2020年广东省广州市从化区中考数学一模试卷 解析版

2020年广东省广州市从化区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每题3分，共30分，每题只有一个正确答案，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）|﹣|的值是（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
2．（3分）下列几何体的三视图相同的是（　　）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体
3．（3分）函数中y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥﹣2
4．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）已知x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，且x1+x2＝2，则（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝3
6．（3分）下列运算错误的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a4÷a＝a3 C． D．
7．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）
A．100，10 B．10，20 C．17，10 D．17，20
8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣4 B． C．π﹣2 D．
9．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）定义一个新运算，若i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，则i2020＝（　　）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分，请将答案填写在答题卡对应题号的横线上．）
11．（3分）因式分解：b2﹣16＝　 　．
12．（3分）“嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有1800000千米，1800000这个数用科学记数法可以表示为　 　．
13．（3分）如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是　 　．

14．（3分）已知直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两点，如果∠NBA＝15°，∠MBA＝45°，则∠MAN＝　 　．
15．（3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为　 　米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）

16．（3分）下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：
①当x＝2时，y有最大值2；
②若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1），其中a＞0，b＞2，则a＜b；
③m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于x＝2+m时的函数值；
④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1时，y的整数值有（2m﹣2）个．
上述四个命题中，其中真命题是　 　．（填写所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共有9小题，共102分，解答应在答题卡相应位置上写出文字说明，或计算步骤）
17．（9分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

18．（9分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．

19．（10分）随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
a
12000≤x＜16000
b
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b的值并补全频数分布直方图；
（2）我市约有5000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

20．（10分）随着“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为80万元．今年该A型自行车每辆售价预计比去年降低0.02万元．若A型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）今年经营的A型自行车销售总额是多少万元？
（2）A型自行车去年每辆售价多少万元；
21．（12分）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．且AB＝5．
（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若四边形ABEF的周长为a，求a的值
（3）根据（2），先化简W＝（a+2）2﹣（a2+1），再求W的值．

22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，BC＝2，求劣弧的长l．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C（4，0），且点B（3，n），连接OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△BOC的面积；
（3）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？

24．（14分）如图（1），已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：DG＝BE；
（2）连接FC，求∠FCN的度数；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝m，BC＝n（m、n为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请画图说明．

25．（14分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1．tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．


2020年广东省广州市从化区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每题3分，共30分，每题只有一个正确答案，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得：|﹣|＝，
故选：C．
2．【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；

B、球的三视图，如图所示，符合题意；

C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意；

D、长方体的三视图，如图所示，不合题意；
．
故选：B．
3．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：A．
4．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：∵x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝b＝2，
∴原方程为x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
6．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原式计算错误，符合题意；
B、a4÷a＝a3，正确，不合题意；
C、＝﹣1，正确，不合题意；
D、+＝，正确，不合题意；
故选：A．
7．【解答】解：捐款金额的众数为10，
中位数＝＝20，
故选：B．
8．【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴△OBC的BC边上的高为：OB＝，
∴BC＝2
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×＝π﹣2，
故选：C．
9．【解答】解：依题意，得：．
故选：A．
10．【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，
∴每4个数据一循环，
∵2020÷4＝505，
∴i2020＝i4＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分，请将答案填写在答题卡对应题号的横线上．）
11．【解答】解：原式＝（b+4）（b﹣4），
故答案为：（b+4）（b﹣4）．
12．【解答】解：1800000＝1.8×106．
故答案是：1.8×106．
13．【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝90°﹣60°＝30°，
而∠1＝18°，
∴∠3＝30°﹣18°＝12°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝12°．
故答案为12°．

14．【解答】解：如图1所示，∵M、N是线段AB的垂直平分线上的两点，
∴NA＝NB，MA＝MB，
∴∠NBA＝∠NAB＝15°，∠MBA＝MAB＝45°，
∴∠MAN＝∠NAB+∠MAB＝15°+45°＝60°．
如图2所示，同理可得∠MAN＝∠MAB﹣∠NAB＝45°﹣15°＝30°．
故答案为：60°或30°．


15．【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
16．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；
当x＝2+m时，y＝（2+m）2﹣4（2+m）+6，
当x＝2﹣m时，y＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6，
∵（2+m）2﹣4（2+m）+6﹣[（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6]＝0，
∴m为任意实数，x＝2+m时的函数值等于x＝2﹣m时的函数值，故③错误；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
∵a＞0，b＞2，
∴a＜b；故②正确；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣4（m+1）+6，
当x＝m时，y＝m2﹣4m+6，
（m+1）2﹣4（m+1）+6﹣[m2﹣4m+6]＝2m﹣3，
∵m是整数，
∴2m﹣2是整数，
∴y的整数值有（2m﹣2）个；故④正确．
故答案为：②④．
三、解答题（本大题共有9小题，共102分，解答应在答题卡相应位置上写出文字说明，或计算步骤）
17．【解答】解：
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
在数轴上表示为：

18．【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
19．【解答】解：（1）a＝12÷50＝0.24，b＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：

（2）5000×（0.2+0.06+0.04）＝1500，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，
画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的结果数为2，
所以被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．
20．【解答】解：（1）今年经营的A型自行车销售总额＝80×（1﹣10%）＝72万元；
（2）设去年A型车每辆售价x万元，则今年售价每辆为（x﹣0.02）万元，
由题意得：，
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根，
答：去年A型车每辆售价0.2万元．
21．【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求．

（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴四边形ABEF的周长为a＝4AB＝20．
（3）∵W＝（a+2）2﹣（a2+1）＝a2+4a+4﹣（a2+1）＝4a+3，
∵a＝20，
∴W＝4×20+3＝83．
22．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，DC，
∵∠DAC＝DOC，∠OAC＝BOC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴CD＝CB＝2，∵ED＝1，
∴sin∠ECD＝，
∴∠ECD＝30°，
∴∠OCD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，
∴l＝＝π．

23．【解答】解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式y＝﹣x+b并解得：b＝4，
故一次函数的表达式为：y＝﹣x+4，
将点B的坐标代入y＝﹣x+4得：n＝﹣3+4＝1，故点B（3，1），
将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；

（2）过点B作BD⊥x轴于点D，

则△BOC的面积＝OC×BD＝4×1＝2；

（3）将直线AB向下平移m个单位（m＞0）得到直线的表达式为：y＝﹣x+4+m，
∵直线AB向下平移m个单位后和反比例函数只有一个公共点，则＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×3＝0，解得：m＝4±2，
故直线AB向下平移了4+2或﹣2个程度单位．
24．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．
∴DG＝BE；

（2）如图，作FH⊥MN于H，
∵∠AEF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠FEH＝∠BAE，
又∵AE＝EF，∠EHF＝∠EBA＝90°，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，
∴CH＝BE＝FH，
∴∠FCN＝∠CFH＝（180°﹣∠FHC），
∵∠FHC＝90°，
∴∠FCN＝45°．

（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：
如图，作FH⊥BN于H，由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，
结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG，
又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH＝AD＝BC＝n，
∴CH＝BE，
∴＝＝；
在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．


25．【解答】解：
（1）∵OA＝1．tan∠BAO＝3，
∴＝3，解得OB＝3，
又由旋转可得OB＝OC＝3，
∴A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC＝90°或∠EFC＝90°，
若∠FEC＝90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（﹣1，4）；
若∠EFC＝90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，

则∠GPE+∠PEG＝∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE＝∠OCD，且∠PGE＝∠COD＝90°，
∴△PGE∽△COD，
∴＝，
∵E（﹣1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE＝﹣1﹣t，PG＝﹣t2﹣2t+3，
∴＝，解得t＝﹣2或t＝3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即t＝﹣2，
此时P点坐标为（﹣2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
②设直线CD解析式为y＝kx+m，
把C、D两点坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y＝x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，

∵P点横坐标为t，
∴PN＝﹣t2﹣2t+3，MN＝t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM＝PN﹣MN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为，
∵S△PCD＝S△PCM+S△PDM＝PM•CN+PM•NO＝PM•OC＝PM，
∴当PM有最大值时，△PCD的面积有最大值，
∴（S△PCD）max＝×＝，
综上可知存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为．