2020-2021学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷，共31页。

A．B．C．D．
2．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A．1，1.5，2B．1，2，C．2，3，4D．4，5，6
3．（4分）数据﹣2，0，3，4，5的平均数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（4分）一次函数y＝﹣x+b的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
5．（4分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1B．2，3C．﹣1，3D．﹣1，2
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形一定是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
7．（4分）估算的值应该在（ ）
A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC AD∥BCB．AB＝DC AD＝BC
C．OA＝OC OB＝ODD．AB∥DC AD＝BC
9．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2且x≠3B．x＞﹣2且x≠3C．x≥﹣2D．x＞﹣2
10．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①②B．②④C．②③D．③④
12．（4分）2021年6月，第二十三届重庆国际汽车展览会在悦来国博中心举行，自行车骑行爱好者小明和小花两人相约沿着同一条线路从新牌坊出发前往悦来国博中心观看车展．小明和小花分别以不同的速度匀速骑行，小花比小明早出发10分钟，小花出发15分钟之后，小明以原速度的三倍继续骑行，经过一段时间后，小明先到达悦来国博中心，小花一直保持原速前往国博中心．在此过程中，小明和小花两人相距的路程y（单位：米）与小花骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则以下结论正确的有几个（ ）
①小明原来的速度为100米每分钟；
②两人相遇的时候小花一共骑行了40分钟；
③整个过程中两人相距最远3000米；
④小花比小明晚到18分钟．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每个小题4分，共24分）请将每个小题答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为 ．
16．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（1，2）求于x的不等式kx+b＞2的解集 ．
17．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点F在边AD上，连接BF，将纸片沿着直线BF翻折，点A的对应点为点G，连接AG并延长交CD于点E，若DE＝3，则GE＝ ．
18．（4分）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业．该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱．和开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84%．请问从早上9点开始，经过 小时植物园游客数量达到饱和．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）解方程
（1）x2+4x＝1；
（2）3x2﹣7x+4＝0．
20．（10分）党的百年历史，就是践行初心使命的奋斗史．100年来，中国共产党始终与人民心连心，同呼吸，共命运，为庆祝中国共产党成立100周年，我校举办了以“学党史、知党情、强党性”为主题的党史知识竞赛．为了解七、八年级学生此次测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取20名学生的成绩，已知抽到的七年级学生成绩数据如下（满分100分）：66，70，68，65，85，92，95，86，74，80，84，78，95，77，70，65，74，86，72，98为了便于分析数据，统计员对七年级的抽样数据进行了整理，如表：
七八年级抽样成绩的平均数，中位数，优秀率如下：（分数80分以上，不含80分为优秀）
（1）a＝ ；m＝ ；n＝ ．
（2）七年级的明明和八年级的亮亮分数都是80分，判断明明和亮亮在各自年级抽样成绩的排名中哪一个更加靠前？说明理由；
（3）若我校七年级有600人，八年级有900人，请估计一下我校七八年级此次党史知识竞赛成绩优秀的总人数．
21．（10分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，∠C＝30°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠B的平分线交AC于点D，过D作直线BC的垂线交BC于点E；
（2）求△DEC的周长．
22．（10分）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小朱对函数y＝的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）小朱列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有 ；
①函数图象关于x轴对称；
②此函数无最大值；
③此函数有最小值，且最小值为﹣3；
④当x＜2时，y随x的增大而增大；
（3）若直线y1＝kx﹣2与函数y＝始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出k的取值范围．
23．（10分）“六一”儿童节前夕，某超市用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，且每件甲玩具要比乙玩具进货单价少3元．
（1）求每件甲、乙玩具的进货单价分别是多少元？
（2）由于节日玩具畅销，该超市决定再次购进这两种玩具共100件，其中甲玩具的数量不多于乙玩具数量的2倍，且每种玩具的进货单价保持不变；若甲玩具售价为每个10元，乙玩具售价为每个12元，试问第二批购进甲玩具多少个时，第二批玩具全部卖完后获得的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）若一个各位数字均不为零的四位自然数A满足千位数字与十位数字相等，百位数字与个位数字相等（且千位数字与百位数字不等），我们称这样的数A叫“前进数”；当我们把“前进数”A千位、百位上的数字交换，十位与个位上的数字交换得到另外一个数A′．
（1）6556 （填“是”或“否”）为“前进数”；最小的“前进数”为 ．
（2）求证：任意的“前进数”A与A′的和都可以被11整除；
（3）规定：前进数A满足f（A）＝，若（A）能被13整除，且千位数字小于百位数字，求出所有满足条件的“前进数”．
25．（10分）如图一，已知直线l：y＝﹣x+6与x轴交于点A，与轴交于点B，直线m与y轴交于点C（0，﹣2），与直线l交于点D（t，1）．
（1）求直线m的解析式；
（2）如图二，点P在直线l上且在y轴左侧，过点P作PQ∥y轴交直线m于点Q，交x轴于点G，当S△PCG＝2S△QCG，求出P，Q两点的坐标；
（3）将直线l：y＝﹣x+6向左平移12个单位得到直线n交x轴于E点，点F是点C关于原点对称点．过点F作直线k∥x轴，点M在直线k上，写出以点C，E，M，为顶点且CE为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为BC上的点，点P矩形内部一动点，连接PD，PB；
（1）如图一，若满足PE⊥DE，∠PBE＝45°，PB＝，EC＝1，求证：PE＝DE；
（2）如图二，当点P在线段BD上的运动，求PE+DE的最小值；
（3）如图三，若点Q为AD的中点，P为矩形内部一动点，连接PQ，PB，PC，问PQ+PB+PC是否有最小值，若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由．
2020-2021学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列各式中，一定是二次根式（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．
【解答】解：由于负数没有平方根，因此无意义，所以选项A不符合题意；
当a＜0时无意义，因此选项B不符合题意；
表示2的立方根，不是二次根式，因此选项C不符合题意；
，无论a取何值，a2+1≥1，因此总有意义，所以选项D符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A．1，1.5，2B．1，2，C．2，3，4D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、12+1.52≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（4分）数据﹣2，0，3，4，5的平均数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：＝2，
故选：C．
4．（4分）一次函数y＝﹣x+b的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
【分析】分b＜0，b＝0及b＞0三种情况，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝﹣x+b的图象经过的象限．
【解答】解：当b＜0时，
∵k＝﹣1＜0，b＜0，
∴一次函数y＝﹣x+b的图象经过第二、三、四象限；
当b＝0时，
∵k＝﹣1＜0，b＝0，
∴一次函数y＝﹣x的图象经过第二、四象限；
当b＞0时，
∵k＝﹣1＜0，b＞0，
∴一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限．
综上所述，一次函数y＝﹣x+b的图象一定经过第二、四象限．
故选：B．
5．（4分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣1B．2，3C．﹣1，3D．﹣1，2
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0的二次项系数和常数项分别是2，3．
故选：B．
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形一定是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据各个选项中的说法，逐一判断即可．
【解答】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，如果只是对角线互相垂直的四边形，不一定是菱形，故选项A不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，故选项B不符合题意；
对角线相等且平分的四边形一定是矩形，但是对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；
一组邻边相等的矩形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（4分）估算的值应该在（ ）
A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
【分析】先化简代数式，估算出的范围，再写出4﹣的范围即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝4﹣，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴1＜4﹣＜2，
故选：C．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC AD∥BCB．AB＝DC AD＝BC
C．OA＝OC OB＝ODD．AB∥DC AD＝BC
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：D．
9．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2且x≠3B．x＞﹣2且x≠3C．x≥﹣2D．x＞﹣2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠3，
故选：A．
10．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
11．（4分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①②B．②④C．②③D．③④
【分析】由菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
12．（4分）2021年6月，第二十三届重庆国际汽车展览会在悦来国博中心举行，自行车骑行爱好者小明和小花两人相约沿着同一条线路从新牌坊出发前往悦来国博中心观看车展．小明和小花分别以不同的速度匀速骑行，小花比小明早出发10分钟，小花出发15分钟之后，小明以原速度的三倍继续骑行，经过一段时间后，小明先到达悦来国博中心，小花一直保持原速前往国博中心．在此过程中，小明和小花两人相距的路程y（单位：米）与小花骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则以下结论正确的有几个（ ）
①小明原来的速度为100米每分钟；
②两人相遇的时候小花一共骑行了40分钟；
③整个过程中两人相距最远3000米；
④小花比小明晚到18分钟．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据图象求出小花的速度，设小明原来的速度为a米/分，由题意可列方程求出小明原来的速度，可判断①；根据两人相遇时的路程相等列方程可判断②；在小明到达目的地时与小花相距3600米可判断③；小明76分钟到达目的地可求出总路程，再求出小花76分钟走的路程，可判断④．
【解答】解：由图象可知小花的速度为2000÷10＝200（米/分），
设小明原来的速度为a米/分，
则有15×200﹣（15﹣10）a＝2500，
解得：a＝100，
∴小明原来的速度为100米/分，
故①正确；
15分钟后小明的速度为100×3＝300（米/分），
设小花出发x分钟两人相遇，
则200x＝（15﹣10）×100+（x﹣15）×300，
解得：x＝40，
∴小花出发40分钟时两人相遇，
故②正确；
由图象知，在小花骑行76分钟时，小明到达B地，
此时两人相距（76﹣40）×（300﹣200）＝3600米＞3000米，
故③错误；
总路程为：100（15﹣10）+（76﹣15）×300＝500+18300＝18800（米），
小花骑行76分钟的路成为：76×200＝15200（米），
∴剩下的路程小花还需要：（18800﹣15200）÷200＝18（分），
∴小花比小明晚18分中到达B地，
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每个小题4分，共24分）请将每个小题答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义求出即可．
【解答】解：＝3．
故答案为：3．
14．（4分）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是 27 ．
【分析】根据中位数的意义，将这组数据从小到大排列找出中间位置的一个数即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：18，22，25，27，30，32，34，处在中间位置的一个数是27，因此中位数是27，
故答案为：27．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为 9 ．
【分析】作AD⊥BC于D，设BD＝x，由勾股定理列出方程13﹣x2＝25﹣（6﹣x）2，解得x＝2，从而求出高AD的长度，即可求出面积．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2＝AB2﹣BD2
＝13﹣x2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD2＝AC2﹣CD2
＝25﹣（6﹣x）2，
∴13﹣x2＝25﹣（6﹣x）2，
解得x＝2，
∴BD＝2，
∴AD＝3，
∴S△ABC＝，
故答案为：9．
16．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（1，2）求于x的不等式kx+b＞2的解集 x＜1 ．
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）2的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图象可得：关于x的不等式kx+b＞2的解集应是x＜1；
故答案为x＜1．
17．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点F在边AD上，连接BF，将纸片沿着直线BF翻折，点A的对应点为点G，连接AG并延长交CD于点E，若DE＝3，则GE＝ ．
【分析】由折叠的性质可得AF＝FG，BF⊥AG，AH＝HG，再由已知分别求出BE＝，AE＝5，设GE＝x，则AH＝HG＝﹣x，在Rt△BHA中，16＝+BH2，在Rt△BHE中，17＝BH2+，两式联立即可求GE．
【解答】解：由折叠可知，AF＝FG，BF⊥AG，AH＝HG，
∵正方形边长为4，DE＝3，
∴CE＝1，
∴BE＝，AE＝5，
设GE＝x，则AH＝HG＝﹣x，
在Rt△BHA中，16＝+BH2，
在Rt△BHE中，17＝BH2+，
∴16﹣＝17﹣，
∴x＝，
故答案为．
18．（4分）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业．该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱．和开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84%．请问从早上9点开始，经过 小时植物园游客数量达到饱和．
【分析】设每个入口1小时进入x个人，每个出口1小时外出y个人，植物园的总设计承载人数为a个人，由题意：若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱．目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%．列出方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设每个入口1小时进入x个人，每个出口1小时外出y个人，植物园的总设计承载人数为a个人，
由题意得：，
解得：，
∵开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84%，
∴84%a÷（2×a﹣4×a）＝（小时），
即从早上9点开始，经过小时植物园游客数量达到饱和，
故答案为：．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）解方程
（1）x2+4x＝1；
（2）3x2﹣7x+4＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）配方得：x2+4x+4＝5，
整理得：（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）方程3x2﹣7x+4＝0，
这里a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×3×4＝49﹣48＝1＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝1．
20．（10分）党的百年历史，就是践行初心使命的奋斗史．100年来，中国共产党始终与人民心连心，同呼吸，共命运，为庆祝中国共产党成立100周年，我校举办了以“学党史、知党情、强党性”为主题的党史知识竞赛．为了解七、八年级学生此次测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取20名学生的成绩，已知抽到的七年级学生成绩数据如下（满分100分）：66，70，68，65，85，92，95，86，74，80，84，78，95，77，70，65，74，86，72，98为了便于分析数据，统计员对七年级的抽样数据进行了整理，如表：
七八年级抽样成绩的平均数，中位数，优秀率如下：（分数80分以上，不含80分为优秀）
（1）a＝ 4 ；m＝ 77.5 ；n＝ 40 ．
（2）七年级的明明和八年级的亮亮分数都是80分，判断明明和亮亮在各自年级抽样成绩的排名中哪一个更加靠前？说明理由；
（3）若我校七年级有600人，八年级有900人，请估计一下我校七八年级此次党史知识竞赛成绩优秀的总人数．
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m、n的值；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）分别求出该校七、八年级此次党史知识竞赛成绩优秀的人数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）由题干数据可知a＝4，b＝6，
将抽到的七年级学生成绩数据从小到大排列为：65，65，66，68，70，70，72，74，74，77，78，80，84，85，86，86，92，95，95，98
第10，11个数据是77，78
∴七年级的中位数m＝＝77.5，
七年级学生成绩的优秀率n%＝×100%＝40%，
∴n＝40，
故答案为：4，77.5，40；
（2）七年级的明明的排名更靠前．理由如下：
因为七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是82.5，
所以七年级的明明和八年级的亮亮的分数都是80分，七年级的明明的排名更靠前；
（3）600×40%+900×50%
＝240+450
＝690（人）．
答：估计我校七八年级此次党史知识竞赛成绩优秀的总人数是690人．
21．（10分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，∠C＝30°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠B的平分线交AC于点D，过D作直线BC的垂线交BC于点E；
（2）求△DEC的周长．
【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可．
（2）证明DA＝DE，推出△DEC的周长＝CD+DE+CE＝CD+DA+CE＝AC+EC，求出AC，EC可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线BD，直线DE即为所求．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，∠C＝30°．
∴BC＝2AB＝8，AC＝＝＝4，
∵∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∵DC＝DB，
∵DE⊥BC，
∴CE＝EB＝4，
∵DA⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DA＝DE，
∴△DEC的周长＝CD+DE+CE＝CD+DA+CE＝AC+EC＝4+4．
22．（10分）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小朱对函数y＝的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）小朱列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有 ②③ ；
①函数图象关于x轴对称；
②此函数无最大值；
③此函数有最小值，且最小值为﹣3；
④当x＜2时，y随x的增大而增大；
（3）若直线y1＝kx﹣2与函数y＝始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据解析式计算即可；利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象判断四个性质即可；
（3）根据直线y＝kx﹣2经过点（2，﹣3）和直线y＝﹣3平行时，直线y1＝kx﹣2与函数y＝的图象有一个交点，根据图象即可求得符合题意的k的取值范围．
【解答】解：（1）补充表格：
画出函数图象如图所示：
故答案为﹣1，﹣3；
（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最大值；③此函数有最小值，且最小值为﹣3．
故答案为②③；
（3）若直线y＝kx﹣2经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝2k﹣2，
∴k＝﹣，
若y＝kx﹣2与y＝﹣3平行时，则k＝0，
若直线y1＝kx﹣2与函数y＝始终有两个交点，则﹣＜k＜0．
23．（10分）“六一”儿童节前夕，某超市用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，且每件甲玩具要比乙玩具进货单价少3元．
（1）求每件甲、乙玩具的进货单价分别是多少元？
（2）由于节日玩具畅销，该超市决定再次购进这两种玩具共100件，其中甲玩具的数量不多于乙玩具数量的2倍，且每种玩具的进货单价保持不变；若甲玩具售价为每个10元，乙玩具售价为每个12元，试问第二批购进甲玩具多少个时，第二批玩具全部卖完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是（x﹣3）元，根据用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，可得出方程，解出即可；
（2）设第二批购进乙玩具y个，则甲玩具购进（100﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝甲玩具的利润+乙玩具的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．
【解答】解：（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是（x﹣3）元，根据题意得：
30（x﹣3）+40x＝540，
解得x＝9，
故x﹣3＝6，
答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是9元；
（2）设第二批购进乙玩具y个，则甲玩具购进（100﹣y）个，获得利润为w元，
由题意得：w＝（10﹣6）（100﹣y）+（12﹣9）y＝﹣y+400，
∵﹣1＜0，
∴w随y的增大而减小，
∵100﹣y≤2y，
∴，
∴34≤y≤100（y为整数），
∴当y＝34时，w有最大值，w最大值＝﹣34+400＝366，
100﹣34＝66（个），
答：第二批购进甲玩具66个时，总利润最大，最大利润是366元．
24．（10分）若一个各位数字均不为零的四位自然数A满足千位数字与十位数字相等，百位数字与个位数字相等（且千位数字与百位数字不等），我们称这样的数A叫“前进数”；当我们把“前进数”A千位、百位上的数字交换，十位与个位上的数字交换得到另外一个数A′．
（1）6556 否 （填“是”或“否”）为“前进数”；最小的“前进数”为 1212 ．
（2）求证：任意的“前进数”A与A′的和都可以被11整除；
（3）规定：前进数A满足f（A）＝，若（A）能被13整除，且千位数字小于百位数字，求出所有满足条件的“前进数”．
【分析】（1）根据“前进数”的定义，可判断；最小前进数，千位上数字最小，与百位数字不等，且不为0，按条件写出这个数即可．
（2）设“前进数”的千位上数字为a，百位上数字为b，根据定义用代数式表示出“前进数”，用因式分解，提取11的因数即可．
（3）设“前进数”的千位上数字为a，百位上数字为b，根据定义用代数式表示出“前进数”，根据根据条件列出方程组，即可列出所有可能结果．
【解答】解：（1）∵千位上的数字为6，十位数字为5，
∴6556不是“前进数”；
∵最小前进数，千位上数字最小，
∴千位为数学为1，
∵与百位数字不等，且不为0，
∴只能为2，
∴最小的“前进数”为：1212，
故答案为：否，1212．
（2）设“前进数”的千位上数字为a，百位上数字为b，依题意有：
A＝a×1000+b×100+a×10+b，A'＝b×1000+a×100+b×10+a，
∴A+A'＝（a×1000+b×100+a×10+b）+（b×1000+a×100+b×10+a）＝1111a+1111b＝1111（a+b）＝11×101×（a+b），
∴11|（A+A'）．
（3）根据（2）可知：A+A'＝11×101×（a+b），
∴f（A）＝＝，
f（A）能被13整除，且千位数字小于百位数字，
∴a+b＝13，且a＜b，
∴，
∴满足条件的“前进数”有4545，5656，6767．
25．（10分）如图一，已知直线l：y＝﹣x+6与x轴交于点A，与轴交于点B，直线m与y轴交于点C（0，﹣2），与直线l交于点D（t，1）．
（1）求直线m的解析式；
（2）如图二，点P在直线l上且在y轴左侧，过点P作PQ∥y轴交直线m于点Q，交x轴于点G，当S△PCG＝2S△QCG，求出P，Q两点的坐标；
（3）将直线l：y＝﹣x+6向左平移12个单位得到直线n交x轴于E点，点F是点C关于原点对称点．过点F作直线k∥x轴，点M在直线k上，写出以点C，E，M，为顶点且CE为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【分析】（1）由直线l求出点D的坐标，由点C、D的坐标求出直线m的解析式；
（2）设点P横坐标为a，表示出点P、Q的坐标，表达出PG和GQ，利用S△PCG＝2S△QCG化简得PG＝2GQ，求出a，得到P、Q的坐标；
（3）求出直线n，再求出点E，由点C得到点F，设出点M，分CE＝ME和CE＝CM两种情况讨论求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点D（t，1）在直线l：y＝﹣x+6上，
∴﹣t+6＝1，
∴t＝5，
∴D（5，1），
设直线m为y＝kx+b（k≠0），
把点D（5，1），C（0，﹣2）代入，得：，
解得：，
∴直线m的解析式为：y＝x﹣2．
（2）设P（a，﹣a+6），则Q（a，a﹣2），
∴PG＝﹣a+6，GQ＝﹣a+2，
∵S△PCG＝PG•OG，S△QCG＝GQ•OG，S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2GQ，
∴﹣a+6＝2（﹣a+2），
解得：a＝﹣10，
∴P（﹣10，16），Q（﹣10，﹣8）．
（3）由题意得：直线n的解析式为：y＝﹣（x+12）+6＝﹣x﹣6，
∴E（﹣6，0），
∵点F与点C（0，﹣2）关于原点对称，
∴F（0，2），
∴直线k为：y＝2，
设M（m，2），
①CE＝CM时，m2+42＝（﹣6）2+22，
解得：m1＝2，m2＝﹣2，
∴M1（2，2），M2（﹣2，2），
②CE＝ME时，（﹣6）2+22＝（m+6）2+22，
解得：m3＝0，m4＝﹣12（ME与CE共线，组不成三角形，舍去），
∴M3（0，2），
综上所述：M1（2，2），M2（﹣2，2），M3（0，2）．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为BC上的点，点P矩形内部一动点，连接PD，PB；
（1）如图一，若满足PE⊥DE，∠PBE＝45°，PB＝，EC＝1，求证：PE＝DE；
（2）如图二，当点P在线段BD上的运动，求PE+DE的最小值；
（3）如图三，若点Q为AD的中点，P为矩形内部一动点，连接PQ，PB，PC，问PQ+PB+PC是否有最小值，若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由．
【分析】（1）如图一，过点P作PF⊥BC于点F，则∠PFB＝∠PFE＝90°，可证得△PBF是等腰直角三角形，再利用矩形性质可得∠PFC＝∠C，进而可得△EPF≌△DEC（ASA），可证得结论；
（2）如图二，作点D关于直线BC的对称点D′，连接BD′，CD′，在BD′上取BP′＝BP，连接EP′，先证明△BCD≌△BCD′（SAS），得出∠CBD＝∠CBD′，再证明△BPE≌△BP′E（SAS），即可得出PE+DE＝P′E+DE，当P′、E、D三点共线时，P′E+DE最小，由于点P′是DD′上的动点，故当且仅当DP′⊥BD′时，DP′最小，此时PE+DE最小，根据DP″•BD′＝BC•DD′，即可得出答案；
（3）如图三，延长AB至E，使BE＝BC＝5，连接QE，在QE上分别取P、H两点，使∠BPH＝∠BHP＝45°，连接PC，先证明△BPC≌△BHE（SAS），当Q、P、H、E在同一条直线上时，PQ+PB+PC＝PQ+PC+PH＝QE，此时PQ+PB+PC的值最小，运用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：（1）如图一，过点P作PF⊥BC于点F，则∠PFB＝∠PFE＝90°，
∵∠PBE＝45°，PB＝，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴BF＝PF＝1，
∵EC＝1，
∴PF＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∴∠PFC＝∠C，
∵PE⊥DE，
∴∠PEF+∠DEC＝90°，
∵∠PEF+∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠DEC，
在△EPF和△DEC中，
，
∴△EPF≌△DEC（ASA），
∴PE＝DE；
（2）如图二，作点D关于直线BC的对称点D′，连接BD′，CD′，
在BD′上取BP′＝BP，连接EP′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCD′，
在△BCD和△BCD′中，
，
∴△BCD≌△BCD′（SAS），
∴∠CBD＝∠CBD′，
在△BPE和△BP′E中，
，
∴△BPE≌△BP′E（SAS），
∴PE＝P′E，
∴PE+DE＝P′E+DE，
当P′、E、D三点共线时，P′E+DE最小，
∵点P′是DD′上的动点，
∴当且仅当DP′⊥BD′时，DP′最小，此时PE+DE最小，
作DP″⊥BD′于点P″，
∵CD＝AB＝CD′＝3，BC＝AD＝5，
∴DD′＝6，BD′＝＝＝，
∵DP″•BD′＝BC•DD′，
∴DP″×＝5×6，
∴DP″＝＝，
∴PE+DE的最小值为；
（3）如图三，延长AB至E，使BE＝BC＝5，连接QE，
在QE上分别取P、H两点，使∠BPH＝∠BHP＝45°，连接PC，
∴BP＝BH，
∵∠PBH＝180°﹣∠BPH﹣∠BHP＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠PBH＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠PBC+∠CBH＝∠HBE+∠CBH＝90°，
∴∠PBC＝∠HBE，
在△BPC和△BHE中，
，
∴△BPC≌△BHE（SAS），
∴PC＝HE，
在Rt△BPH中，PH＝BP，
∵Q、P、H、E在同一条直线上，
∴PQ+PB+PC＝PQ+PC+PH＝QE，此时PQ+PB+PC的值最小，
在Rt△AQE中，AQ＝AD＝，AE＝3+5＝8，
∴QE＝＝＝，
故PQ+PB+PC最小值为．
成绩等级
分数（单位：分）
学生人数
A
90＜x≤100
4
B
80＜x≤90
a
C
70＜x≤80
b
D
60＜x≤70
6
年级
平均数
中位数
优秀率
七年级
79
m
n%
八年级
76
82.5
50%
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
3
1
a＝
﹣3
b＝
…
成绩等级
分数（单位：分）
学生人数
A
90＜x≤100
4
B
80＜x≤90
a
C
70＜x≤80
b
D
60＜x≤70
6
年级
平均数
中位数
优秀率
七年级
79
m
n%
八年级
76
82.5
50%
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
3
1
a＝ ﹣1
﹣3
b＝ ﹣3
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
3
1
﹣1
﹣3
﹣3
…