福建省南平市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案）

这是一份福建省南平市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省南平市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子与可以进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠D等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．下列不能判断是正方形的有（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
5．在平面直角坐标系中，已知，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．在中，若则（ ）
A． B．
C． D．
7．在下列四个选项中，不符合直线的性质的是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．随的增大而增大
C．与轴相交于点（2，0） D．与轴相交于点（0，2）
8．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩如下表所示，若要从中选择一个小组参加年级的比赛，那么应选（ ）

甲组
乙组
丙组
丁组
平均分
85
90
88
90
方差
3.5
3.5
4
4.2


A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
9．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在平面直角坐标系中,点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,设的面积为,则下列图象中,能正确反映与之间的函数关系式的是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．化简：______．
12．一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为8，则这组数据的众数是___．
13．矩形的两条对角线的夹角为，对角线长为，则较短的边长为________．
14．我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．

15．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______．

16．如图，在边长为6的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为______．


三、解答题
17．计算：．
18．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．

19．如图是一个的正方形网格，已知每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求解答下列问题：

（1）如图，满足线段的格点共有______个；
（2）试在图中画出一个格点，使其为等腰三角形，，且的内部只包含4个格点（不包含在边上的格点）．
20．“新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，某校利用网络平台进行疫情防控知识测试，测试题共10小题，每小题10分．小明同学对八（1）班和八（2）班两个班各40名同学的测试成绩（单位：分）进行了整理和分析，统计数据如下：
①八（1）班成绩频数分布直方图如图：

②八（2）班成绩平均分的计算过程如下：
（分）；
③数据分析如下：
班级
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
82.5

90
158.75
八（2）班
80.5
75

174.75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______；
（2）你认为______班的成绩更加稳定，理由是__________________；
（3）在本次测试中，八（1）班甲同学和八（2）班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前?请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，直线经过点，且与轴的负半轴交于点，若的面积为3．

（1）求点，的坐标；
（2）求直线的解析式．
22．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，且，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，过原点的直线与直线相交于点，且．

（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）若直线，且直线，，不能围成三角形，直接写出的值．
24．如图，在平行四边形中，为边上一点，且．

（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，，求的长．
25．探究活动一：


如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．
（1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式．


参考答案
1．D
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
解：.A、原式=；
B、原式=；
C、原式=2；
D、为最简二次根式．
故选：
2．B
【分析】
将和各选项中的二次根式化简为最简二次根式，找同类二次根式即可．
【详解】

A选项，，不符合题意；
B选项，，符合题意；
C选项，，不符合题意；
D选项，，不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解同类二次根式的概念是解题的关键．
3．C
【分析】
根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再根据∠A+∠C=120°，计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数．从而可得答案：
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=120°，
∴∠A=60°，
∴∠B=180°-60°=120°．

故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
4．B
【分析】
根据正方形的判定逐项判断即可．
【详解】
A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此项不符题意
B、对角线相等的矩形不一定是正方形，此项符合题意
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此项不符题意
D、对角线相等的菱形是正方形，此项不符题意
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟记正方形的判定方法是解题关键．
5．C
【分析】
根据题意利用一次函数图象上点的坐标特征求出与的值，比较后即可得出结论．
【详解】
是一次函数的图象上的两个点，
，

.
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
6．D
【分析】
由可得∠A=90°，于是可确定BC是Rt△ABC的斜边，再根据勾股定理即得答案．
【详解】
解：∵，
∴∠A=90°，
∴BC是Rt△ABC的斜边，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定BC是Rt△ABC的斜边是解题的关键．
7．C
【分析】
根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．
【详解】
解：在y＝3x+2中，
∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大；
∵b＝2＞0，
∴函数与y轴相交于正半轴，
∴可知函数过第一、二、三象限；
∵当x=0时，y＝2，所以与y轴交于（0，2），
∵当y＝0时，，所以与x轴交于（，0），
故A，B，D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，知道系数和图形的关系式解题的关键．
8．B
【分析】
根据图表先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案．
【详解】
由图表可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，由于S2乙 【点睛】
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的使用.
9．C
【详解】
①已知∠A＝∠B＋∠C，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得2∠A＝180°，所以∠A＝90°，它是直角三角形；②三个内角之比为3∶4∶5．则这三个内角分别为45°，60°，75°，它是锐角三角形；③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形．因此①③④是直角三角形，故选C.
10．A
【分析】
根据点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,从而可以得到 与之间的函数关系式．
【详解】
∵点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,
∴ （ ）,
∴ ,
故选A．
【点睛】
本题考查了函数图象,三角形的面积,解题的关键是明确题意,列出相应函数关系式,利用数形结合思想进行解答．
11．
【分析】
根据二次根式化简求解即可
【详解】

【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟悉二次根式化简是解题的关键．
12．10
【分析】
首先根据平均数算出x的值，再根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得答案．
【详解】
解：根据题意，得：4＋x＋5＋10＋11＝5×8，
解得x＝10，
所以这组数据为4、5、10、10、11，
则这组数据的众数为10，
故答案为：10.
【点睛】
本题主要考查了平均数与众数，根据平均数的求法算出x的值是解决本题的关键．
13．
【分析】
根据题意画出对应图形，∠AOD=∠BOC=60°，则∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=6，又因为∠AOD=∠BOC=60°，所以AD=OA=0D=6．
【详解】
如下图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=12，∠AOD=∠BOC=60°

∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OD=OC=OB=×12=6（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD=∠BOC=60°，
∴OA=OD=AD=6，
∵∠COD=120°＞∠AOD=60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为6，
故答案是：6．
【点睛】
考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．
14．4.55
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
15．
【分析】
根据函数图象写出直线l2在直线l1上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
直线与直线相交于点
所以，的解集是．
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
16．
【分析】
过A作AE⊥BC于E，根据直角三角形的性质得到AEAB＝3，根据菱形的面积公式得到S△PBCS菱形ABCD＝6，即点P在平行于BC且到BC的距离为2的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过A作AE⊥BC于E，

∵∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AEAB＝3，
∴S△PBCS菱形ABCD6×3＝6，
设点P到BC的距离为h，
∴h＝2，
即点P在平行于BC且到BC的距离为2的直线上，
作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，
则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，
∵BG⊥l，
∴BG⊥BC，
∴∠CBG＝90°，BG＝2h＝4，
∴CG2，
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
17．
【分析】
按二次根式的运算性质或法则及二次根式的混合运算顺序进行计算即可．
【详解】
解：原式=

．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简、合并同类二次根式、二次根式的混合运算顺序等知识点，将二次根式化为最简二次根式或整式是解题的关键．
18．见解析.
【分析】
由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证．
【详解】
证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
【点睛】
此题考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
19．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据勾股定理算出AB的两条直角边，再结合画图即可解答；
（2）根据题意画出图形即可．
【详解】
解：（1）∵10=12+32
∴如图：

∴满足线段的格点共有3个
故填3；
（2）画图如下（答案不唯一）：

【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，掌握勾股定理成为解答本题的关键．
20．（1）85，70；（2）八（1），因为八（1）班成绩的方差小于八（2）班成绩的方差，说明八（1）班成绩波动小，更加稳定；（3）乙同学，因为八（1）班的中位数大于80分，说明有一半以上的同学比甲同学成绩好，而八（2）班的中位数小于80分，说明乙同学比一半以上的同学成绩好，所以乙同学在班级的排名更靠前．
【分析】
（1）40人成绩的中位数应是从小到大排列后第20和第21人成绩的平均数，根据直方图可以看出第20人成绩为20，第21人成绩为90，据此即可求得；根据八（2）班平均数求解公式，可以看出众数是70；
（2）根据成绩分布表，和方差的性质即可判断；
（3）根据两个班级成绩的中位数即可判断．
【详解】
（1）40人成绩的中位数应是从小到大排列后第20和第21人成绩的平均数，
第20人成绩为20，第21人成绩为90，
∴；
根据八（2）班平均数求解公式，可以看出成绩是70分的有17人，因此；
（2）因为八（1）班成绩的方差小于八（2）班成绩的方差，说明八（1）班成绩波动小，更加稳定，故答案为：八（1）；
（3）乙同学，因为八（1）班的中位数大于80分，说明有一半以上的同学比甲同学成绩好，而八（2）班的中位数小于80分，说明乙同学比一半以上的同学成绩好，所以乙同学在班级的排名更靠前．
【点睛】
本题考查了统计与方差部分的相关知识，关键是要掌握方差、中位数的概念，和判断数据优劣的方法．
21．（1），；（2）
【分析】
（1）把点代入解析式即可求解出k值，再根据图象上点的坐标特征求解即可；
（2）根据三角形BCD的面积求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：（1）把点代入，得，解得，
∴直线，令，则，
∴，
∵直线经过，
∴，解得，
∴．
（2）如图，

∵且，
∴，
∴，
点在轴的负半轴上，且
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得D的坐标是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可；
【详解】
（1）证明：∵，∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，，
∴，．
∵，∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
23．（1），；（2）,或,或
【分析】
（1）先求出A，B的坐标，再利用面积公式结合已知条件即可求出点C坐标，进而用待定系数法求出直线的解析式；（2）分情况讨论三条直线不能围城三角形的情况，进而求得的值.
【详解】
解：（1）设，
直线，令，则；令，则，
∴，，∴， ，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将（2，4）代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（2），或，或．
具体过程如下：
由直线，且直线，，不能围成三角形，
可知分以下三种情况：
①当经过点时，将（2，4）代入，得，
②当时，．
③当时，．
综上，，或，或．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象性质、两条直线相交问题，一次函数与方程问题.三条直线不能围城三角形的情况有两种：三条直线交于一点或其中任意两条直线平行.
24．（1）见解析；（2）70°；（3）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AD//BC，AD＝BC，再利用全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的性质得∠ACD＝∠BAC＝∠AED即可解答；
（3）过点作于点，根据勾股定理求出，再由全等三角形性质即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴．
（2）由（1）得△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠AED＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠ACD＝∠BAC＝70°；
（3）解：如图，过点作于点，

∵，
∴，，
在和中，由勾股定理得：
，，
由（1）得，
∴．
【点评】
此题主要考查平行四边形的性质和三角形综合，关键是根据平行四边形的性质和等腰三角形性质证明三角形全等，再由勾股定理解三角形．
25．（1）；（2）-1，当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1；（3）
【分析】
（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=-1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据探究活动二的结论可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【详解】
解：（1）根据题意得：．
（2）∵，，，
∴，，
∴，
结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1．
（3）设过点且与直线垂直的直线为，解析式为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得．
∴过点且与直线垂直的直线的解析式为．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键．