北师大版 (2019)2.1 必要条件与充分条件第2课时巩固练习

第2课时　充要条件

1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件．

(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；

(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.

2．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：

(1)p是r的什么条件？

(2)s是q的什么条件？

(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？

3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.

4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

5.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0  B．ab＞0

C．a2＋b2＝0  D．a2＋b2＞0

7．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________.

1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)

A．m＝－2  B．m＝2

C．m＝－1  D．m＝1

4．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　)

A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件

7．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

8．(易错题)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．

9．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.

10．(探究题)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．

(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．

1．(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)

A．x>2且y>3是x＋y>5的充要条件

B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

C．b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件

D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

2．设条件p：|x|≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．

3．(情境命题—学术情境)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.

第2课时　充要条件必

备知识基础练

1．解析：(1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．

(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．

(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．

2．解析：

作出“⇒”图，如右图所示，

可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.

(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．

(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．

(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.

3．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.

当x＝0时，y＝0.

所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)．

②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)，

所以0＝0＋b，所以b＝0.

综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.

4．证明：①充分性：∵a＋b＋c＝0，

∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，

即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

②必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

由①②可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

5．解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．

答案：A

6．解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.

答案：D

7．解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.

答案：0≤a≤2

关键能力综合练

1．解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.

答案：A

2．解析：不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．

答案：A

3．解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A.

答案：A

4．解析：M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M.

答案：C

5．解析：由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．

答案：B

6．解析：由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈CD⇒x∈A.

所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．

答案：B

7．答案：充要

8．解析：由题意可知：1≤x≤2⇒x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.

答案：2

9．解析：x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．

答案：3或4

10．解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，

因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5.

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0.故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．

学科素养升级练

1．解析：因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．故A错误；因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．故B正确；因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为∅)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇒b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．故C错误；由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故D正确．

答案：BD

2．解析：条件p：|x|≤m，可得：－m≤x≤m.条件q：－1≤x≤4，

若p是q的充分条件，则－m≥－1，且m≤4，解得0＜m≤1，

则m最大值为1，

p是q的必要条件，则－m≤－1且m≥4，解得m≥4，

则m的最小值为4，

故答案为：1,4

答案：1　4

3．证明：①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，

两式相减，可得x0＝，

将此式代入x＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，

故A＝90°.

②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.

将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，

将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，

即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.