福建省莆田市2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份福建省莆田市2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省莆田市2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．在二次根式中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
3．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．1，，
C．2，3， D．4，5，7
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，如果，那么的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中与相加时，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．3cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm
C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，则的值为（ ）

A． B．2 C． D．
9．当，分式的结果为，则（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）

A． B．+1 C．+2 D．+3

二、填空题
11．计算：______．
12．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
13．若 是整数，则最小正整数n的值为________．
14．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为______．

15．若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为__．
16．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．


三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．如图，在中，，．若，，求及的长．

19．求代数式的值，其中．如下是小亮和小芳的解答过程．
小亮：
解：原式


小芳：
解：原式


（1）______的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
20．已知，是的角平分线，交于点，交于点．
求证：四边形是菱形．

21．下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°
求作：矩形ABCD．

作法：如图，
1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；
3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
4．连接AD，CD．
所以四边形ABCD是矩形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵AB=①________，BC=②_________，
∴四边形ABCD是平行四边形(③________________________________)(填推理的依据)
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形． (④________________________________)(填推理的依据)
22．如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)求证：．

（结论应用）
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长上图中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F.求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为__________．
23．探究：如图所示，为线段上一动点，分别过点，点作，，分别连接，．已知，，．设．

（1）的值为______．（用含x的代数式表示）
（2）请问：当点、、______时，的值最小，最小值为______．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并求出代数式的最小值．（请将所作图画在答题卡指定虚线框内．）
24．在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是BC边一个动点（不与点，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接．

（1）求证：∠CAD=∠BDE；
（2）用等式表示线段CD与的数量关系，并证明；
（3）用等式表示线段AD，AB，之间的数量关系（直接写出，无需证明）．
25．已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,写出与满足的数量关系式.(直接写出答案，不要求证明)



参考答案
1．A
【分析】
二次根式有意义满足被开方式非负，然后解不等式即可．
【详解】
解：二次根式有意义可得，
解得，
∴的取值范围是．
故选择A．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负是解题关键．
2．B
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可.
【详解】
A. 等边三角形是轴对称图形，故不符合题意；
B. 平行四边形，不是轴对称图形，故符合题意；
C. 矩形是轴对称图形，故不符合题意；
D. 菱形是轴对称图形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟知“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”是解题的关键.
3．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A、62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、12+（)2=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、22+（）2=32，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、42+52=41≠72，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．B
【分析】
分别根据二次根式的乘法法则可判断A，二次根式的除法法则可判断B，二次根式的乘方的运算法则可判断C、D即可．
【详解】
解：A、，故选项A计算错误；
B、，故选项B计算正确；
C、，故选项C计算错误；
D、，故选项D计算错误．
故选B．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除与乘方，熟知二次根式的乘除法法则，以及乘方运算方法是解答此题的关键．
5．C
【分析】
根据平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等．与为对角，所以，再根据已知条件：，即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴（平行四边形对角相等），
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等，理解并加以运用是解题关键．
6．D
【分析】
首先将每一个选项中的二次根式化简为最简二次根式，判断被开方数是否与相同，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可以合并．
【详解】
A、，与不是同类二次根式，故不能合并；
B、，与不是同类二次根式，故不能合并；
C、，与不是同类二次根式，故不能合并；
D、，与是同类二次根式，故能合并；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的化简与同类二次根式的判断，解题关键是会化简二次根式和知道同类二次根式的定义．
7．C
【详解】
试题分析：如图，在△ABC中，根据三角形的三边关系可得2cm＜AC＜8cm，又因平行四边形的对角线互相平分，即可得OA=AC,所以OA的取值范围是1cm＜OA＜4cm，故答案选C．

考点：三角形的三边关系；平行四边形的性质．
8．A
【分析】
图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【详解】
解：如图1，

∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
9．B
【分析】
先对分式进行通分化简，再代入x值，再判断a的范围即可．
【详解】
解：=
=
=，
当时，a=，
∴a=，
∵1﹤﹤2，
∴﹤﹤1，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、平方差公式、二次根式的取值范围，掌握分式的化简，会判断二次根式的取值范围是解答的关键．
10．D
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，
∴AB=2CD=．
∴AC2+BC2=5
又Rt△ABC的面积为1，
∴AC•BC=1，则AC•BC=2．
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+，即△ABC的周长是+3．
故选D．
11．6
【分析】
根据二次根式的性质将底数中转化计算，再乘方即可求解．
【详解】
解：．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的性质化简底数后再乘方是解题关键．
12．假
【详解】
试题分析：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.
考点：逆命题
13．5
【分析】
因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【详解】
解：∵是整数，且，
∴5n是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数n为5．
故答案是：5．
【点睛】
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
14．相等且垂直
【分析】
根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF．
【详解】
解：AE=BF，且AE⊥BF，理由如下
：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠ADE=∠BAF=90°，
∵CE=DF，,
∴AF=DE，
在△BAF和△ADE中，

∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，,
又∵,
∴，
∴ ,
∴AE⊥BF．
故填：相等且垂直．
【点睛】
本题考查正方形的性质和全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和证明全等的方法．
15．4
【分析】
先估算出的范围，表示出x、y的值，再求．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键．
16．6
【分析】
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】
解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，


过A作于H，则由








为BC的中点，




即的最小值为6．
故答案为：6．

【点睛】
本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则结合完全平方式计算即可．
（2）先去绝对值、计算零指数幂、负整数指数幂，再进行混合运算即可．
【详解】
（1）解：原式



（2）解：原式


【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
18．，
【分析】
根据三角形面积求AC，由勾股定理求AB，利用面积桥求CD即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
得：，
∴，
由勾股定理，得：
，
∵，
∴，
得：，
∴．
【点睛】
本题考查直角三角形与高有关的计算，勾股定理，二次根式的除法，最间二次根式是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）小芳；（2）2025
【分析】
（1）原式，根据1-a的符号化去绝对值可判断小芳解法出现问题；
（2）原式，根据3-a的符号化去绝对值计算得，然后赋值，代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式，
，
，
，
∴小芳解法错误 ，
故答案：小芳；
（2）解：原式，

，
，
，
由代入，得：原式．
【点睛】
本题考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简与化去绝对值的方法是解题关键．
20．详见解析.
【分析】
先根据题中已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
【详解】
证明：如图，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
【点睛】
本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据作法要求画图即可；
（2）根据作图的过程和矩形的定义解答即可．
【详解】
解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作矩形；

（2）证明：
∵AB=①CD，BC=②AD，
∴四边形ABCD是平行四边形(③两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形． (④有一个角是直角的平行四边形是矩形)
故答案为：①CD，②AD，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了按要求作图和矩形的判定，属于基础题型，正确理解题意、熟知矩形的定义是解题的关键．
22．（1）见解析（2）见解析（3）29°
【分析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM＝BC，PN＝AD，然后求出PM＝PN，再根据等边对等角证明即可．
（2）由（1）得到，再根据平行线的性质即可求解；
（3）设=x°，则=x，得到∠FNB=，再根据△BNF的内角和为180°即可列出方程求解．
【详解】
（1）∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，
∴PM＝BC，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM．
（2）由（1）可得∠PMN＝∠PNM，MPBF,AENP
∴,
∴
（3）=x°，由（2）得=x，
∴∠FNB=，
在△BNF中∠ABC+∠F+∠FNB=180°
∴∠ABC+x+=180°
∴122°+2x=180°
解得x=29
∴=29°
故答案为：29°．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
23．（1）；（2）三点共线，10；（3）见解析，13
【分析】
（1）在Rt△ABC中由勾股定理，在Rt△DEC中由勾股定理，可求的值；
（2）当点A、、三点共线时，的值最小，过A作BD平行线，交射线ED于F构造直角△AFE，可证四边形ABDF为矩形，由勾股定理得AE；
（3）根据构图，取线段BD=12，点P为线段上一动点，分别过点，点作，，在射线BA上截取AB=2，在射线DE上截取DE=3，分别连接，．设．则的值为，当点、P、三点共线时，的值最小，过A作BD平行线，交射线ED于F构造直角△AFE，可证四边形ABDF为矩形，由勾股定理得AE，
【详解】
（1）在Rt△ABC中由勾股定理，
在Rt△DEC中由勾股定理，
∴的值为（或），
故答案为：（或）；
（2）当点A、、三点共线时，的值最小，
过A作AF⊥ED交射线ED于F，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B=∠BDF=∠F=90°，
∴四边形ABDF为矩形，
∴AF=BD=8，AB=FD=5，
∴EF=DE+DF=5+1=6，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE=，
故答案为：三点共线，10；

（3）解：如图所示，取线段BD=12，点P为线段上一动点，分别过点，点作

，在射线BA上截取AB=2，在射线DE上截取DE=3，分别连接，．设．
则的值为，
那么，当点A、P、三点共线时，的值最小，
即的值最小，
此时，过点A作，交的延长线于点，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B=∠BDF=∠F=90°，
∴四边形ABDF为矩形，
在Rt△AFE中．
即的最小值为13．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，利用矩形性质和直角三角形性质构造图形，掌握勾股定理的应用，利用矩形性质和直角三角形性质构造准确图形是解题关键．
24．（1）见解析；（2），见解析；（3．
【分析】
（1）在直角三角形中，利用等角的余角相等就可以证明出结论；
（2）过E作EH⊥CB，证明出，通过等量代换即可得出结论；
（3）连接AE，证明出△ABE是直角三角形，得到结论．
【详解】
（1）证明：∵
∴
∵四边形是正方形
∴
则
∴；
（2） （或），证明如下：
如图所示，过E作EH⊥CB，在正方形中，AD=DE，，，
∴，
∴AC=DH，CD=HE，
∵，
∴BC=DH，
∴CD=HB，
∵CD=HE，
∴HB=HE，，
连接

∴．

（3），
连接AE，由（2）可知HB=HE，，
∴，
同理在直角中，，
∴，
∴，
在Rt△ABE中，，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，关键在于构造出直角三角形，根据直角三角形的性质与勾股定理进行证明．
25．（1）证明略，（2） ①秒. ②x与y满足的函数关系式是
【分析】
（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
【详解】
（1）证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分，垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长，则
在中，
解得
∴
（2）①显然当点在上时,点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒10cm，点的速度为每秒6cm，运动时间为秒
∴,
∴，解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i）如图1，当点在上、点在上时，
，即
ii）如图2，当点在上、点在上时，
，即
iii）如图3，当点在上、点在上时，
，即
综上所述，与满足的函数关系式是

考点：平行四边形，菱形，一次函数