课时过关检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示

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1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．(－7，－4)B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A 根据题意得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,1)，∴eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
2．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在线段AB上，则实数m＝( )
A．－12B．13
C．－13D．12
解析：选C 因为点C在线段AB上，所以eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))同向．又eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－7，－2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2m－9，m＋3)，故eq \f(2m－9,－7)＝eq \f(m＋3,－2)，所以m＝－13.故选C.
3．(2021·陕西咸阳一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，若eq \(OA,\s\up7(―→))绕点O逆时针旋转60°得到向量eq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \(OB,\s\up7(―→))＝( )
A．(0,1)B．(1,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
解析：选A ∵eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq \(OA,\s\up7(―→))与x轴的夹角为30°，∴eq \(OB,\s\up7(―→))与x轴的夹角为90°，又|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝1，
∴eq \(OB,\s\up7(―→))＝(0,1)，故选A.
4．已知|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，则eq \f(m,n)等于( )
A.eq \f(1,3)B．3
C.eq \f(\r(3),3)D．eq \r(3)
解析：选B 如图，由已知|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，可得AB＝2，A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝eq \f(3,4)，CD＝eq \f(\r(3),4)，所以eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，
即eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，所以eq \f(m,n)＝3.
5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→)) B．eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))
C．eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→)) D．eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))
解析：选AC 如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于A，eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))不共线，可作为基底；对于B，eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))为共线向量，不可作为基底；对于C，eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→))是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2B．eq \f(1,2)
C．1D．－1
解析：选ABD 若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选A、B、D.
7．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ .
解析：因为a＝(1,2)，b＝(2,3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.
答案：2
8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up7(―→))，则P点的坐标为 ．
解析：设P(x，y)，则eq \(MP,\s\up7(―→))＝(x－3，y＋2)，
而eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(－8,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(1,2)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－4，y＋2＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，y＝－\f(3,2).))
所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))
9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝ a＋ b.
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))
答案：eq \f(2,3) －eq \f(1,3)
10.如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λeq \(OA,\s\up7(―→))＋3eq \(OB,\s\up7(―→))＋4eq \(OC,\s\up7(―→))＝0(λ≠0)，则λ＝ .
解析：法一：由已知得eq \(OA,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,λ) eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \f(4,λ) eq \(OC,\s\up7(―→))，①
由M，O，N三点共线，知∃t∈R，使eq \(OM,\s\up7(―→))＝teq \(ON,\s\up7(―→))，
故2eq \(OM,\s\up7(―→))＝2teq \(ON,\s\up7(―→))，故eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝t(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))，
整理得eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,t－1)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(t,1－t) eq \(OC,\s\up7(―→))，②
对比①②两式的系数，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,λ)＝\f(1,t－1)，－\f(4,λ)＝\f(t,1－t)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝－\f(4,3)，.λ＝7.))
法二：因为M是AB的中点，所以eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))，
于是eq \(OB,\s\up7(―→))＝2eq \(OM,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，同理eq \(OC,\s\up7(―→))＝2eq \(ON,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，
将两式代入λeq \(OA,\s\up7(―→))＋3eq \(OB,\s\up7(―→))＋4eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，
整理得(λ－7)eq \(OA,\s\up7(―→))＋6eq \(OM,\s\up7(―→))＋8eq \(ON,\s\up7(―→))＝0，
因M，O，N三点共线，故∃p∈R，使得eq \(OM,\s\up7(―→))＝peq \(ON,\s\up7(―→))，
于是(λ－7)eq \(OA,\s\up7(―→))＋(6p＋8)eq \(ON,\s\up7(―→))＝0，
显然eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(ON,\s\up7(―→))不共线，故λ－7＝6p＋8＝0，故λ＝7.
答案：7
11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→)).
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝eq \f(3,2).
12.如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))，其中eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→)) 的夹角为120°，eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OC,\s\up7(―→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：法一：如图，作平行四边形OB1CA1，
则eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))1＋eq \(OA,\s\up7(―→))1，
因为eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的夹角为120°，
eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OC,\s\up7(―→))的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB,\s\up7(―→))1|＝2，|eq \(B1C,\s\up7(―→))|＝4，
所以|eq \(OA,\s\up7(―→))1|＝|eq \(B1C,\s\up7(―→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up7(―→))＝4eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
B级——综合应用
13．(2021·豫南九校联考)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：
①eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))；②eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))；
③eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))；④eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up7(―→))；⑤eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up7(―→)).
若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A．①②B．②④
C．①③D．③⑤
解析：选B 在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA(图略)，则eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))，其终点不在阴影区域内，排除A、C；取线段OA上一点E，使AE＝eq \f(1,4)OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝eq \f(1,4)OB，由于EF＜eq \f(1,3)OB，所以eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))的终点不在阴影区域内，排除选项D.故选B.
14．(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当eq \(OP,\s\up7(―→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是( )
A．线段AB的中点的广义坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
B．A，B两点间的距离为eq \r(x1－x22＋y1－y22)
C．向量eq \(OA,\s\up7(―→))平行于向量eq \(OB,\s\up7(―→))的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量eq \(OA,\s\up7(―→))垂直于eq \(OB,\s\up7(―→))的充要条件是x1x2＋y1y2＝0
解析：选AC 由中点的意义知A正确；
只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
只有e1，e2互相垂直时，eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D错误；故选A、C.
15．(2021·北京市人大附中高三考前热身试题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→))＝0，求|eq \(OP,\s\up7(―→))|；
(2)设eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋neq \(AC,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，用x，y表示m－n.
解：(1)∵eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→))＝0，eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PC,\s\up7(―→))＝(1－x，1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，y＝2.))
即eq \(OP,\s\up7(―→))＝(2,2)，故|eq \(OP,\s\up7(―→))|＝2eq \r(2).
(2)∵eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋neq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,1)．
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y－x.
C级——迁移创新
16.如图，向量eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的夹角为120°，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝2，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，P是以O为圆心，|eq \(OB,\s\up7(―→))|为半径的eq \x\t(BC)上的动点，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，求λμ的最大值．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cs θ，sin θ)，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝(cs θ，sin θ)，eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2,0)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∵eq \(OP,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，∴cs θ＝2λ－eq \f(1,2)μ，sin θ＝eq \f(\r(3),2)μ.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)cs θ＋\f(1,2\r(3))sin θ，μ＝\f(2,\r(3))sin θ，))
∴λμ＝eq \f(1,2\r(3))sin 2θ－eq \f(1,6)cs 2θ＋eq \f(1,6)
＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＋eq \f(1,6)≤eq \f(1,2).
当且仅当2θ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,3)时，取等号．
∴λμ的最大值为eq \f(1,2).