2021-2022学年福建省南平市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省南平市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 二次根式中字母的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图各图象中不能表示是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 菱形的两条对角线长分别是和，则它的面积是(    )

A.  B.   C.   D.  

6. 某校举行歌咏比赛，共有名同学参赛，按成绩取前名进入决赛，如果位同学成绩各不相同，参赛选手甲知道自己成绩后，要判断自己能否进入决赛，选手甲需要知道这位同学成绩的(    )

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

7. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪如图所示，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的学生正对门缓慢走到离门米处时即米，测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点在轴上，，，平分交边于点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知两个一次函数，的图象互相平行，它们的部分自变量与相对应的函数值如表所示，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 在▱中，若，则 ______
13. 如图，数轴上点所表示的实数是______．

14. 如图，一次函数的图象过点，那么关于的不等式的解集是______．

15. 如果数据，，的平均数是，那么数据，，的平均数是          ．
16. 如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接若，，，则线段长度的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 已知，如图，点、分别在▱的边，上，且求证：．

19. 已知直线：，直线过点与，两直线交于点．
    求直线的解析式，并求出交点的坐标；
    过点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，求线段的长．
20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，，，．
    求证：；
    求线段的长度．

21. 如图，在中，，分别是边，的中点．
    求作：平行四边形要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    在所作的图形中，若，求证：平行四边形是菱形．

22. 某学校从八年级学生中任意选取名男生，按人数平均分成甲，乙两个小组进行体能测试．根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．
    甲组成绩统计表：

请根据上面的信息，解答下列问题：
______，乙组成绩的众数是______；
已知甲组成绩的方差为，根据方差判断哪个小组的成绩更加稳定？
参考公式：

23. 年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，官方特许零售店账目记录显示：购买个冰墩墩和个雪容融需要元；购买个冰墩墩和个雪容融需要元．
    冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
    官方特许零售店开始销售的第一天个小时内全部售完，于是从厂家紧急调配个商品，根据市场需求冰墩墩的数量不多于雪容融数量的两倍，写出这批商品的销售额单位：元关于冰墩墩的数量单位：个的函数解析式，并说明怎样安排进货可以使销售额达到最大？
24. 如图，在正方形中，是边上一动点不与，重合，连接，过点作的垂线交的延长线于点．
    如图，求证：；
    如图，连接，，交点为求证：点是线段的中点．

25. 已知直线：与直线：相交于点．
    当时，求，的值；
    求与的关系式；
    若交点在第二象限，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，记，当时，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
解得．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当取一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．
选项B的曲线，当取一个值时，的值可能有个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
故B曲线不能表示是的函数，
故选：．
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别是和，
它的面积是：
故选：．
由菱形的两条对角线长分别是和，利用菱形的面积等于其对角线积的一半求解，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．
故选：．
参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
又是正三角形，
，，
是等腰三角形，，
．
故选：．
由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米，
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于，
则轴，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
延长交轴于，由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后证，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：两个一次函数，的图象互相平行，
两个一次函数的相同，即变化率相同，
根据表格可知，
当由变为时，由变为，
当由变为时，从变为，
，
故选：．
根据两直线平行的位置关系，先求出的值，进一步根据变化率相同即可求出的值．
本题考查了两直线平行的位置关系，熟练掌握两直线平行的位置关系与系数的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
直接进行平方的运算即可．
此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．
由在▱中，若，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】
解：在▱中，，
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由勾股定理，得
斜线的为，
由圆的性质，得：点表示的数为，
故答案为：．
根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
关于的不等式的解集是．
故答案是：．
利用一次函数的性质，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，的平均数是，
，
则数据，，的平均数是，
故答案为：．
先根据，，的平均数是得出的值，再根据平均数的概念列式计算可得．
本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、、，如图所示：
四边形是矩形，
，，
，
是线段的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
的最小值是，
故答案为：．
连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当、、三点共线时，最小，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】直接利用二次根式的除法运算法则以及二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
而，
四边形为平行四边形，
． 

【解析】先根据平行四边形的性质得，，则利用得到，则可判断四边形为平行四边形，从而利用平行四边形的性质得到结论．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了平行四边形的判定．
 

19.【答案】解：设直线的解析式为，把点、分别代入得：
．
解得．
故直线的解析式为．
联立，解得．
故C；
把代入直线：，得，即．
把代入，得，即．
故DE．
所以线段的长度是． 

【解析】利用待定系数法确定直线的解析式，联立两直线方程，组成方程组，该方程组的解即为交点的坐标；
点、纵坐标差的绝对值即为线段的长度．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

的垂直平分线分别交、于点、，
，
，，
，
；

解：，，
．
在中，，
． 

【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

21.【答案】解：如图，四边形即为所求；


证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】延长到，使得，连接，，四边形即为所求；
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：，
乙组成绩分出现的次数最多，出现了次，
则乙组成绩的众数是．
故答案为：，；
，
乙组的方差是，
，
，
甲组的成绩更加稳定．
求出每组的人数，减去乙组其他成绩的人数，求出，再根据众数的定义即可求出乙组成绩的众数；
先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案．
此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
 

23.【答案】解：设冰墩墩每个的售价是元，雪容融每个的售价是元，
根据题意得，
解得，
答：冰墩墩每个的售价是元，雪容融每个的售价是元；
冰墩墩的数量不多于雪容融数量的两倍，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
此时个，
答：，购进个冰墩墩，个雪容融，可以使销售额达到最大． 

【解析】设冰墩墩每个的售价是元，雪容融每个的售价是元，可得，即可解得冰墩墩每个的售价是元，雪容融每个的售价是元；
由冰墩墩的数量不多于雪容融数量的两倍，可得，而，根据一次函数性质可得：购进个冰墩墩，个雪容融，可以使销售额达到最大．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，

，
≌．
；
如图，过点作交于点，

四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
由可知，，
，
，
≌．
． 

【解析】根据正方形的性质以及容易证明，，，从而证得≌，根据全等三角形的性质得出结论；
过点作交于点，证明≌即可．
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键熟练掌握正方形的性质并灵活运用．正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质； 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
 

25.【答案】解：，
，，
联立方程组，
解得，
，；
联立方程组，
解得，
，，
；
交点在第二象限，
，，
，
轴，轴，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：． 

【解析】联立方程组，即可求解；
联立方程组，即可求解；
由题意可得，，则，再由的范围确定的范围即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会求两直线交点坐标是解题的关键．