课时过关检测（六十一） n次独立重复试验及二项分布

这是一份课时过关检测（六十一） n次独立重复试验及二项分布，共8页。

1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(1,4)
解析：选B 设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝
Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝3×eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(1,2).
2．甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
A．0.32B．0.18
C．0.50D．0.057 6
解析：选D 甲命中一次的概率为Ceq \\al(1,2)×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为Ceq \\al(1,2)×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P＝0.32×0.18＝0.057 6.
3．(2021·广州市调研检测)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团．据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，eq \f(1,3)，n.已知这三个社团他都能进入的概率为eq \f(1,24)，至少进入一个社团的概率为eq \f(3,4)，则m＋n＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(5,12)
解析：选C 由于新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，所以该新生三个社团都能进入的概率为eq \f(1,3)mn＝eq \f(1,24)①，至少进入一个社团的概率为1－(1－m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))(1－n)＝eq \f(3,4)②，由①②求得m＋n＝eq \f(3,4).故选C．
4．(多选)(2021·山东省实验中学高三月考)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(23,30)
B．事件B与事件A1相互独立
C．事件B与事件A2相互独立
D．A1，A2互斥
解析：选AD 根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
因此P(A1)＝eq \f(18,30)＝eq \f(3,5)，P(A2)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(15＋8,30)＝eq \f(23,30)，A正确；
又P(A1B)＝eq \f(15,30)，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；
A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选A、D.
5．(多选)在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，考生若能答对4道题则规定为及格；若能答对5道题则规定为良好，若能答对6道题则规定为优秀，已知某考生能答对其中的10道题，则该考生在这次考试中( )
A．成绩在及格以上的概率为eq \f(12 180,C\\al(6,20))
B．成绩良好的概率为eq \f(C\\al(5,10)C\\al(1,10),C\\al(6,20))
C．成绩优秀的概率为eq \f(C\\al(6,10),C\\al(6,20))
D．在已知该生在成绩及格以上条件下，获得良好以上成绩的概率为eq \f(13,58)
解析：选ABCD 设事件A，B，C分别表示该生在这次考试中成绩为及格、良好、优秀．
那么D＝A∪B∪C表示该生成绩在及格以上这一事件，
E＝B∪C表示该生成绩在良好以上这一事件
则P(A)＝eq \f(C\\al(4,10)C\\al(2,10),C\\al(6,20))，P(B)＝eq \f(C\\al(5,10)C\\al(1,10),C\\al(6,20))，P(C)＝eq \f(C\\al(6,10),C\\al(6,20))，
∴P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(12 180,C\\al(6,20))，故选项A、B、C正确．
在选项D中，该事件的概率为P(E|D)＝P(B∪C|D)＝P(B|D)＋P(C|D)＝eq \f(PB,PD)＋eq \f(PC,PD)＝eq \f(13,58)，故选项D正确．
6．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，他们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，
则P(AB)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,10))×eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,9))，P(A)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,10))，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为eq \f(1,4)，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.
解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,4)))，即有P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(ξ＝4)＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))1＝eq \f(15,1 024).
答案：eq \f(15,1 024)
8．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为________．
解析：灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，∴灯泡不亮的概率是eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,16)，
∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，
∴灯亮的概率是1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).
答案：eq \f(13,16)
9．(2021·沈阳市教学质量监测)在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：
(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为eq \f(1,2)，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为eq \f(2,5)，乙发球时甲赢1分的概率为eq \f(3,5)，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．
解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛，若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4).
(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为eq \f(2,5)，接球队得分的概率为eq \f(3,5).甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x的取值为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
∴P(x＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,25).
若甲、乙比分为17∶15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”或“甲乙甲甲”，
∴P(x＝4)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(72,625).
10．移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在 10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一．近日，某调查小组在一家大型超市进行了一项关于顾客使用移动支付情况的调查，调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下统计数据：
(1)现从这200人中随机依次抽取2人，在第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)现采用分层抽样的方法从使用移动支付的人中抽取25人做进一步的问卷调查．再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[40,50)之间的人数为X，求X的分布列．
解：(1)由题可知，使用移动支付的人数为125，不使用移动支付的人数为75.记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(125×75,125 ×199)＝eq \f(75,199).
(2)在年龄段[40,50)中抽取的人数为eq \f(25,125)×25＝5，则X的所有可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,20),C\\al(3,25))＝eq \f(57,115)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,20)C\\al(1,5),C\\al(3,25))＝eq \f(19,46).
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(2,5),C\\al(3,25))＝eq \f(2,23)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,20)C\\al(3,5),C\\al(3,25))＝eq \f(1,230).
则X的分布列为
B级——综合应用
11．(多选)掷一个不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为eq \f(2,3)，恰好出现k次正面的概率记为Pk，则下列说法正确的是( )
A．P1＝P5
B．P1C．eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(k＝1))Pk＝1
D．P0，P1，P2，…，P6中最大值为P4
解析：选BD A、B选项：P1＝Ceq \\al(1,6)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))5＝eq \f(4,243)，P5＝Ceq \\al(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))1＝eq \f(64,243).
P1C选项：eq \i\su(k＝0,6,P)k＝1，C错误．
D选项：由二项分布概率公式可得，P0＝eq \f(1,729)，P1＝eq \f(4,243)，P2＝eq \f(20,243)，P3＝eq \f(160,729)，P4＝eq \f(80,243)，P5＝eq \f(64,243)，P6＝eq \f(64,729)，最大值为P4，D正确，故选B、D.
12．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为eq \f(1,7)，第二轮检测不合格的概率为eq \f(1,8)，第三轮检测合格的概率为eq \f(8,9)，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．
解：(1)记Ai(i＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．
由题设知P(A1)＝1－eq \f(1,7)＝eq \f(6,7)，P(A2)＝1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8)，P(A3)＝eq \f(8,9)，
所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－eq \f(6,7)×eq \f(7,8)×eq \f(8,9)＝eq \f(1,3).
(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，
且P(X＝1 600)＝Ceq \\al(4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0＝eq \f(16,81)，
P(X＝1 000)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,81)，
P(X＝400)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，
P(X＝－200)＝Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)，
P(X＝－800)＝Ceq \\al(0,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81).
故X的分布列为
C级——迁移创新
13．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．
解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(3,6),C\\al(4,10))＝eq \f(8,21)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,6),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,6),C\\al(4,10))＝eq \f(4,35)，P(ξ＝4)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,210)，
故ξ的分布列为
(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(2,5)))，可知P(X＝k)＝Ceq \\al(k,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))10－k(k＝0,1,2,3，…，10)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))10－k≥C\\al(k＋1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))9－k，,C\\al(k,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))10－k≥C\\al(k－1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))k－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))11－k，))
解得eq \f(17,5)≤k≤eq \f(22,5).又k∈N*，所以当k＝4时概率最大，故k＝4.年龄段
人数
类型
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
X
0
1
2
3
P
eq \f(57,115)
eq \f(19,46)
eq \f(2,23)
eq \f(1,230)
X
1 600
1 000
400
－200
－800
P
eq \f(16,81)
eq \f(32,81)
eq \f(24,81)
eq \f(8,81)
eq \f(1,81)
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量(度)
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)