课时过关检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算

这是一份课时过关检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算，共6页。

1．(2021·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a
解析：选B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．故C、D均不正确．
2．矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AD,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8)B．eq \f(1,4)
C．1D．eq \f(5,16)
解析：选A eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up7(―→))，
所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4)，所以λ2＋μ2＝eq \f(5,8).
3．在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝－2eq \(CD,\s\up7(―→))，M为BC的中点，则eq \(AM,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→)) B．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up7(―→))
解析：选B 因为eq \(AB,\s\up7(―→))＝－2eq \(CD,\s\up7(―→))，
所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→)).又M是BC的中点，
所以eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→)) ))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→)).
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(|eq \(BC,\s\up7(―→))|,|eq \(AC,\s\up7(―→))|)等于( )
A．1B．2
C．3D．eq \f(3,2)
解析：选C 因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \f(|eq \(BC,\s\up7(―→))|,|eq \(AC,\s\up7(―→))|)＝3.故选C.
5．(多选)已知等边△ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，E为线段BC的中点，则eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up7(―→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up7(―→))
C．eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up7(―→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up7(―→))
解析：选AC 如图所示，设BC中点为E，则eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→)))＝eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up7(―→)).故选A、C.
6．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))
B．eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0
C．若(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＞0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC 由向量的运算法则知eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0，故A错，B对；
∵(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))2－eq \(AC,\s\up7(―→))2＝0，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))2＝eq \(AC,\s\up7(―→))2，即|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|，
∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选B、C.
7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝ .
解析：因为a与b共线，所以a＝xb，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,λx＝－1，))
故λ＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
8.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用eq \(OA,\s\up7(―→))和eq \(OB,\s\up7(―→))来表示向量eq \(OC,\s\up7(―→))，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝ .
解析：由题意易知eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→)).
答案：eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))
9．已知O为△ABC内一点，且2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝teq \(AC,\s\up7(―→))，若B，O，D三点共线，则t的值为 ．
解析：设线段BC的中点为M，则eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝2eq \(OM,\s\up7(―→)).
因为2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))，所以eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))，
则eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AB,\s\up7(―→))＋\f(1,t) eq \(AD,\s\up7(―→)) ))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4t)eq \(AD,\s\up7(―→)).
由B，O，D三点共线，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,4t)＝1，解得t＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
10．(2021·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋μeq \(AB,\s\up7(―→))，则μ的取值范围是 ．
解析：由已知AD＝1，CD＝eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→)).
因为点E在线段CD上，所以eq \(DE,\s\up7(―→))＝λeq \(DC,\s\up7(―→)) (0≤λ≤1)．
因为eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))，
又eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋μeq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋2μeq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(\a\vs4\al(2μ),λ)eq \(DE,\s\up7(―→))，
所以eq \f(\a\vs4\al(2μ),λ)＝1，即μ＝eq \f(λ,2).
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
11.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up7(―→))， eq \(AG,\s\up7(―→)).
解：eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b.
12．已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，eq \(OD,\s\up7(―→))＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
解：由题设知，eq \(CD,\s\up7(―→))＝d－c＝2b－3a，eq \(CE,\s\up7(―→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq \(CE,\s\up7(―→))＝keq \(CD,\s\up7(―→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解得t＝eq \f(6,5).
故存在实数t＝eq \f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上．
B级——综合应用
13．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up7(―→))＝2eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up7(―→))＝－eq \(BM,\s\up7(―→))－eq \(CM,\s\up7(―→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
解析：选ACD 若eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))，则点M是边BC的中点，故A正确；
若eq \(AM,\s\up7(―→))＝2eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))，即有eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))，即eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若eq \(AM,\s\up7(―→))＝－eq \(BM,\s\up7(―→))－eq \(CM,\s\up7(―→))，即eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，eq \(AM,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，
可得2eq \(AM,\s\up7(―→))＝2xeq \(AB,\s\up7(―→))＋2yeq \(AC,\s\up7(―→))，
设eq \(AN,\s\up7(―→))＝2eq \(AM,\s\up7(―→))，则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)，故D正确．故选A、C、D.
14．(2021·山西太原模拟)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|＝0，则△ABM与△ABC的面积的比值为 ．
解析：如图，设G为BC边的中点．由|3eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|＝0，得3eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，∴点M为△ABC的重心，∴点M在AG上．连接MG.
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(AG,\s\up7(―→))，∴3eq \(AM,\s\up7(―→))＝2eq \(AG,\s\up7(―→))，则eq \f(|eq \(AM,\s\up7(―→))|,|eq \(AG,\s\up7(―→))|)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(S△ABM,S△ABG)＝eq \f(2,3).又∵S△ABG＝eq \f(1,2)S△ABC，∴△ABM与△ABC的面积之比为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
15．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OQ,\s\up7(―→))＝neq \(OB,\s\up7(―→))，m，n∈R，求eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)的值．
解：设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up7(―→))＝eq \(OQ,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up7(―→))＝eq \(OG,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－ma＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得eq \(PQ,\s\up7(―→))＝λeq \(PG,\s\up7(―→))，
即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
C级——迁移创新
16．(2021·泰安肥城市高三适应性训练)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是 ．(填写所有正确结论的序号)
解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；
当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；
当e与a不共线时，|a⊗e|＝a·e<|a|·|e|＝|a|<|a|＋1，当e与a共线时，|a⊗e|＝|a－e|≤|a|＋1，故④是正确的．
答案：①④