2022-2023学年重庆市第二十九中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市第二十九中学高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则集合B中有（ ）个元素.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据集合的定义，求得集合，即可求得结果.
【详解】根据题意可得，集合，故其元素有个.
故选：D.
2．函数的定义域为（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】要使得函数有意义，则，且，解得.
故选：C.
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】判断两函数是否同一函数，只需判断是否有相同的定义域和对应关系即可.
【详解】选项A：的定义域为,定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数；
选项B：定义域为且,定义域为,两函数定义域对应关系相同，故是同一函数；
选项C：与的解析式不同，故不是同一函数；
选项D：
的定义域为，定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数；
故选：B
4．学校举办运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加跑步比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跳高比赛，同时参加跑步比赛和球类比赛的有3人，同时参加跑步比赛和跳高比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和跳高比赛的有（ ）人.
A．13B．9C．3D．4
【答案】C
【分析】根据集合的应用，集合韦恩图即可求得结果.
【详解】设全班同学组成集合，参加跑步比赛、球类比赛和跳高比赛的同学分别为集合；
同时参加球类比赛和跳高比赛的同学有人，根据题意，作韦恩图如下所示：
故，解得，
故同时参加球类比赛和跳高比赛的同学有人.
故选：C.
5．函数在区间上为增函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过对进行分类讨论，结合二次函数对称轴与区间的关系，求出在区间上为增函数的充要条件
【详解】当时，，在区间上为减函数，所以不合题意，舍去；
当时，二次函数对称轴为：，要想在区间上为增函数，则要满足①或②，解①得：，解②得： ，综上，函数在区间上为增函数的充要条件是
故选：D
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．6D．
【答案】A
【分析】利用乘“”法即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数性质，求得的解集，再结合题意求解即可.
【详解】根据题意，当或时，；当时，；
对不等式，
当时，，解得；或当时，，解得；
故该不等式的解集为：.
故选：A.
8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.
二、多选题
9．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断A、B，利用特殊值判断C，利用作差法判断D.
【详解】解：对于A：若，则，即，所以，故A正确；
对于B：，，，由不等式的可加性可得，，故B正确，
对于C：令，，，，满足，，但，故C错误．
对于D：，，，故D正确；
故选：ABD
10．下列函数中，对任意，满足的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】对A、B、C、D选项逐项验证即可．
【详解】对于A，，，故满足；
对于B，，，故满足；
对于C，，，故满足；
对于D，，，故不满足；
故选：ABC.
【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．
11．下列说法中不正确的是（ ）
A．已知函数，若，有成立；则实数的值为.
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．命题“”的否定是“”.
D．函数函数值域相同.
【答案】BC
【分析】每一个选项分别判断即可.
【详解】选项A：由题可知关于对称，所以，得，故选项A正确；选项B：当时，得，满足题意，故该选项错误；选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；选项D：与的值域均为，故D正确.
故选：BC
12．已知集合.给定一个函数，定义集合.若对任意的成立，则称该函数具有性质“”.则下列函数中具有性质“”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题设中的新定义和函数的值域，求得，结合新定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，由，，
可得，，，，，满足对任意的成立，故具有性质“”，所以A正确；
对于B中，函数，由，，，
可得，，，，，
满足对任意的成立，故具有性质“”，所以B正确；
对于C中，函数，由，，，
可得，，，不满足对任意的成立，故不具有性质“”，所以C不正确；
对于D中，函数，由，，，
可得，，，不满足对任意的成立，
故不具有性质“”，所以D不正确.
故选：AB.
三、填空题
13．已知，则 _________ .
【答案】
【分析】通过赋值，即可直接求得结果.
【详解】根据题意，令，则，即.
故答案为：.
14．若实数a，b，c，满足，，则______（用不等号填空）．
【答案】
【分析】作差比较即可.
【详解】
因为，，所以，所以
即，，
故答案为：
15．已知函数，若，则______.
【答案】
【解析】分、、三种情况解方程，即可得出结果.
【详解】，当时，令，解得（舍去）；
当时，令，解得或（舍去）；
当时，令，解得（舍去）.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为___________.
【答案】
【分析】首先设的对称中心为点，根据题意得到函数是奇函数，从而得到，即可得到，再解方程即可.
【详解】根据题意，设的对称中心为点
则函数是奇函数，则有，
变形可得，
则有，
必有，；
即函数的对称中心为；
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合A={x|}，B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}.
(1)求A∪B，（）∩B；
(2)若C∩B=B，求a的取值范围.
【答案】(1)A∪B，（）∩B；
(2).
【分析】（1）求解分式不等式解得集合，再根据集合的交并补运算，即可求得结果；
（2）根据的包含关系，列出不等关系，求解即可.
【详解】（1）A={x|，
故A∪B，又或，
故（）∩B.
（2）B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}
因为C∩B=B，故可得结合，则，且，解得，
故实数的取值范围为：.
18．设函数．
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果；
（2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式，即解得参数范围.
【详解】解：（1）因为不等式的解集是，
所以是方程的解
由韦达定理得：，
故不等式为，
解不等式得其解集为
（2）当时，恒成立，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为．
【点睛】二次函数的恒成立问题的解决方法：
（1）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立；
（2）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立．
19．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数的值:
(2)判断函数在上的单调性，不需要证明你的结论；
(3)求该函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)；
(2)单调递减；
(3)最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据函数的奇偶性和已知的函数值，待定系数，即可求得结果；
（2）直接判断函数单调性即可，再由定义证明即可；
（3）根据对勾函数和的联系，结合其单调性，即可直接求得函数的最值.
【详解】（1）因为是上的奇函数，则；又，则，
故，此时，其定义域关于原点对称，且，
故为奇函数，则满足题意.
（2）由（1）可得，因为在上单调递增，则在单调递减.
证明如下：
在上任取，则，
因为，则，，又，
故，即，即证.
（3）当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增，
故在单调递增，在单调递减，
又；
综上所述，的最大值为，最小值为.
20．已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)118
【分析】（1）令，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论；
（2）令，可得，再结合函数的奇偶性分别求出即可得出答案.
【详解】（1）解：为奇函数，
证明：令，则有，
所以，故为奇函数；
（2）解：令，则；
又，令，则，
即，
所以，则，
，
，
，
所以所求式子的值为.
21．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1）；（2）分钟.
【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
22．设的数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，总有，且，则称是上的“距增函数”.
(1)判断函数是否为上的“1距增函数”并说明理由；
(2)已知是定义在R上的奇函数，且当x > 0时，.若为R上的“2022距增函数”，求的取值范围.
【答案】(1)函数是为上的“1距增函数”，理由见解析.
(2)
【分析】（1）根据“1距增函数”的定义求解即可.
（2）首先根据题意得到，再分类讨论结合“2022距增函数”的定义求解即可.
【详解】（1）对任意，都有，
，即.
所以函数是为上的“1距增函数”.
（2）是定义在R上的奇函数，且当x > 0时，，
当时，.
当时，，，即.
所以.
若时，在R上单调递增，则恒成立.
若时，
①当时，，
因为单调递增，则恒成立.
②当时，，单调递增，
则恒成立.
③当时，，
若，
则，解得.
④当时，若，
则，，即.
⑤当时，若，
则，，即.
综上：.