安徽省合肥市第八中学2020-2021学年高一下学期超越班数学限时作业（9）+Word版含解析

合肥八中高一（下）超越班数学单元练习（9）                          

一、选择题：本题共8小题，共44分；前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多选题，每题7分。

1．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“” 的（    ）

A．充要条件   B．充分不必要条件  C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

2．下列命题为真命题的是（    ）

A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直

B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行

C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直

D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行

3．如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图，平面平面，，AB与两平面所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，与所成的角和与所成的角相等，则

8．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为

B．面

C．平面与平面所成二面角为

D．异面直线与所成角的范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分

9．在正方体中，为棱的中点，则与底面所成角的正弦值为______.

10．已知是等腰直角三角形斜边的高，将三角形沿翻折成直二面角，此时，___________.

11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥为鳖臑，且平面，，，则该鳖臑外接球的表面积为_________.

12．已知四面体的棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为________．

四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分

13．如图，在三棱锥中，，，．

（1）证明：；

（2）若直线AC与平面BCD所成的角为，，求二面角的余弦值．

14．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点

.求证：（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

合肥八中高一（下）超越班数学单元练习（9）                          

一、单选题

1．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“” 的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】依题意，l、m是两条不同的直线，是平面，，，

若，则与可以相交，也可以平行，故推不出

若，由线面垂直的性质定理可知，. 

故“”是“” 的必要不充分条件.故选：C.

2．下列命题为真命题的是（    ）

A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直

B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行

C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直

D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行

【答案】B

【详解】

A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；

B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；

C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；

D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．

故选：B．

3．如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

不妨设三棱锥是棱长为2的正四面体，
取中点，中点，中点，连结，
过作，交于，连结，

则

∴ ， ，∴ ，

取中点，连结，则，

又，平面，．

．

一般的，

当为锐角时，由正弦函数的单调性可得，

当为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有.

由直线与平面所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得，

由于的范围是在和之间变化，因此和的大小关系不确定.

故A正确，B,C,D错误故选：A．

【点睛】求角的一般步骤（几何法）：

（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；

（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

（3）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.

4．如图，平面平面，，AB与两平面所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

连接,由平面平面，平面平面，

又,所以平面,

所以为AB与平面所成的角,即

同理平面,所以为AB与平面所成的角,即

设AB=2a，则BB′=2asin =a， A′B＝2acos＝a，

∴在RtBB′A′中，得A′B′＝a，

∴AB∶A′B′＝2∶1.故选：A

5．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

取的中点，连接、，

因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，，

所以，二面角的平面角为，且，

设、分别为、的外心，

过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，

易知，同理可得，

，，，平面，

平面，，同理可得，

所以，四边形是边长为的正方形，

由正弦定理可得，，

因此，四面体的外接球的表面积为.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

6．如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

如图：分别取、的中点、，连，，，

因为为的中点，为的中点，为正方形，所以，

又平面，所以，而，所以平面，

所以，

同理可得，又，所以平面，

因为平面，所以，

因为动点在侧面及其边界上运动，所以动点的轨迹是线段，

而，所以动点的轨迹的长度为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：作出并证明动点的轨迹是本题解题关键，分别取、的中点、，连，则线段即为动点的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.

二、多选题

7．已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，与所成的角和与所成的角相等，则

【答案】AB

【分析】

利用线面垂直的性质可判断A选项、B选项的正误；举出符合命题题设的事例，可判断C选项、D选项的正误.

【详解】

对于A，若，，由线面垂直的性质及面面平行的定义可得，故A正确；

对于B，若，，由线面垂直的性质定理可得，故B正确；

对于C，在如下的正方体中，a，b是两条棱所在直线，是正方体两个表面所在的平面，

显然有，，，而与相交，故C错误；

对于D，圆锥SO的底面所在平面为，与该圆锥底面平行的截面所在平面为，，圆锥SO的两条母线所在为a，b，显然a与所成的角和b与所成的角相等，而a与b相交，故D错误.

故选：AB

8．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为

B．面

C．平面与平面所成二面角为

D．异面直线与所成角的范围是

【答案】BCD

A：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，错误；

B：连接，，，，易证面面，又面，所以面，正确；

C：根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，正确；

D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，正确.

故选：BCD．

三、填空题

9．在正方体中，为棱的中点，则与底面所成角的正弦值为______.

【答案】

如图，取的中点，连接，，易证底面，

所以与底面所成角为.设，则，，

故.

故答案为：.

10．已知是等腰直角三角形斜边的高，将三角形沿翻折成直二面角，此时，___________.

【答案】

由题意翻折后，相等且两两垂直，因此，是等边三角形.，．

故答案为：．

11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥为鳖臑，且平面，，，则该鳖臑外接球的表面积为_________.

【答案】

解：∵平面，平面，∴，，又是直角三角形，，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，∴该鳖臑外接球的球心为的中点，则，∴，∴该鳖臑外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题在确定该鳖臑外接球的圆心时，关键是证明，，结合直角三角形外接圆的性质确定的中点为该鳖臑外接球的圆心，从而得出外接球的表面积.

12．已知四面体的棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为________．

【答案】

解析：如图，过点作平面，垂足为，连接．

取中点，连接．

由平面，四面体的棱长都相等，

所以点是三边垂直平分线的交点，也是角平分线的交点．

设四面体的棱长为，

则，

∵是的中点，是的中点，∴ ．

∵平面，∴平面．

∴ 就是与平面所成的角．

在等边三角形中，是的中点，

∴ ．

又，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查线面所成角的几何求法，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关在在于找到就是与平面所成的角，进而根据几何关系求解即可.

四、解答题

13．如图，在三棱锥中，，，．

（1）证明：；

（2）若直线AC与平面BCD所成的角为，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）通过证明，证得平面，由此证得.

（2）通过直线AC与平面BCD所成的角求得，作出二面角的平面角，由此计算出二面角的余弦值.

【详解】

（1）取BD中点O，连接OA，OC，则，

又，，，

所以，所以，所以．

，平面，平面，所以平面．

又平面，所以．

（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，

所以CA在平面上的射影在直线CO上，所以为直线AC与平面所成的角，

即．

又因为，，在中由余弦定理可知

，

所以，所以，且平面平面，

所以平面．

，

取CD中点E，连接OE，AE，

则，，

所以为二面角的平面角，

，，

中，．

【点睛】

几何法求二面角，主要是根据二面角的定义作出二面角的平面角，再解三角形求得二面角的余弦值.

14．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：

（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）利用正三角形的性质得，由面面垂直的性质定理得得线面垂直，从而有线线垂直，，再由菱形得正三角形，得，由纯平面垂直判定定理可证结论；

（2）在（1）的基础上可得与平面垂直，从而得证线线垂直．

【详解】

（1）由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，

∴PG⊥平面ABCD，又BG⊂平面ABCD，

∴PG⊥BG.

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，

∴BG⊥平面PAD.

（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，

∴AD⊥平面PBG，

又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.

【点睛】

思路点睛：本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，解题时掌握定理的条件是解题关键，一般需要把定理的条件全部罗列出来，才能得出结论，否则解题过程不完整，容易出现错误．证垂直时注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化．