2020-2021学年四川省成都实验外国语学校西区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2020-2021学年四川省成都实验外国语学校西区九年级（上）月考数学试卷（10月份），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．（x+1）2＝2（x+1）B．
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
2．（3分）已知＝，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．GF＝ADB．EF＝ACC．GE＝BCD．GE＝GF
5．（3分）下列命题中，其真命题个数有（ ）
①矩形的对角线互相垂直平分
②平行四边形的对角线互相平分
③正方形的对角线互相垂直平分且相等
④菱形的对角线相互平分且相等
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（3分）若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A．若＝，则＝
B．若线段a：b＝c：d，则＝
C．若2x﹣5y＝0，则＝
D．若线段a：b＝c：d，则＝
7．（3分）如图，△ABP中，∠APB＝120°，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：
①∠ACP＝∠PDB；
②∠APC＝∠B；
③CD2＝AC•DB；
④AP2＝AC•AB．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（3分）以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15或12B．12C．15D．以上都不对
9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似
10．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则方程的解是 ．
12．（4分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 ．
13．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝ cm．
14．（4分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）解方程．
（1）2x2+5x﹣1＝0．
（2）（x+2）2﹣10（x+2）﹣24＝0．
16．（9分）过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD、BC和DC分别交于点E、F、G．求证：AE2＝EF•EG．
17．（9分）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长．
18．（9分）x1、x2是方程2x2﹣3x﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x12+x22；
（2）|x1﹣x2|；
（3）+．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm每秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ与△ABC相似？（AB＝6cm，BC＝8cm）
20．（9分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝10，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若m是方程x2+x﹣4＝0的根，则代数式m3+5m2﹣5的值是 ．
22．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
23．（4分）已知a，b，c为非零实数，且满足＝＝＝k，则一次函数y＝kx+（1+k）图形一定经过 象限．
24．（4分）以比方程x2﹣5x﹣2＝0的两根均大3的数为根的方程是 ．
25．（4分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1Dn∁n的面积为Sn，则S2＝ ；Sn＝ ．（用含n的式子表示）
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）已知 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
27．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
28．（10分）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年四川省成都实验外国语学校西区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．（x+1）2＝2（x+1）B．
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），
故选：A．
2．（3分）已知＝，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据＝，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝＝．
故选：B．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2
【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．
【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，
解得：x2＝﹣4，m＝2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选：D．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．GF＝ADB．EF＝ACC．GE＝BCD．GE＝GF
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴，，，
故选项A，C正确，
∵AD＝BC，
∴GE＝GF，
故选项D正确，
∵EF不一定等于AG，
故选项B不正确；
故选：B．
5．（3分）下列命题中，其真命题个数有（ ）
①矩形的对角线互相垂直平分
②平行四边形的对角线互相平分
③正方形的对角线互相垂直平分且相等
④菱形的对角线相互平分且相等
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质判断．
【解答】解：①矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，本小题说法是假命题；
②平行四边形的对角线互相平分，本小题说法是真命题；
③正方形的对角线互相垂直平分且相等，本小题说法是真命题；
④菱形的对角线相互平分，但不一定相等，本小题说法是假命题；
故选：C．
6．（3分）若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A．若＝，则＝
B．若线段a：b＝c：d，则＝
C．若2x﹣5y＝0，则＝
D．若线段a：b＝c：d，则＝
【分析】根据比例的性质进行解答即可．
【解答】解：A、若＝，则＝，＝，＝，＝，题干的计算正确，不符合题意；
B、若线段a：b＝c：d，则＝，则＝，题干的计算正确，不符合题意；
C、若2x﹣5y＝0，则2x＝5y，＝，＝＝，题干的计算正确，不符合题意；
D、若线段a：b＝c：d，则＝，题干的计算错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，△ABP中，∠APB＝120°，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：
①∠ACP＝∠PDB；
②∠APC＝∠B；
③CD2＝AC•DB；
④AP2＝AC•AB．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据△PCD是等边三角形，可得∠CPD＝∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD，然后可以判断①②③正确；然后证明△APC∽△ABP，可以判断④正确，进而可得答案．
【解答】解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠CPD＝∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∠A+∠APC＝∠PCD＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠APB＝60°，
∴∠APC＝∠B，
∴△APC∽△PBD，
∴＝，
∴PC•PD＝AC•DB，
∴CD2＝AC•DB；
故①②③正确；
∵∠APC＝∠B，∠A＝∠A，
∴△APC∽△ABP，
∴＝，
∴AP2＝AC•AB．故④正确．
∴正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
8．（3分）以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15或12B．12C．15D．以上都不对
【分析】首先根据因式分解法解出方程的解，再根据三角形的三边关系可确定X的值，然后再求周长即可．
【解答】解：x2﹣13x+40＝0，
（x﹣5）（x﹣8）＝0，
则x﹣5＝0，x﹣8＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
设三角形的第三边长为x，由题意得：4﹣3＜x＜4+3，
解得1＜x＜7，
∴x＝5，
三角形周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似
【分析】利用相似三角形的判定定理，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可判定B选项正确．
【解答】解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB∽△COD，
∴①与③相似，故B选项正确，
又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故A，C，B选项均不正确，
故选：B．
10．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，由每个队之间都要赛一场且一共比赛28场（4×7），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝28．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则方程的解是 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
12．（4分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 50+50×（1+x）+50（1+x）2＝182 ．
【分析】等量关系为：四月份生产的零件个数+五月份生产的零件个数+六月份生产的零件个数＝182．
【解答】解：易得五月份生产的零件个数是在四月份的基础上增加的，所以为50（1+x），同理可得6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的，为50（1+x）（1+x），那么50+50×（1+x）+50（1+x）2＝182．
13．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝ 6 cm．
【分析】作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理可得到AG，FG的长，从而也就求得了AB的长．
【解答】解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，根据平行线分线段成比例定理，得：，AG＝3.6cm，则FG＝2.4cm，所以AB＝1.2+4.8＝6cm．
14．（4分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标为 （，3） ．
【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△ACF≌△OBE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即 ，
∴OE＝，
即点B（ ，3），
故答案为：（，3）．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）解方程．
（1）2x2+5x﹣1＝0．
（2）（x+2）2﹣10（x+2）﹣24＝0．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝25+8＝33，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）分解因式得：（x+2﹣12）（x+2+2）＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣4．
16．（9分）过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD、BC和DC分别交于点E、F、G．求证：AE2＝EF•EG．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，所以△ADE∽△FBE，△ABE∽△GDE，对应边成比例，即可得结论．
【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，△ABE∽△GDE，
∴＝，＝，
∴＝，
∴AE2＝EF•EG．
17．（9分）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长．
【分析】根据平行线分线段成比例，代入计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵DB＝AE，AB＝5，AC＝10，
∴，
解得：AE＝．
18．（9分）x1、x2是方程2x2﹣3x﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x12+x22；
（2）|x1﹣x2|；
（3）+．
【分析】（1）根据根与系数的关系和变形公式x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2解答；
（2）根据根与系数的关系和变形公式|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2解答；
（3）结合根与系数的关系和（1）解答．
【解答】解：依题意，得x1+x2＝，x1•x2＝﹣．
（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（）2﹣2×（﹣）＝；
（2）|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（）2﹣4×（﹣）＝，则|x1﹣x2|＝；
（3）+＝＝＝﹣．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm每秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ与△ABC相似？（AB＝6cm，BC＝8cm）
【分析】设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得出答案．
【解答】解：设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：
则AP＝ycm，BQ＝2ycm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣y）cm，
①若△PBQ∽△ABC，则有，即，
解得：y＝；
②若△QBP∽△ABC，则有，即，
解得：y＝．
答：经过或秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．
20．（9分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝10，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接EF交AC于O，如图，利用折叠的性质得EA＝EC，FA＝FC，再证明△AEF为等腰三角形得到AE＝AF，则AE＝EC＝AF＝CF，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AFCE是菱形；
（2）先利用面积公式得到AB•BF＝48，再利用勾股定理得到AB2+BF2＝AF2＝100，则利用完全平方公式可得到AB+BF＝14，从而得计算出△ABF的周长；
（3）过点E作EP⊥AD交AC于P，此时P点为所作，利用∠EAO＝∠POE，∠AOE＝∠AEP可判断△AOE∽△AEP，则利用相似比得到AE2＝AO•AP，由于OA＝AC，所以2AE2＝AC•AP．
【解答】（1）证明：连接EF交AC于O，如图，
∵将矩形ABCD（AD＞AB）折叠，使点A与点C重合，
∴EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∴∠2＝∠3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
而AO⊥EF，
∴△AEF为等腰三角形，
∴AE＝AF，
∴AE＝EC＝AF＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AB•BF＝24，
∴AB•BF＝48，
∵AF＝AE＝10，
∴AB2+BF2＝AF2＝100，
∴（AB+BF）2﹣2AB•BF＝100，即（AB+BF）2﹣2•48＝100，即
∴AB+BF＝14，
∴△ABF的周长＝AB+BF+AF＝14+10＝24（cm）；
（3）解：存在．
过点E作EP⊥AD交AC于P，此时P点为所作，如图，则∠AEP＝90°，
∵∠EAO＝∠POE，∠AOE＝∠AEP，
∴△AOE∽△AEP，
∴AO：AE＝AE：AP，
∴AE2＝AO•AP，
∵OA＝AC，
∴2AE2＝AC•AP．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若m是方程x2+x﹣4＝0的根，则代数式m3+5m2﹣5的值是 11 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程求得m2+m＝4，m2﹣4＝m；然后将所求的代数式转化为含有（m2+m）的代数式，并代入求值即可．
【解答】解：根据题意，得
m2+m＝4，m2＝﹣m+4，
则m3+5m2﹣5，
＝m2（m+5）﹣5，
＝（4﹣m）（m+5）﹣5，
＝﹣（m+m2）+15，
＝﹣4+15，
＝11．
故答案是：11．
22．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＜2，且a≠1 ．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，所以△＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣1）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a﹣1），
∴a≠1．
故a的取值范围是a＜2且a≠1．
23．（4分）已知a，b，c为非零实数，且满足＝＝＝k，则一次函数y＝kx+（1+k）图形一定经过 二、三 象限．
【分析】此题要分a+b+c≠0和a+b+c＝0两种情况讨论，然后求出k，就知道函数图象经过的象限．
【解答】解：分两种情况讨论：
当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k＝＝＝1，此时直线是y＝x+2，过第一、二、三象限；
当a+b+c＝0时，即b+c＝﹣a，则k＝＝＝﹣2，此时直线是y＝﹣2x﹣1，直线过第二、三、四象限．
综上所述，该直线必经过二、三象限．
故答案为二、三．
24．（4分）以比方程x2﹣5x﹣2＝0的两根均大3的数为根的方程是 x2﹣11x+22＝0 ．
【分析】设方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为t1，t2，表示出以t1+3，t2+3为根的方程，化简即可．
【解答】解：设方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为t1，t2，
则t1+3，t2+3为根的方程是（x﹣3）2﹣5（x﹣3）﹣2＝0，
整理得：x2﹣11x+22＝0．
故答案为：x2﹣11x+22＝0．
25．（4分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1Dn∁n的面积为Sn，则S2＝ ；Sn＝ ．（用含n的式子表示）
【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．
【解答】解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，
∵△AB1C1是等边三角形，
∴AD1＝AC1•sin60°＝2×＝，
∵△B1C1B2也是等边三角形，
∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，
∴AD1＝B2D1＝，
故S1＝S△B2C1A﹣S△AC1D1＝×2×﹣×2×＝；
S2＝S△B3C2A﹣S△AC2D2＝×4×﹣×4×＝2﹣＝；
作AB∥B1C1，使AB＝AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．
∵Bn∁n∥AB，
∴＝＝，
∴BnDn＝•AB＝，
则Dn∁n＝2﹣BnDn＝2﹣＝．
△Bn∁nBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．
△Bn+1Dn∁n面积为Sn＝•＝•＝．
即第n个图形的面积Sn＝．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）已知 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝4+4＞0恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理得：b2+c2＝a2＝31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则b+c＝2k+1②，bc＝4k﹣3③，
因为（b+c）2﹣2bc＝b2+c2＝31，
即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31＝0，即k2﹣k﹣6＝0，
解得：k1＝3，k2＝﹣2，
∵b+c＝2k+1＞0即k＞﹣．bc＝4k﹣3＞0即k＞，
∴k2＝﹣2（舍去），
则b+c＝2k+1＝7，
又因为a＝，
则△ABC的周长＝a+b+c＝+7．
27．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
28．（10分）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t＜10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM＝AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t．
则＝＝，
又∵AO＝10，AB＝20，
∴＝＝．
∴＝．
又∵∠CAB＝30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC．
当5＜t＜10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，
∵∠PAM＝30°，AP＝4t，
∴AM＝．
在△APQ中，∠AQP＝90°，
∴AQ＝AP•cs30°＝2t，
∴QM＝AC﹣2AQ＝20﹣4t．
由AQ+QM＝AM得：2t+20﹣4t＝，
解得t＝．
∴当t＝时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°．
∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣＝2×，解得t＝2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP＝30°．
∴MH＝2PH，同理可得t＝7．
故当t＝2或7时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/11 12:02:31；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298