课时过关检测（三十二） 数列的概念与简单表示

课时过关检测（三十二）  数列的概念与简单表示

A级——基础达标

1．数列3,6,12,21，x,48，…中的x等于(　　)

A．29 B．33

C．34 D．28

解析：选B　因为6－3＝3＝1×3,12－6＝6＝2×3,21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.故选B.

2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，则能使an＝3的n的值可以等于(　　)

A．15 B．16

C．17 D．18

解析：选B　∵a1＝3，an＋1＝－，∴a2＝－.同理可得a3＝－，a4＝3，…，观察可得an＋3＝an(n∈N*)，则a16＝a5×3＋1＝a1＝3，因此能使an＝3的n的值可以等于16.故选B.

3．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝(　　)

A．55 B．10

C．9 D．1

解析：选D　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令m＝1，n＝9，得S9＋S1＝S10，即S10－S9＝S1＝a1＝1，∴a10＝S10－S9＝1.故选D.

4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　“|an＋1|>an”⇒an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇒|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，∴“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.

5．(多选)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝，则下列各数是{an}的项的有(　　)

A．－2 B．

C． D．3

解析：选BD　因为数列{an}满足a1＝－，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－＝a1，∴数列{an}是周期为3的数列，且前3项为－，，3，故选B、D.

6．(多选)(2021·开封市高三模拟)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则(　　)

A．an＝ B．an＝n

C．Sn＝ D．Sn＝

解析：选AC　由题意得an＝＋＋…＋＝＝，∴bn＝＝＝4，

∴数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4＝4＝.故选A、C.

7．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为        ．

解析：由数列的前3项的规律可知

解得故实数对(m，n)为.

答案：

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝        .

解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

经检验a1＝4不适合an＝2n＋1，

故an＝

答案：

9．已知数列的通项为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第        项．

解析：因为an＝，数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<，又因为n∈N*，且数列{an}的前5项递减，所以n＝5时an的值最小．

答案：5

10．(2021·衡阳市高三联考)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝      ，通项公式an＝        .

解析：由已知，a2＝a1＋＝3＋＝.

因为an＋1－an＝＝－，

所以a2－a1＝1－，

a3－a2＝－，

…

an－an－1＝－，

以上(n－1)个式子累加可得，an－a1＝1－，

因为a1＝3，所以an＝4－.

答案：　4－

11．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

12．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.

因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，

所以＝＝＝4.

B级——综合应用

13．(多选)(2021·山东泰安高三模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是(　　)

A．此数列的第20项是200

B．此数列的第19项是200

C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2

D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)

解析：选AC　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C.

14．(2021·昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图所示．

他们研究过图中的1,5,12,22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第n个五角形数an＝        .

解析：观察图形，发现a1＝1，a2＝a1＋4，a3＝a2＋7，a4＝a3＋10，猜测当n≥2时，an＝an－1＋3n－2，所以an－an－1＝3n－2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－2)＋[3(n－1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝n2－n.

答案：n2－n

15．(2021·石家庄模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．

解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，

∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，

∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，

即nan＋1＝(n＋1)an，

∴＝，

∴＝＝…＝＝1，

∴an＝n(n∈N*)．

(2)由题意及(1)知bn＝3n－λn2.

bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)

＝2·3n－λ(2n＋1)．

∵数列{bn}为递增数列，

∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.

令cn＝，

则＝·＝>1.

∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，

即λ的取值范围为(－∞，2)．

C级——迁移创新

16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)

A．672 B．673

C．1 347 D．2 020

解析：选C　由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，

可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，

所以{an}是周期为3的数列，

一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，

因为2 020＝673×3＋1，

所以数列{an}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，故选C.