黑龙江省哈尔滨市重点高中2021届高三上学期期中考试 数学（文科）试题（含答案解析）

2018级高三学年上学期期中考试

数学试题（文科）

试题说明：1、本试题满分  150     分，答题时间   120   分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）

1．复数的共轭复数是（　　）

   A．1﹣i           B．1＋i           C．﹣1﹣i          D．﹣1＋i

2．已知集合，函数的定义域为集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知等比数列中，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ）.

A．2 B． C． D．

5．若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为

A.2     B.4     C.3     D.1

6.函数y＝1－的图象是(　　)

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

8.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

第8题图                                          

9．已知函数，若，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

10.已知向量＝(1，a)，＝(2b﹣1，3)(a＞0，b＞0)，若，则的最小值为（    ）

A.       B.      C.       D.

11．已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（    ）

A. 向右平移个单位    B. 向右平移个单位   

C. 向左平移个单位    D. 向左平移个单位

第11题图

12．给出下面四个推理：                  

①由“若，是实数，则”推广到复数中，则有“若是复数，则”；

②由“在半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”；

③以半径R为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；

④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”．

其中，推理得到的结论是正确的个数有（    ）个

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知，命题“存在，使”为假命题，则的取值范围为______.

14．曲线:在点处的切线方程为_______________.

15．若，则__________.

16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和_____________．

三、解答题 (共70分)

17. （本小题满分10分）已知是数列的前项和,满足

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）在中,角的对边分别为,且满足.

（1）求角;

（2）若,求外接圆的半径.

19．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，，，数列的前n项和为.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

20．（本小题满分12分）已知函数.

（1）求在区间上的值域；

（2）若，且，求的值.

21．（本小题满分12分）已知点是椭圆上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，，分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时， ，求的取值范围．

2018级高三上学期期中考试数学（文科）试题参考答案

1.A. 2.B. 3.A.4.C 5.C 6.B 7.C. 8.B. 9.D.10.B.11.A.12.C

13.   14.y=2x﹣e    15.      16.4

17. ，【解题思路】,所以

,故的前项和.

18.(1)由正弦定理知

有,所以（6分）

所以(12分)

19.【解析】（1）∵，即，

又∵，解得，

所以，

∵的前n项和

∴时，

时，

∴（）；

（2），

，

，

所以，

.

20.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）

.

因为，所以，

所以.

故在区间上的值域是.

（2）由，知，

又因为，所以.

故

.

21.        【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，利用椭圆的离心率，椭圆经过的点以及a2＝b2+c2，求出a，b即可得到椭圆方程．

（2）设直线BD的方程为，m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），联立，得，利用韦达定理，转化求解直线AB，AD的斜率的和推出结果即可．

【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率，

代入，得，

又a2＝b2+c2，

解得a＝2，，

所以椭圆C的方程；

（2）证明：设直线BD的方程为，

又A，B，D三点不重合，∴m≠0，

设D（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得，

所以△＝﹣8m2+64＞0，

所以，，，

设直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，

则＝＝＝，

所以k1+k2＝0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．

22．解：（1），

当时，，∴在上单调递减．

当时，令，得；

令，得．

∴的单调递减区间为，单调递增区间为．

当时，令，得；

令，得．

∴的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）当时，在上单调递减，

∴，不合题意

当时，，不合题意．

当时，，在上单调递增，

∴，故满足题意．

当时，在上单调递减，在单调递增，

∴，故不满足题意．

综上，的取值范围为．