﹣3，且B在y＝图象上，
∴B（，b﹣3），
∴BN＝DM＝|xB|＝，
∵点E是AD的中点，
∴MF＝，OF＝a+，OD＝a+，
∴E（a+，b），
∵双曲线y＝经过AD的中点E，
∴（a+）•b＝ab，解得b＝2，
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而C（0，﹣3），且矩形ABCD有AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴A（1，2），代入y＝得：k＝2．
故答案为：2．
三、解答题(本大题共10小题,共68分)
17．（6分）计算：（1）（﹣3）×；
（2）（1﹣）2+÷．
【分析】解：（1）利用二次根式的混合运算法则，将括号内每一项都与相乘，再进行合并化简，也可以选择先算括号内的减法，再将运算结果与相乘；
（2）先利用完全平方公式化简，再利用二次根式乘法运算法则计算，将计算后的结果进行合并化简．
【解答】解：（1）原式＝﹣3，
＝﹣3×，
＝﹣3，
＝；
（2）原式＝1﹣+2+，
＝3﹣+，
＝3﹣+，
＝3．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（x+1）＝2x，
去括号得：3x+3＝2x，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，2x（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，
整理得：x（x+2）﹣x2+4＝8，即2x＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
19．（4分）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝5代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝5时，原式＝＝．
20．（6分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，我校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了一部分学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要““B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 200 名学生进行调查统计，扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角大小为 18 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生约有多少人？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以计算出共抽取的人数，然后再根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数；
（2）根据扇形统计图中的数据和（1）求得的共抽取的人数，可以计算出A组的人数，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可估算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
【解答】解：（1）共抽取的人数为：80÷40%＝200（人），
扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°，
故答案为：200，18°；
，（2）A组学生有：200×30%＝60（人），C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），
补全的条形统计图，如图1所示；
（3）2500×30%＝750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生大约有750人．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．求证：BD＝DE．
【分析】根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AD∥CE，再求出四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝DE，从而得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥CE，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∴BD＝DE．
22．（6分）某商场出售一批衬衫，衬衫的进价为80元/件．在试销售期间发现，定价在某个范围内时，该衬衫的日销售量w（件）是日销售价a（元）的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每天可售出30件．
（1）求出w与a之间的函数表达式；
（2）若商场计划销售此种衬衫的日销售利润为1000元，则其售价应定为多少元？
【分析】（1）因为w与a成反比例函数关系，可设出函数式w＝，然后根据当售价定为100元/件时，每天可售出30件可求出k的值．
（2）设单件是a元，根据每天可售出30件，且利润为1000元，根据利润＝售价﹣进价可列方程求解．
【解答】解：（1）设函数式为w＝，
30＝，
解得：k＝3000，
故w与a之间的函数表达式为：w＝；
（2）根据题意可得：
（a﹣80）＝1000，
解得：a＝120．
经检验：a＝120是原分式方程的解．
答：此种衬衫的日销售利润为1000元，其售价应定为120元．
23．（6分）反比例函数y1＝（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当y1＞y2时，x的取值范围为 0＜x＜1或x＞3 ；
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ+BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A′B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可知：当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞3，
故答案为0＜x＜1或x＞3．
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣1，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．
24．（6分）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（+++…+）（+1）＝ 2020 ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；
②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
（3）通过比较a，b，c的倒数，然后进行a，b，c的大小比较．
【解答】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）原式＝[+...+]•（+1）
＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）•（+1）
＝（）（）
＝2021﹣1
＝2020，
故答案为：2020；
（3）＝＝，
同理：＝，
，
∵，
∴a＞b＞c．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，请直接写出∠BDG的度数．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到∠BDM的度数；
（3）延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．
（2）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠BDM＝45°；
（3）∠BDG＝60°，
延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD＝DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°，
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF，
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH＝∠GDF
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．
26．（10分）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形﹣﹣先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图﹣﹣根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： 函数的图象关于y轴对称 ； 图象与y轴的交点为（0，﹣2） （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ﹣2 ；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
【应用】
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ 0 ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 x＜﹣3或x＝0或x＞3 ．
【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为（0，﹣2）；
（2）通过列表、描点和连线化函数图象；
（3）观察函数图象得到函数y＝的图象关于y轴对称，而点A与点B关于y轴对称，所以a与b互为相反数；
（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于﹣2所对应的自变量的值或取值范围．
【解答】解：探索：（1）由数想形：函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为（0，﹣2），
故答案为函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为（0，﹣2）；
（2）描点画图：
①列表：把x＝﹣7代入y＝得，y＝，
∴a＝，
把x＝0入y＝得，y＝﹣2，
∴b＝﹣2，
故答案为，﹣2；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象补充完整如图．
应用：
（3）函数y＝的图象关于y轴对称，
而点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上两对称点，
所以a+b＝0；
故答案为0；
（4）由图象可知，当≥﹣2时，x的取值范围为x＜﹣3或x＝0或x＞3，
故答案为x＜﹣3或x＝0或x＞3．
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日期：2021/8/12 11:45:20；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
x
…
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
a
2
3
6
﹣6
﹣3
b
﹣3
﹣6
6
3
2
…
﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
x
…
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
a
2
3
6
﹣6
﹣3
b
﹣3
﹣6
6
3
2
…