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选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀第1课时学案
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这是一份选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀第1课时学案，共20页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为( )
A．5B．14
C．eq \f(14,5)D．eq \f(4,5)
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．eq \f(\r(6),6)B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(3),6)D．eq \f(\r(3),3)
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A．eq \f(\r(3),6)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),3)D．eq \f(\r(3),2)
4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为____．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A．eq \f(2\r(2),3)B．1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(3)D．3eq \r(2)
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A．eq \f(\r(2),2)aB．eq \f(\r(3),3)a
C．eq \r(3)aD．eq \f(2\r(3),3)a
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A．eq \f(6\r(5),5)B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．eq \f(\r(5),5)
二、填空题
6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq \f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是___．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为____．
8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝eq \r(3)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为____．
三、解答题
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5B．8
C．eq \f(60,13)D．eq \f(13,3)
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．eq \f(\r(10),10)B．eq \f(2\r(11),11)
C．eq \f(3,5)D．1
3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,6)D．eq \f(3,5)
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为( )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(4\r(2),3)D．eq \f(4,3)
二、填空题
5．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为____．
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝eq \f(1,3)DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为____．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为____．
三、解答题
8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq \r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)？若存在，求出eq \f(AQ,QD)的值；若不存在，说明理由．
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
1．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为( C )
A．5B．14
C．eq \f(14,5)D．eq \f(4,5)
[解析] ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2，－6,2)，eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(14,5)．
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( D )
A．eq \f(\r(6),6)B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(3),6)D．eq \f(\r(3),3)
[解析] 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
则d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3)．
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( B )
A．eq \f(\r(3),6)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),3)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(DA1,\s\up6(→))，,m⊥\(DC1,\s\up6(→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,y－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))故m＝(1,1,1)，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离
d＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)．
4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为__eq \f(10,3)__．
[解析] 点P到平面α的距离
d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3)．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
[解析] 设正四棱柱的高为h(h＞0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1,0，－h)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1，－h)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－hz＝0，,y－hz＝0，))
取z＝1，得n＝(h，h,1)，所以点C到平面AB1D1的距离为
d＝eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(h＋h＋0,\r(h2＋h2＋1))＝eq \f(4,3)，
解得h＝2．
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( A )
A．eq \f(2\r(2),3)B．1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
[解析] ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)．
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( B )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(3)D．3eq \r(2)
[解析] ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，
∴两平面间的距离d＝eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(|－2＋0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)．故选B．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 建立坐标系如图，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))．
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．
设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝y＝0，,\(AD1,\s\up6(→))·n＝－1＋z＝0，))
解得y＝0，z＝1，∴n＝(1,0,1)．
又eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))，
∴点O到平面ABC1D1的距离为eq \f(|\(OA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4)．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( D )
A．eq \f(\r(2),2)aB．eq \f(\r(3),3)a
C．eq \r(3)aD．eq \f(2\r(3),3)a
[解析] 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则eq \(AC1,\s\up6(→))＝(a，a，a)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，a，a)，由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离是eq \f(|\(AC1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|\(AC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(2a2,\r(3)a)＝eq \f(2\r(3),3)a．故选D．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( B )
A．eq \f(6\r(5),5)B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．eq \f(\r(5),5)
[解析] 建立空间直角坐标系如图所示，则eq \(BA,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(0,1,2)．
设∠ABE＝θ，则
cs θ＝eq \f(|\(BA,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))|,|\(BA,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(5),5)．
∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴A到直线BE的距离d＝|eq \(AB,\s\up6(→))|sin θ＝2×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4\r(5),5)．
二、填空题
6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq \f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是__3__．
[解析] 以C为坐标原点，CA、CB、CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(0,3,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(9,5)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,3,0)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0，\f(9,5)))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影长为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,5)，
所以点P到AB的距离为
d＝eq \r(|AP|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2)＝eq \r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__eq \f(\r(3),2)__．
[解析] 如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，A(1,0,0)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))．
∴点M到平面ACD1的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，1)))),\r(3))＝eq \f(\r(3),2)．
∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD1,\s\up6(→))，MN⊄平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，
∴MN到平面ACD1的距离d＝eq \f(\r(3),2)．
8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝eq \r(3)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为__eq \f(\r(3),2)__．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，eq \r(3))，B1(0,1，eq \r(3))，C1(0,0，eq \r(3))，
∴eq \(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－eq \r(3))，eq \(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq \r(3))，eq \(A1B1,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1C,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y－\r(3)z＝0，,－x－\r(3)z＝0.))
令z＝1得x＝－eq \r(3)，y＝0，∴n＝(－eq \r(3)，0,1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝eq \f(|n·\(A1B1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(\r(3),2)．
三、解答题
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2,0,1)，故点M到直线AC1的距离
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AM,\s\up6(→))|2－|\(AM,\s\up6(→))·s0|2))＝eq \r(5－\f(1,2))
＝eq \f(3\r(2),2)．
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1M,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,2x－z＝0，))
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，故N到平面MA1C1的距离d＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)．
10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)．
方法一：设存在点E，使eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DP,\s\up6(→))，且BE⊥DP，
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴点E(0,4－4λ，4λ)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,4－4λ，4λ)．
∵BE⊥DP，
∴eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝eq \f(1,2)．
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，
∴|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(4＋4＋4)＝2eq \r(3)，
故点B到直线PD的距离为2eq \r(3)．
方法二：eq \(BP,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)，
∴eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝16，
∴eq \(BP,\s\up6(→))在eq \(DP,\s\up6(→))上的投影的长度为
eq \f(|\(BP,\s\up6(→))·\(DP,\s\up6(→))|,|\(DP,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,\r(16＋16))＝2eq \r(2)．
所以点B到直线PD的距离为
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(BP,\s\up6(→))|2－2\r(2)2))＝eq \r(20－8)＝2eq \r(3)．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( C )
A．5B．8
C．eq \f(60,13)D．eq \f(13,3)
[解析] 以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，n⊥eq \(CD1,\s\up6(→))，得n·eq \(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq \(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝eq \f(5,12)c，∴可取n＝(0,5,12)．
又eq \(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，
∴点B1到平面A1BCD1的距离为eq \f(|\(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(60,13)．
∵B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(60,13)．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( B )
A．eq \f(\r(10),10)B．eq \f(2\r(11),11)
C．eq \f(3,5)D．1
[解析] 以C为坐标原点，eq \(CD,\s\up6(→))所在直线为x轴，eq \(CB,\s\up6(→))所在直线为y轴，eq \(CG,\s\up6(→))所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \(FE,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(EG,\s\up6(→))＝(－2，－4,2)．
设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(FE,\s\up6(→))＝0，,m·\(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2y＝0，,－2x－4y＋2z＝0.))
令x＝1，则y＝1，z＝3，则m＝(1,1,3)，
∴点B到平面EFG的距离d＝eq \f(|\(BE,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(2\r(11),11)．
3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( C )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,6)D．eq \f(3,5)
[解析] 如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)，
所以P点到AB的距离
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))2))＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6)．
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为( A )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(4\r(2),3)D．eq \f(4,3)
[解析] 如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，eq \(B1D1,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)．
设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2y＝0，,－2x＋4z＝0，))
取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)，
所以点B1到平面AD1C的距离为eq \f(|n·\(B1D1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(8,3)，故选A．
二、填空题
5．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为__eq \f(2\r(3),3)__．
[解析] 取AB的中点O，连接OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,2y＋2z＝0，))
令y＝1，则平面ACE的一个法向量为(－1，1，－1)．
故点D到平面ACE的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AD,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,\r(3))))＝eq \f(2\r(3),3)．
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝eq \f(1,3)DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为__eq \f(4\r(37),37)__．
[解析] 以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,3)))，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(1,6)))，eq \(D1A1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，
∴eq \(D1A1,\s\up6(→))∥eq \(EF,\s\up6(→))．又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH．∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(FG,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0，))
令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1,6)，
n的单位向量n0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,\r(37))，\f(6,\r(37))))，
又∵eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(1,2)))，
∴点D1到平面EFGH的距离d＝|eq \(D1F,\s\up6(→))·n0|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,\r(37))，\f(6,\r(37))))))＝eq \f(4\r(37),37)，
∴A1D1到平面EFGH的距离为eq \f(4\r(37),37)．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为__eq \f(8,3)__．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4,0,0)，M(2，0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,y＝－2z.))
取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝eq \f(|n·\(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(8,3)．
三、解答题
8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
[解析] 以A为原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则F为CD的中点，A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0，
2eq \r(3)，0)，C(2,2eq \r(3)，0)，D(－2，2eq \r(3)，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)．
设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，由eq \(BE,\s\up6(→))＝(－4,0,2)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3)，2)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BE,\s\up6(→))＝0，,n·\(DE,\s\up6(→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋2z＝0，,2x－2\r(3)y＋2z＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(z,2)，,y＝\f(\r(3)z,2)，))
取z＝2，则x＝1，y＝eq \r(3)，得n＝(1，eq \r(3)，2)．
∵eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(3)，－4)，∴n·eq \(PC,\s\up6(→))＝2＋6－8＝0，
∴n⊥eq \(PC,\s\up6(→))，故PC∥平面BED，
∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．
∵eq \(EP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
∴点P到平面BED的距离d＝eq \f(|\(EP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(4,\r(1＋3＋4))＝eq \r(2)，
即PC到平面BED的距离为eq \r(2)，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq \r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)？若存在，求出eq \f(AQ,QD)的值；若不存在，说明理由．
[解析] 取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1，0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
则eq \(CP,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)，
设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则eq \(CQ,\s\up6(→))＝(－1，y,0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CP,\s\up6(→))＝0，,n·\(CD,\s\up6(→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x0＋z0＝0，,－x0＋y0＝0，))即x0＝y0＝z0，
取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝eq \f(|\(CQ,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－1＋y|,\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
∴y＝－eq \f(1,2)或y＝eq \f(5,2)(舍去)．此时eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，eq \(QD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)，0))，则|eq \(AQ,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)，|eq \(QD,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)．
∴存在点Q满足题意，此时eq \f(AQ,QD)＝eq \f(1,3)．
1．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为( )
A．5B．14
C．eq \f(14,5)D．eq \f(4,5)
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．eq \f(\r(6),6)B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(3),6)D．eq \f(\r(3),3)
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A．eq \f(\r(3),6)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),3)D．eq \f(\r(3),2)
4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为____．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A．eq \f(2\r(2),3)B．1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(3)D．3eq \r(2)
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A．eq \f(\r(2),2)aB．eq \f(\r(3),3)a
C．eq \r(3)aD．eq \f(2\r(3),3)a
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A．eq \f(6\r(5),5)B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．eq \f(\r(5),5)
二、填空题
6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq \f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是___．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为____．
8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝eq \r(3)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为____．
三、解答题
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5B．8
C．eq \f(60,13)D．eq \f(13,3)
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．eq \f(\r(10),10)B．eq \f(2\r(11),11)
C．eq \f(3,5)D．1
3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,6)D．eq \f(3,5)
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为( )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(4\r(2),3)D．eq \f(4,3)
二、填空题
5．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为____．
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝eq \f(1,3)DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为____．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为____．
三、解答题
8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq \r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)？若存在，求出eq \f(AQ,QD)的值；若不存在，说明理由．
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
1．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为( C )
A．5B．14
C．eq \f(14,5)D．eq \f(4,5)
[解析] ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2，－6,2)，eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(14,5)．
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( D )
A．eq \f(\r(6),6)B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(3),6)D．eq \f(\r(3),3)
[解析] 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
则d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3)．
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( B )
A．eq \f(\r(3),6)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),3)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(DA1,\s\up6(→))，,m⊥\(DC1,\s\up6(→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,y－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))故m＝(1,1,1)，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离
d＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)．
4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为__eq \f(10,3)__．
[解析] 点P到平面α的距离
d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3)．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
[解析] 设正四棱柱的高为h(h＞0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1,0，－h)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1，－h)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－hz＝0，,y－hz＝0，))
取z＝1，得n＝(h，h,1)，所以点C到平面AB1D1的距离为
d＝eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(h＋h＋0,\r(h2＋h2＋1))＝eq \f(4,3)，
解得h＝2．
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( A )
A．eq \f(2\r(2),3)B．1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
[解析] ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)．
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( B )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(3)D．3eq \r(2)
[解析] ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，
∴两平面间的距离d＝eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(|－2＋0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)．故选B．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 建立坐标系如图，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))．
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．
设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝y＝0，,\(AD1,\s\up6(→))·n＝－1＋z＝0，))
解得y＝0，z＝1，∴n＝(1,0,1)．
又eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))，
∴点O到平面ABC1D1的距离为eq \f(|\(OA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4)．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( D )
A．eq \f(\r(2),2)aB．eq \f(\r(3),3)a
C．eq \r(3)aD．eq \f(2\r(3),3)a
[解析] 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则eq \(AC1,\s\up6(→))＝(a，a，a)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，a，a)，由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离是eq \f(|\(AC1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|\(AC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(2a2,\r(3)a)＝eq \f(2\r(3),3)a．故选D．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( B )
A．eq \f(6\r(5),5)B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．eq \f(\r(5),5)
[解析] 建立空间直角坐标系如图所示，则eq \(BA,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(0,1,2)．
设∠ABE＝θ，则
cs θ＝eq \f(|\(BA,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))|,|\(BA,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(5),5)．
∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴A到直线BE的距离d＝|eq \(AB,\s\up6(→))|sin θ＝2×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4\r(5),5)．
二、填空题
6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq \f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是__3__．
[解析] 以C为坐标原点，CA、CB、CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(0,3,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(9,5)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,3,0)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0，\f(9,5)))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影长为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,5)，
所以点P到AB的距离为
d＝eq \r(|AP|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2)＝eq \r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__eq \f(\r(3),2)__．
[解析] 如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，A(1,0,0)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))．
∴点M到平面ACD1的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，1)))),\r(3))＝eq \f(\r(3),2)．
∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD1,\s\up6(→))，MN⊄平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，
∴MN到平面ACD1的距离d＝eq \f(\r(3),2)．
8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝eq \r(3)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为__eq \f(\r(3),2)__．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，eq \r(3))，B1(0,1，eq \r(3))，C1(0,0，eq \r(3))，
∴eq \(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－eq \r(3))，eq \(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq \r(3))，eq \(A1B1,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1C,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y－\r(3)z＝0，,－x－\r(3)z＝0.))
令z＝1得x＝－eq \r(3)，y＝0，∴n＝(－eq \r(3)，0,1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝eq \f(|n·\(A1B1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(\r(3),2)．
三、解答题
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2,0,1)，故点M到直线AC1的距离
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AM,\s\up6(→))|2－|\(AM,\s\up6(→))·s0|2))＝eq \r(5－\f(1,2))
＝eq \f(3\r(2),2)．
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1M,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,2x－z＝0，))
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，故N到平面MA1C1的距离d＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)．
10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)．
方法一：设存在点E，使eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DP,\s\up6(→))，且BE⊥DP，
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴点E(0,4－4λ，4λ)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,4－4λ，4λ)．
∵BE⊥DP，
∴eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝eq \f(1,2)．
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，
∴|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(4＋4＋4)＝2eq \r(3)，
故点B到直线PD的距离为2eq \r(3)．
方法二：eq \(BP,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)，
∴eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝16，
∴eq \(BP,\s\up6(→))在eq \(DP,\s\up6(→))上的投影的长度为
eq \f(|\(BP,\s\up6(→))·\(DP,\s\up6(→))|,|\(DP,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,\r(16＋16))＝2eq \r(2)．
所以点B到直线PD的距离为
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(BP,\s\up6(→))|2－2\r(2)2))＝eq \r(20－8)＝2eq \r(3)．
B组·素养提升
一、选择题
1．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( C )
A．5B．8
C．eq \f(60,13)D．eq \f(13,3)
[解析] 以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，n⊥eq \(CD1,\s\up6(→))，得n·eq \(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq \(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝eq \f(5,12)c，∴可取n＝(0,5,12)．
又eq \(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，
∴点B1到平面A1BCD1的距离为eq \f(|\(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(60,13)．
∵B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(60,13)．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( B )
A．eq \f(\r(10),10)B．eq \f(2\r(11),11)
C．eq \f(3,5)D．1
[解析] 以C为坐标原点，eq \(CD,\s\up6(→))所在直线为x轴，eq \(CB,\s\up6(→))所在直线为y轴，eq \(CG,\s\up6(→))所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \(FE,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(EG,\s\up6(→))＝(－2，－4,2)．
设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(FE,\s\up6(→))＝0，,m·\(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2y＝0，,－2x－4y＋2z＝0.))
令x＝1，则y＝1，z＝3，则m＝(1,1,3)，
∴点B到平面EFG的距离d＝eq \f(|\(BE,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(2\r(11),11)．
3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( C )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,6)D．eq \f(3,5)
[解析] 如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)，
所以P点到AB的距离
d＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))2))＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6)．
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为( A )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(4\r(2),3)D．eq \f(4,3)
[解析] 如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，eq \(B1D1,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)．
设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2y＝0，,－2x＋4z＝0，))
取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)，
所以点B1到平面AD1C的距离为eq \f(|n·\(B1D1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(8,3)，故选A．
二、填空题
5．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为__eq \f(2\r(3),3)__．
[解析] 取AB的中点O，连接OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,2y＋2z＝0，))
令y＝1，则平面ACE的一个法向量为(－1，1，－1)．
故点D到平面ACE的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AD,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,\r(3))))＝eq \f(2\r(3),3)．
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝eq \f(1,3)DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为__eq \f(4\r(37),37)__．
[解析] 以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,3)))，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(1,6)))，eq \(D1A1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，
∴eq \(D1A1,\s\up6(→))∥eq \(EF,\s\up6(→))．又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH．∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(FG,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0，))
令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1,6)，
n的单位向量n0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,\r(37))，\f(6,\r(37))))，
又∵eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(1,2)))，
∴点D1到平面EFGH的距离d＝|eq \(D1F,\s\up6(→))·n0|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,\r(37))，\f(6,\r(37))))))＝eq \f(4\r(37),37)，
∴A1D1到平面EFGH的距离为eq \f(4\r(37),37)．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为__eq \f(8,3)__．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4,0,0)，M(2，0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,y＝－2z.))
取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝eq \f(|n·\(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(8,3)．
三、解答题
8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
[解析] 以A为原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则F为CD的中点，A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0，
2eq \r(3)，0)，C(2,2eq \r(3)，0)，D(－2，2eq \r(3)，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)．
设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，由eq \(BE,\s\up6(→))＝(－4,0,2)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3)，2)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BE,\s\up6(→))＝0，,n·\(DE,\s\up6(→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋2z＝0，,2x－2\r(3)y＋2z＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(z,2)，,y＝\f(\r(3)z,2)，))
取z＝2，则x＝1，y＝eq \r(3)，得n＝(1，eq \r(3)，2)．
∵eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(3)，－4)，∴n·eq \(PC,\s\up6(→))＝2＋6－8＝0，
∴n⊥eq \(PC,\s\up6(→))，故PC∥平面BED，
∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．
∵eq \(EP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
∴点P到平面BED的距离d＝eq \f(|\(EP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(4,\r(1＋3＋4))＝eq \r(2)，
即PC到平面BED的距离为eq \r(2)，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq \r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)？若存在，求出eq \f(AQ,QD)的值；若不存在，说明理由．
[解析] 取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1，0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
则eq \(CP,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)，
设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则eq \(CQ,\s\up6(→))＝(－1，y,0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CP,\s\up6(→))＝0，,n·\(CD,\s\up6(→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x0＋z0＝0，,－x0＋y0＝0，))即x0＝y0＝z0，
取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝eq \f(|\(CQ,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－1＋y|,\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
∴y＝－eq \f(1,2)或y＝eq \f(5,2)(舍去)．此时eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，eq \(QD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)，0))，则|eq \(AQ,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)，|eq \(QD,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)．
∴存在点Q满足题意，此时eq \f(AQ,QD)＝eq \f(1,3)．
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