黑龙江省哈尔滨市重点高中2021届高三上学期期中考试 数学（理科）试题（含答案解析）

高 三 学年 上 学期 期中考试

   数学试题（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知集合A＝{x|x2−2x−3<0}，集合B＝{x|log2(x−1)≥0}，则A∩B＝（    ）

A. {x|2≤x<3}      B. {x|2<x≤3}        C. {x|1≤x<3}       D. {x|−1≤x<2}

2. 已知，则（   ）

A．是的充分不必要条件           B．是的充分不必要条件

C．是的必要不充分条件           D．是的必要不充分条件

3．已知向量不共线，，，若，则（     ）

A． -12           B． -9             C．-6 D．-3

4．某观察站与两灯塔，的距离分别为3km和5km，测得灯塔在观察站北偏西50°，灯塔在观察站北偏东70°，则两灯塔，间的距离为（     ）

A．7 B．8              C．      D．

5. 已知函数，则=（    ）

A． B．- C．1 D．2

6.某化工厂生产一种溶液，按要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.301，lg3=0.477）（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

7. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点，若，则（    ）

A． B．            C． D．

8． 函数的图象大致是（    ）

A．    B．     C．   D．

9．已知函数，若，，，则的大小关系为（     ）

A． B． C． D．

10．函数部分图象如图所示，对不同的，若，有，则该函数的图象（     ）

A．关于直线对称             B．关于直线对称

C． 关于点对称              D．. 关于点对称

11.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

12.设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A．， B．， C．，          D．，

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．______.

14．已知，则______.   

15．若函数满足，当且仅当时，，则______．       

16．已知函数，若方程F（x）＝f（x）﹣ax有4个零点，则a的范围为______.      

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本题满分10分）在①是边上的高，且，

②平分，且，，③是边上的中线，且

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．

问题：在锐角中，已知，是边上一点，________，求边的长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. （本题满分12分） 已知函数

（1）求函数的最小正周期及单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．

19. （本题满分12分） 已知函数，若的图象在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）求在上的最值．

20. （本题满分12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．

（1）求角A的大小；

（2）若，求面积的取值范围．

21．（本题满分12分）已知函数．

（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

22．（本题满分12分） 已知函数．

（1）求证：；

（2）用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．

数学试题（理科）答案

一．选择题（60分）

二．填空题（20分）

13.               14.  2或-1         15. 2        16.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本题满分10分）

方案一：选条件①：

由面积关系得：  在中，由余弦定理得， 所以．

方案二：选条件②：

设，则，由面积关系得：

在中，由余弦定理得， 所以．

方案三：选条件③：

设，分别在与中由余弦定理得：， ，∴． 

18.

．

（1）T==π,

由，，

解得，．

∴函数的单调增区间为，；

（2）将函数的图象向左平移个单位，

得，再向下平移1个单位后得到函数，

由，得，∴，

则函数的值域为

19.（1）由题意知，，

则，，又已知的图像在点处的切线方程为，

因而，得

（2）．由得或．

所以，随的变化情况如下表所示：

因而函数在上的最大值为1，最小值为．

20. （1）由及正弦定理得：

，

因为，，所以，，

所以，又，所以；

（2）由正弦定理，

，，

由得：

，

即①，由余弦定理得，解得，

S△ABC＝bcsin A＝=sin (2B－)＋，

∵△ABC为锐角三角形，∴0<B<且B＋>，即<B<，∴<2B－<，

∴<sin (2B－)≤1，∴<S△ABC≤.面积的取值范围为

21. （1）由题意，函数，

则，

因为是函数的极值点，所以，故，即，令，解得或.

令，解得,

所以在和上单调递增，在上单调递减.

（2）由，

当时，，则在上单调递增，

又，所以恒成立；

当时，易知在上单调递增，

故存在，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，则，这与恒成立矛盾.

综上，m取值范围是

22．（1）证明：设，定义域为，

则.

当时，；当时，，

故在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

所以，所以

（2）解：函数的定义域为，

，

当时，；当时，，

所以在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即

①     若，则，

当时，；当时，；

当时，.

所以，于是只有一个零点.

②     当，则当时，，此时，

当时，，，此时

所以没有零点.

③     当，则当时，根据（1）可知，

而，所以

又因为，所以在上有一个零点，

从而一定存在，使得，

即，所以

当时，，

所以，从而，

于是有两个零点和1.

故当时，有两个零点.

综上，当时，有一个零点，当时，没有零点，当时，有两个零点.