2020-2021学年重庆市南岸区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市南岸区八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在平面直角坐标系中，把点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到的点B的坐标为（ ）
A．（1，6）B．（1，0）C．（4，3）D．（﹣2，3）
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2bC．﹣2a＜﹣2bD．a+2＜b+2
4．（4分）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A．2n2﹣mn+n＝2n（n﹣m）B．2n2﹣mn+n＝n（2﹣m+1）
C．2n2﹣mn+n＝n（2n﹣m）D．2n2﹣mn+n＝n（2n﹣m+1）
5．（4分）若分式的值为零，则实数x应满足（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x≠0D．x≠﹣1
6．（4分）在“世界读书日”那一天，晓阳利用网络平台促销的机会，在网上购买了一本书名为《数学这样学就对了》的书籍，同学们想知道购买这本书花了多少钱，晓阳让他们猜．甲说不低于30元，乙说不高于27元，丙说不高于25元．晓阳说“你们三个都猜错了”．那么这本书的费用x（元）所在的范围为（ ）
A．25＜x≤27B．27＜x≤30C．27≤x＜30D．27＜x＜30
7．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（4分）我国西北地区某村的耕地面积为70hm2，森林面积20hm2，为了治理该地区的土地沙化问题，该村决定退耕还林，计划将部分耕地改为种植树木，使得耕地面积与森林面积之比为4：7．设有xhm2的耕地改为种植树木，那么x满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25B．26C．30D．39
10．（4分）如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．9a+4bB．9a+2bC．3a+4bD．3a+2b
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，EC，CF，FA，点E，F满足以下条件中的一个：①BF＝DE；②AE＝AF；③AE＝CF；④∠AEB＝∠CFD；⑤AE⊥BD，CF⊥BD．其中，能使四边形AECF为平行四边形的条件个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为（ ）
A．﹣3B．0C．2D．5
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝2，DE＝ ．
15．（4分）若m+n＝7，mn＝5，则m2n+mn2＝ ．
16．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
17．（4分）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是平行四边形ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF，FG，GH，HE的中点．如果原来博物馆的平面图平行四边形ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为 m2．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC延长线上一点，点D关于AC的对称点为E，且E是BD中点，过点E作EF⊥AD，垂足为F，EF交AB的延长线于点G．若AB＝3，则EG的长为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）+；
（2）a﹣1+÷．
20．（10分）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）﹣1≥；
（2）．
21．（10分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣1，1），C（﹣1，5）．
（1）在如图所示的直角坐标系内画出△ABC；
（2）将△ABC平移后顶点A的对应点是A′（1，3），画出平移后的图形△A′B′C′；
（3）将△A′B′C′绕原点O顺时针旋转180°得到△A″B″C″，画出旋转后的图形．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．
（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．
23．（10分）为让学生们进一步了解历史，传承和弘扬红岩精神，某校决定开展“渣滓洞、白公馆、红岩村、歌乐山烈士林园”游学活动．该校八年级共有师生550人，经研究决定，租用当地租车公司共12辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校的有关两种型号客车的载客量和租车信息：
注：载客量是指每辆客车最多可载师生的人数．
若学校租A型车x辆，且租车公司最多能提供10辆A型车，根据上述信息，回答下列问题：
（1）求出x的取值范围；
（2）如果总的租车费用为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并求出最省钱的租车方案．
24．（10分）端午节前，某商店用8000元购进一批粽子礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批粽子礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元．
（1）第二批粽子礼盒每个的进价为多少元？
（2）商店将第二批粽子礼盒的进价提高50%后售出，端午节过后，第二批粽子礼盒还有部分没有售出，商店准备把没有售出的粽子礼盒打八折促销，在端午节后的一周之内，剩余的粽子礼盒也全部售完．售完后，经核算，第二批粽子礼盒的总的利润率不低于40%（不考虑其他因素）．请求出打折销售部分粽子礼盒的数量最多是多少盒？
25．（10分）如图所示，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如图2，当E为AB的中点时，连接CE，求证：CE⊥DE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝8，DE＝9，直接写出▱ABCD的面积．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时，必须给出必要的验算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
26．（8分）已知，在△ABC中，AB＝AC，D是平面上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转至点E，使∠DAE＝∠BAC．连接DE并延长，交AB于点O，交BC于点F．连接BD和CE，CE的延长线分别交AB，BD于点P，G．
（1）如图1，求证：∠BGC＝∠DAE；
（2）如图2，若点F是BC的中点，AD∥CB，求证AE＝BC；
（3）在（2）的条件下，若G是BD的中点，连接OG，FG．当AB＝5，AD＝3时，请直接写出△OFG的周长．
2020-2021学年重庆市南岸区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）在平面直角坐标系中，把点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到的点B的坐标为（ ）
A．（1，6）B．（1，0）C．（4，3）D．（﹣2，3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：把点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到的点B的坐标为（1+3，3），即（4，3），
故选：C．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2bC．﹣2a＜﹣2bD．a+2＜b+2
【分析】根据不等式的性质求解即可．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，故本选项不合题意；
B．∵a＞b，
∴2a＞2b，故本选项不合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣a＞﹣b，
∴a+2＞b+2，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（4分）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A．2n2﹣mn+n＝2n（n﹣m）B．2n2﹣mn+n＝n（2﹣m+1）
C．2n2﹣mn+n＝n（2n﹣m）D．2n2﹣mn+n＝n（2n﹣m+1）
【分析】先找出多项式的公因式，再提取公因式即可．
【解答】解：2n2﹣mn+n＝n（2n﹣m+1），
故选：D．
5．（4分）若分式的值为零，则实数x应满足（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x≠0D．x≠﹣1
【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式计算即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x＝0且x+1≠0，
解得，x＝0，
故选：B．
6．（4分）在“世界读书日”那一天，晓阳利用网络平台促销的机会，在网上购买了一本书名为《数学这样学就对了》的书籍，同学们想知道购买这本书花了多少钱，晓阳让他们猜．甲说不低于30元，乙说不高于27元，丙说不高于25元．晓阳说“你们三个都猜错了”．那么这本书的费用x（元）所在的范围为（ ）
A．25＜x≤27B．27＜x≤30C．27≤x＜30D．27＜x＜30
【分析】根据晓阳让他们猜．甲说不低于30元，乙说不高于27元，丙说不高于25元．晓阳说“你们三个都猜错了”．可以得到关于x的不等式，从而可以得到x的取值范围．
【解答】解：∵甲说不低于30元，乙说不高于27元，丙说不高于25元．晓阳说“你们三个都猜错了”．
∴x＞27且x＜30，
∴27＜x＜30，
故选：D．
7．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据三角形中位线定理得到FE＝AB，DE＝AC，DF＝BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为6，
∴AB+AC+BC＝6，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴FE＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∴△DEF的周长＝FE+DE+DF＝×（AB+AC+BC）＝3，
故选：B．
8．（4分）我国西北地区某村的耕地面积为70hm2，森林面积20hm2，为了治理该地区的土地沙化问题，该村决定退耕还林，计划将部分耕地改为种植树木，使得耕地面积与森林面积之比为4：7．设有xhm2的耕地改为种植树木，那么x满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设有xhm2的耕地改为种植数目，那么现在树木的种植面积为（x+20）hm2，耕地面积为（70﹣x）hm2，等量关系为：耕地面积与森林面积之比为4：7，依此列出方程即可．
【解答】解：设有xhm2的耕地改为种植树木，根据题意得，
故选：A．
9．（4分）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25B．26C．30D．39
【分析】设图中小等边三角形的高为2h，则等边三角形ABC的高为15h，正六边形的高为2h，推出每个小正六边形的面积＝6××2××h＝2h2，推出阴影部分的面积为13×2h2＝26h2，再利用△ABC的面积，求出h2可得结论．
【解答】解：设图中小等边三角形的高为2h，则等边三角形ABC的高为15h，正六边形的高为2h，
∴每个小正六边形的面积＝6××2××h＝2h2，
∴阴影部分的面积为13×2h2＝26h2，
∵△ABC的面积为75，
∴×2××15h＝75，
∴h2＝，
∴阴影部分的面积＝26×＝26，
故选：B．
10．（4分）如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．9a+4bB．9a+2bC．3a+4bD．3a+2b
【分析】根据题意列出关系式，利用完全平方公式配方后，即可确定出边长．
【解答】解：根据题意得：9a2+4b2+12ab＝（3a+2b）2，
则这个大正方形的边长为3a+2b．
故选：D．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，EC，CF，FA，点E，F满足以下条件中的一个：①BF＝DE；②AE＝AF；③AE＝CF；④∠AEB＝∠CFD；⑤AE⊥BD，CF⊥BD．其中，能使四边形AECF为平行四边形的条件个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【解答】解：①如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；故①正确；
②∵AE＝AF，不能判定△ABE≌△ADF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④正确；
⑤AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CBF中，
，
∴△AED≌△CBF（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；故⑤正确；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④⑤，共3个，
故选：B．
12．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为（ ）
A．﹣3B．0C．2D．5
【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，可得m≤5．再解关于y的分式方程，可得．因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值．
【解答】解：由x+8＞3x﹣2，得x＜5．
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，
∴m≤5．
∵，
∴y+m﹣2y＝y﹣3．
∴．
又∵关于y的分式方程有非负整数解且m为整数，
∴是非负整数且．
∴m≠3、m≥﹣3．
∴﹣3≤m≤5且m≠3．
∴m＝﹣3或m＝﹣1或m＝1或m＝5．
∴符合条件的m的和为﹣3+（﹣1）+1+5＝2．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）化简：＝ ．
【分析】根据分式的性质进行化简解答即可．
【解答】解：，
故答案为：．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝2，DE＝ 2 ．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
故答案为：2．
15．（4分）若m+n＝7，mn＝5，则m2n+mn2＝ 35 ．
【分析】将m2n+mn2提取公因式分解为mn（m+n），将m+n＝7，mn＝5代入即可．
【解答】解：∵m+n＝7，mn＝5，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝5×7＝35，
故答案为：35．
16．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 4 ．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：2x＝m+（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：m＝4．
故答案为：4．
17．（4分）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是平行四边形ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF，FG，GH，HE的中点．如果原来博物馆的平面图平行四边形ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为 600 m2．
【分析】连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，由点C、D分别是HG、EH的中点，得CD是△EHG的中位线，从而有点M是OH的中点，得S△HDM＝S△ODM，同理S△DEN＝S△ODN，则有S四边形DNOM＝S△EOH，同理即可解决问题．
【解答】解：连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，
∵点C、D分别是HG、EH的中点，
∴CD是△EHG的中位线，
∴CD∥EG，
∴点M是OH的中点，
∴S△HDM＝S△ODM，
同理S△DEN＝S△ODN，
∴S四边形DNOM＝S△EOH，
同理可得：S四边形ABCD＝S四边形EFGH，
∵平行四边形ABCD的面积为300m2，
∴四边形EFGH的面积为600m2．
故答案为：600．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC延长线上一点，点D关于AC的对称点为E，且E是BD中点，过点E作EF⊥AD，垂足为F，EF交AB的延长线于点G．若AB＝3，则EG的长为 ．
【分析】由对称的性质得DC＝CE，根据中点定义得BE＝DE，设DC＝CE＝a，则BE＝2a，根据等腰直角三角形的性质得a＝1，然后利用三角函数得tan∠DAC＝，过G作GH⊥DB于H，根据在Rt△EHG中，tan∠HEG＝tan∠DEF，列出方程，最后由勾股定理可得答案．
【解答】解：∵点D关于AC的对称点为E，
∴DC＝CE，
∵E是BD中点，
∴BE＝DE，
设DC＝CE＝a，则BE＝2a，
∴BC＝3a，
在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴a＝1，
在Rt△ACD中，AC＝3，CD＝1，
∴tan∠DAC＝，
∵EF⊥AD，
∴∠DAC＝∠DEF＝∠BEG，
过G作GH⊥DB于H，
∴∠HBG＝∠ABC＝45°，
∴BH＝HG，
在Rt△EHG中，tan∠HEG＝tan∠DEF，
∴＝＝，
∴HG＝HB＝1，
∴EG＝＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）+；
（2）a﹣1+÷．
【分析】（1）提取“﹣”，将y﹣2x变成2x﹣y，再根据同分母分数加减法运算法则进行计算即可；
（2）先因式分解，再化简，最后通分进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝1；
（2）原式＝a﹣1+×
＝a﹣1+
＝+
＝．
20．（10分）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）﹣1≥；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（x+1）﹣4≥x，
去括号，得：2x+2﹣4≥x，
移项、合并，得：x≥2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式﹣x+3≥1，得：x≤2，
解不等式＞+1，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（10分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣1，1），C（﹣1，5）．
（1）在如图所示的直角坐标系内画出△ABC；
（2）将△ABC平移后顶点A的对应点是A′（1，3），画出平移后的图形△A′B′C′；
（3）将△A′B′C′绕原点O顺时针旋转180°得到△A″B″C″，画出旋转后的图形．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点即可；
（2）利用点A与A′的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B′、C′的坐标，然后描点即可；
（3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A″、B″、C″的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（3）如图，△A″B″C″为所作．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．
（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；
（2）证明∠EFA＝∠C＝30°和EA⊥CF，从而得到AF＝AC．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：连接AE，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADF＝90°，EB＝EA，
而∠DAF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠EAB＝∠B＝30°，
∴∠DFA＝90°﹣60°＝30°，∠EAF＝90°，
∴∠EFA＝∠C，
∴EF＝EC，
而EA⊥CF，
∴AC＝AF．
23．（10分）为让学生们进一步了解历史，传承和弘扬红岩精神，某校决定开展“渣滓洞、白公馆、红岩村、歌乐山烈士林园”游学活动．该校八年级共有师生550人，经研究决定，租用当地租车公司共12辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校的有关两种型号客车的载客量和租车信息：
注：载客量是指每辆客车最多可载师生的人数．
若学校租A型车x辆，且租车公司最多能提供10辆A型车，根据上述信息，回答下列问题：
（1）求出x的取值范围；
（2）如果总的租车费用为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并求出最省钱的租车方案．
【分析】（1）利用“实际载客≥550”列出不等式，求出x的取值范围；
（2）根据“单价×数量＝总价”写出y与x的函数关系式，利用函数的性质求出最省钱方案．
【解答】解：（1）∵学校租A型车x辆，共租用12辆，
∴租B型车（12﹣x）辆，
∴50x+40（12﹣x）≥550，
解得：x≥7，
∵租车公司最多能提供10辆A型车，
∴x≤10，
∴7≤x≤10且x为整数．
（2）由题意得：y＝900x+800（12﹣x）＝100x+9600，
∴y随x的增大而增大，7≤x≤10且x为整数．
∴x＝7时，y最小＝100×7+9600＝10300（元）．
答：y＝100x+9600，租7辆A型车，5辆B型车时，费用最少为10300元．
24．（10分）端午节前，某商店用8000元购进一批粽子礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批粽子礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元．
（1）第二批粽子礼盒每个的进价为多少元？
（2）商店将第二批粽子礼盒的进价提高50%后售出，端午节过后，第二批粽子礼盒还有部分没有售出，商店准备把没有售出的粽子礼盒打八折促销，在端午节后的一周之内，剩余的粽子礼盒也全部售完．售完后，经核算，第二批粽子礼盒的总的利润率不低于40%（不考虑其他因素）．请求出打折销售部分粽子礼盒的数量最多是多少盒？
【分析】（1）设第二批粽子礼盒每个的进价为x元，则第一批粽子礼盒每个的进价为（x﹣20）元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批所购数量是第一批购进量的两倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出第二批购进粽子礼盒的数量，设打折销售部分粽子礼盒的数量为m盒，则原价销售的粽子礼盒的数量为（200﹣m）盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合第二批粽子礼盒的总的利润率不低于40%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第二批粽子礼盒每个的进价为x元，则第一批粽子礼盒每个的进价为（x﹣20）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：第二批粽子礼盒每个的进价为100元．
（2）第二批购进粽子礼盒的数量为20000÷100＝200（盒）．
设打折销售部分粽子礼盒的数量为m盒，则原价销售的粽子礼盒的数量为（200﹣m）盒，
依题意得：100×（1+50%）（200﹣m）+100×（1+50%）×0.8m﹣20000≥20000×40%，
解得：m≤66．
又∵m为整数，
∴m的最大值为66．
答：打折销售部分粽子礼盒的数量最多是66盒．
25．（10分）如图所示，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如图2，当E为AB的中点时，连接CE，求证：CE⊥DE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝8，DE＝9，直接写出▱ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ADC＝∠ABC，AB∥CD，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ABF＝∠AED，可得DE∥BF，可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证CF＝BC＝BE，由等腰三角形的性质可证BF⊥CE，可得结论；
（3）在Rt△DEC中，由勾股定理可求EC的长，由面积关系可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CDE＝∠ABC＝∠ADC，
又∵∠CDE＝∠AED，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∵DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝AB，
∴BE＝CD，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝CD，
∴CF＝DF＝BE，
∵CD∥AB，BF平分∠ABC，
∴∠CFB＝∠ABF＝∠CBF，
∴CF＝BC，
∴BC＝BE，
又∵BF平分∠ABC，
∴CE⊥BF，
∵DE∥BF，
∴CE⊥DE；
（3）解：∵AD＝BC＝8＝CF，
∴CD＝2CF＝16，
∴CE＝＝＝5，
∴▱ABCD的面积＝2×S△DEC＝2××9×5＝45．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时，必须给出必要的验算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
26．（8分）已知，在△ABC中，AB＝AC，D是平面上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转至点E，使∠DAE＝∠BAC．连接DE并延长，交AB于点O，交BC于点F．连接BD和CE，CE的延长线分别交AB，BD于点P，G．
（1）如图1，求证：∠BGC＝∠DAE；
（2）如图2，若点F是BC的中点，AD∥CB，求证AE＝BC；
（3）在（2）的条件下，若G是BD的中点，连接OG，FG．当AB＝5，AD＝3时，请直接写出△OFG的周长．
【分析】（1）先证明△ADB≌△AEC得∠ABD＝∠ACE，由∠GPB＝∠APC，得∠BGC＝∠BAC＝∠DAE；
（2）先利用△ADB≌△AEC的性质结合等腰三角形“三线合一”证明四边形ADBF为矩形，进而有AD＝BF，由F为BC中点，得BF＝BC，即可得到AE＝AD＝BC；
（3）用勾股定理分别求出△OFG三边，即可得到△OFG的周长．
【解答】解：（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠GPB＝∠APC，
∴∠BGC＝∠BAC＝∠DAE；
（2）证明：∵AD＝AE，AB＝AC，
∴∠ABC＝×（180°﹣∠BAC），∠ADE＝×（180°﹣∠DAE），
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥BC，∠AFC＝90° （等腰三角形三线合一），
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFC＝90°，∠DAB＝∠ABC，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∵∠DAF＝90°，
∴∠ODA+∠OFA＝∠OAD+∠OAF＝90°，
∴∠OFA＝∠OAF，
∴OA＝OF，
∴OD＝OF＝OA，
∵AD//BC，
∴∠ADO＝∠OFB，
∴∠OBF＝∠OFB，
∴OB＝OF，
∴OA＝OB＝OF＝OD，
∴AB＝DF，
∴四边形ADBF为矩形，
∴AD＝BF，
∵F为BC中点，
∴BF＝BC，
∴AE＝AD＝BC；
（3）∵G为BD中点，OA＝OB，
∴OG＝AD＝，OF＝AB＝5，BF＝AD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BG＝DG＝BD＝2，
∴GF＝＝，
由（2）知OF＝OD＝DF＝，
∴△OFG的周长为十+＝4+．
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日期：2021/8/12 11:47:31；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298型号
载客量
租金单价
A
50
900元/辆
B
40
800元/辆
型号
载客量
租金单价
A
50
900元/辆
B
40
800元/辆