高中物理人教版 (新课标)必修28.机械能守恒定律学案

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一、动能、势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．
2．动能与弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．
3．机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
(3)E2＝E1.
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加．(×)
(2)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能．(×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒．(√)
2．关于机械能，以下说法正确的是( )
A．质量大的物体，重力势能一定大
B．速度大的物体，动能一定大
C．做平抛运动的物体机械能时刻在变化
D．质量和速率都相同的物体，动能一定相同
D [重力势能的大小与零势能面的选取有关，质量大但重力势能不一定大，A错误；动能的大小与质量以及速度有关，所以速度大，动能不一定大，B错误；平抛运动过程中只受重力作用，机械能守恒，C错误；根据Ek＝eq \f(1,2)mv2可知质量和速率都相同的物体，动能一定相同，D正确．]
3．(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)
eq \(\a\al(物块沿固定斜面匀速下滑, A)) eq \(\a\al(物块在F作用下沿, 斜面匀速下滑, B))
eq \(\a\al(小球由静止沿光滑半,圆形固定轨道下滑, C)) eq \(\a\al(细线拴住小球绕O,点来回摆动, D))
CD [物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
4.如图所示，质量m＝0.5 kg的小球，从距桌面h1＝1.2 m高处的A点下落到地面上的B点，桌面高h2＝0.8 m．以桌面为重力势能的参考平面，重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球在A点时的重力势能为10 J
B．小球在B点时的重力势能为0 J
C．小球在B点时的动能为10 J
D．小球在B点时的机械能为10 J
C [以桌面为参考平面，A点的重力势能为：EpA＝mgh1＝0.5×10×1.2 J＝6 J，B点的重力势能为：EpB＝mgh2＝0.5×10×(－0.8)J＝－4 J，故A、B错误；根据动能定理得：EkB＝mg(h1＋h2)，即物体下落到B点时的动能为mg(h1＋h2)＝6 J＋4 J＝10 J，故C正确；物体在B点的重力势能为－4 J，动能为10 J，所以B点的机械能E＝6 J，故D错误．]
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒．
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒．
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示．
甲 乙 丙
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒．
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒．
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)

(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
【例1】 下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石头、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一石头，双手拉着细线缓慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
D [将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对箭做功，故机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一物体，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能减小，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有笔帽的重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，故D正确．]
1．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
A B C D
C [根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是物体系统内只有重力(弹力)做功．在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒．图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒．只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒．]
1.机械能守恒定律的不同表达式
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
【例2】 如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(取重力加速度g＝10 m/s2)．
[解析] 方法一：应用机械能守恒定律求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－eq \f(1,2)mv2
物块从A到D过程中做平抛运动，则
竖直方向2R＝eq \f(1,2)gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m.
方法二：应用动能定理求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，由动能定理得
－mg·2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
物块从A到D过程中做平抛运动，则竖直方向2R＝eq \f(1,2)gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m.
[答案] 1 m

上例中，若小物块经过A处时，轨道对物块弹力大小等于物块重力大小的2.2倍，求小物块在C处获得的初速度v0.
提示：小物块经过A处时，重力和弹力的合力提供向心力，在A处由牛顿第二定律得mg＋2.2mg＝meq \f(v2,R)
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－eq \f(1,2)mv2
联立各式并代入数据得v0＝6 m/s.
2．(多选)在竖直平面内有一条光滑弯曲轨道，轨道上各个高点的高度如图所示．一个小环套在轨道上，从1 m的高处以8 m/s的初速度下滑，则下列说法正确的是( )
A．到达第(1)高点的速度约为8.6 m/s
B．到达第(1)高点的速度约为74 m/s
C．小环能越过第(3)高点
D．小环不能越过第(4)高点
AC [根据机械能守恒可以得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，则小环到达第(1)高点的速度为：v1＝eq \r(2gh－h1＋v2)＝eq \r(74) m/s≈8.6 m/s，A对，B错；设小球能够上升的最大高度为H，则根据机械能守恒定律：
得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgH，则：H＝4.2 m，即小环能越过第(3)和(4)高点，C对，D错．]
【例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？(g取10 m/s2)
[解析] (1)方法一：由E1＝E2.
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则
mBgh＝mAgh＋eq \f(1,2)(mA＋mB)v2.
v＝eq \r(\f(2mB－mAgh,mA＋mB))
＝eq \r(\f(2×5－3×10×0.8,3＋5)) m/s＝2 m/s.
方法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2
得v＝2 m/s.
方法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－eq \f(1,2)mBv2＝mAgh＋eq \f(1,2)mAv2
得v＝2 m/s.
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝eq \f(1,2)mAveq \\al(2,A)，h′＝eq \f(v\\al(2,A),2g)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m.
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
机械能守恒定律表达式的灵活选取
(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解．
(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp列式求解．
3．(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
BC [因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误．]
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
D [做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做变速直线运动的物体机械能可能守恒，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确．]
2．如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是( )
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 JD．0.4 J
C [取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得：Ep弹＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＝0.2×10×0.1 J＋eq \f(1,2)×0.2×1 J＝0.3 J，故选项C正确．]
3．在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
A [设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝eq \f(1,2)gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan θ＝eq \f(y,x)，甲球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，eq \f(1,2)mv2＋mgy＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，联立解得：v1＝eq \r(1＋4tan2θ)v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比．同理可得，v2＝eq \r(1＋4tan2θ)·v/2，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确．]
4．如图所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A点时速度为v1，下落到高度为h2的B点时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
(1)求物体在A、B处的机械能各是多少？
(2)比较物体在A、B处的机械能的大小．
[解析] (1)以地面为零势能点，故在A点重力势能为mgh1，动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，故在A点的机械能为EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，在B点的重力势能为mgh2，动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，故在B点的机械能为EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2).
(2)下落过程中，不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，A、B两点机械能相等．
[答案] (1)EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)；EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2) (2)相等
机械能守恒的条件及判断
机械能守恒定律的应用
表达式
物理意义
从不同
状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
规律
内容
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或弹力做功时
无条件限制
物理意义
重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度
守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合外力做功情况
物体系统的机械能守恒
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.
2．在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律．
3．机械能守恒定律的表达式为：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp.
4．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功.