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2022-2023学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 x−1有意义的条件( )
A. x>1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≤1
2. 下列几组数据中，能构成直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，12 B. 5，12，14 C. 1，2，3 D. 3，4，5
3. 在▱ABCD中(如图)，连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
4. 估算 3× 8−1的值应在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
5. 下列说法中，正确的是( )
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6. 如图，每个图案都由若干个“⋅”组成，第①个图案中有5个“⋅”，第②个图案中有8个“⋅”，第③个图案中有11个“⋅”，…，按此规律排列，则第⑥个图案中“⋅”的个数为( )
A. 23 B. 20 C. 29 D. 17
7. 某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动(即两次打折数相同)，优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程( )
A. 500(1−2x)=320 B. 500(x10)2=320
C. 500(1−x10)2=320 D. 500(1−x)2=320
8. 一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=−bx在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE⊥AD于点E，F为线段AD上一点，若AC=6，BD=8，AF=49AE则线段CF的长度为( )
A. 235
B. 245
C. 5
D. 265
10. 算术平方根有如下运算： a2=a(a≥0)−a(a<0)，( a)2=a(a≥0).故化简： a2+( b)2可得a+b或−a+b两种不同结果.给出下列说法：
①化简： a2+ b2+( c)2，一共有4种不同的结果；
②化简： (x+1)2+( x−1)2+ (x−4)2+ (x−8)2，一共有4种不同的结果；
③若an= (2n−17)2，Sn=a1+a2+…+an(n为正整数)，则当Sn=640时，n=32．
以上说法中正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 16+( 5−1)0= ______ ．
12. 甲、乙两人比赛成绩如图，则______ 的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)．
13. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4，则阴影部分的面积= ______ ．
14. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴和y轴的交点分别为(−2,0)、(0,1)，求关于x的不等式kx+b<1的解集______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=6，矩形ABCD的面积为______ ．
16. 若关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解，且关于y的不等式组y−2≥2y−13−12(y−a)>0无解，则所有满足条件的整数a的值之和是______ ．
17. 如图，正方形ABCD的边长为10，点E在AD边上，DE=4，连接CE，将△CDE沿CE翻折得△CD′E，延长ED′交AB于点F，则D′F的长度为______ ．
18. 材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”.材料二：一个四位数N=abcd−满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd−均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”.若p=ac−−bd−，q=ad−−bc−，则记F(N)=q−p.若s，t都是“双巧数”，其中s=3010+100x+10y+z，t=1100m+400+10n+2r，(1≤x,n≤9,1≤y≤8,1≤z≤7,1≤m≤5,1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数)，规定K(s,t)=F(s)F(t).则F(1224)= ______ ；当F(s)+F(t)=12时，K(s,t)的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
计算：
(1)解方程：x2−2x−24=0；
(2)( 2+1)2+2 2( 2−1)；
(3)(2x+y)(2x−y)−2(x−y)2；
(4)(1−mm+2)÷m2−4m+4m2−4．
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，① ______
∴∠ABD=∠CDB
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD
∴② ______ ，∠DCH=12∠BCD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴③ ______
∴∠BAE=∠DCH
在△ABF和△CDG中∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH
∴.△ABF≌△CDG(ASA)
∴BF=DG
21. (本小题8.0分)
两江新区某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析.将学生竞赛
成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100，下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为在此次安全知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若八、九年级共有1500名学生参加安全知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有多少人？
22. (本小题8.0分)
今年春季是甲流病毒的高发期.为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81个人患了甲流．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了100盒口罩.已知售出的N95医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒N95医用口罩的单价为15元，每盒普通医用口罩的价格为10元，则售出N95医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
某旅游景点湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援，位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援，计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向，湖岸A与码头C相距1200米．
(1)求湖岸A与湖面B的距离；(结果用精确值.)
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，求在接到通知后，快艇需要多长时间能将该游客送上救援船？(接送游客上下船的时间忽略不计，结果精确到十分位，参考数据： 2=1.41，
3=1.73)
24. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点P从点A点出发，沿折线AB−BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，动点Q从C出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点D运动，两点同时出发，设运动时间为t，连接AC、AQ、CP，记△APC的面积为y1，△ACQ的面积为y2．
(1)请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1y2的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数y1的一条性质；
②直接写出当y1>y2时，t的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC=14，C(−6,0)，D(2,8)．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)如图2，点M为y轴上一动点，连接AM、DM，求AM+DM的最小值和此时点M的坐标；
(3)如图3，在(2)问的条件下，将直线l沿射线DC的方向平移，使得平移后的直线经过点M.若点E为直线CD上一动点，F为平移后新直线上一动点，使以点O、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点E的横坐标，并写出求解点E的横坐标的其中一种情况的过程．
26. (本小题10.0分)
四边形ABCD是菱形，∠A=60°，连接对角线BD，点E为CD上一点，点F为BC上点，满足CE=BF，连接BE、DF，交于点M．
(1)如图1，求∠DMB的度数．
(2)如图2，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连接CN，猜想线段DM，BN，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若∠EBC=15°，连接AM交BD于点Q，直接写出S△AQB：SBDE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、因为62+82≠122，所以不能组成直角三角形；
B、因为122+52≠142，所以不能组成直角三角形；
C、因为12+22≠32，所以不能组成直角三角形；
D、因为32+42=52，所以能组成直角三角形．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=40°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC=40°，
∵∠ACB=80°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解： 3× 8−1= 24−1，
∵16<24<25，
∴4< 24<5，
则3< 24−1<4，
即原式的值在3和4之间，
故选：A．
先将原式进行计算，然后进行估算即可．
本题考查无理数的估算和二次根式的运算，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握相关判定方法是解题的关键．
利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：第①个图案中“⋅”的个数是：5，
第②个图案中“⋅”的个数是：8=5+3×1，
第③个图案中“⋅”的个数是：11=5+3×2，
第④个图案中“⋅”的个数是：14=5+3×3，
……，
以此类推，第n个图案中“⋅”的个数是：5+3(n−1)=3n+2，
∴第⑥个图案中“⋅”的个数是：3×6+2=20．
故选：B．
首先归纳总结出第n个图案中“⋅”的个数是：5+3(n−1)=3n+2，根据这一规律即可求出第⑥个图案中“⋅”的个数．
本题是一道找探索数字变化规律的题目，解答此类题目时，首先要观察、分析、归纳总结出规律，然后根据总结出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得：500(x10)2=320．
故选：B．
利用经过两次打折后的价格=原价×(折扣数10)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、若a>0，b>0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=−bx经过二、四象限，
B、a>0，b<0，则y=ax+b经过一、三、四象限，y=−bx经过一、三象限，
C、若a<0，b>0，则y=ax+b经过一、二、四象限，y=−bx经过二、四象限，
D、若a<0，b<0，则y=ax+b经过二、三、四象限，y=−bx经过一、三象限，
故选：C．
根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线AC=6，BD=8
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
在Rt△AOD中，OA=3，OD=4，
由勾股定理得：AD= OA2+OD2=5，
∵CE⊥AD，
由菱形的面积公式得：S菱形ABCD=AD⋅CE=12AC⋅BD，
即：5⋅CE=12×6×8，
∴CE=4.8，
在Rt△ACE中，AC=6，CE=4.8，
由勾股定理得：AE= AC2−CE2=3.6，
∴AF=49AE=1.6，
∴EF=AE−AF=2，
在Rt△CEF中，CE=4.8，EF=2，
由勾股定理得：CF= CE2+EF2=265．
故选：D．
首先根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，于是可在Rt△AOD中求出AD=5，再由菱形的面积公式求出CE=4.8，在Rt△ACE中可求出AE=3.6，然后结合已知条件可分别求出AF=1.6，EF=2，最后在Rt△CEF中可求出CF的长．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握菱形的性质，灵活利用勾股定理进行计算，难点是利用菱形的面积公式求CE的长．
10.【答案】C
【解析】解：① a2+ b2+( c)2
=|a|+|b|+c，
当a≥0，b≥0时，原式=a+b+c；
当a≥0，b≤0时，原式=a−b+c；
当a≤0，b≥0时，原式=−a+b+c；
当a≤0，b≤0时，原式=−a−b+c；
∴一共有4种不同的结果；
故①符合题意；
②∵x−1≥0，
∴x≥1，
(x+1)2+( x−1)2+ (x−4)2+ (x−8)2
=x+1+x−1+|x−4|+|x−8|
=2x+|x−4|+|x−8|，
当x≥8时，原式=2x+x−4+x−8=4x−12；
当4≤x≤8时，原式=2x+x−4+8−x=2x+4；
当1≤x≤4时，原式=2x+4−x+8−x=12；
∴一共有3种不同的结果；
故②不符合题意；
③an= (2n−17)2=|2n−17|，
当1≤n≤8时，an=17−2n，
当n≥9时，an=2n−17，
∴Sn=a1+a2+…+an
=15+13+11+9+7+5+3+1+3+5+7+…+2n−17
=64+(n−8)2
=n2−16n+128，
当Sn=640时，n2−16n+128=640，
解得n=32或n=−16(舍)，
故③符合题意；
故选：C．
①由原式=|a|+|b|+c，结合绝对值的性质分类计算即可；
②由原式=2x+|x−4|+|x−8|，再根据绝对值的性质分类化简计算即可；
③根据题意可到Sn=n2−16n+128，当Sn=640时，求出n的值即可．
本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解： 16+( 5−1)0
=4+1
=5．
故答案为：5．
先根据算术平方根求出 16，再根据零指数幂计算( 5−1)0，最后根据有理数加法计算．
本题主要考查了实数的运算、算术平方根的知识、零指数幂的知识，难度不大．
12.【答案】乙
【解析】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则两人中成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】24
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=1212AB×BD−1212BC×AC=30−6=24．
故答案为：24．
14.【答案】x<0
【解析】解：由图象得：不等式kx+b<1的解集为：x<0，
故答案为：x<0．
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
15.【答案】36 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，∠ACB=30°，
∴BC= 3AB=6 3，
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=6×6 3=36 3．
故答案为：36 3．
由等边三角形的性质得∠OAB=60°，OA=AB=6，则AC=2OA=12，∠ACB=30°，由含30°角的直角三角形的性质得BC= 3AB=6 3，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】12．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解，
∴Δ=22−4(a−2)×(−3)≥0且a−2≠0，
解得a≥53且a≠2．
解不等式y−2≥2y−13，得y≥5，
解不等式−12(y−a)>0，得y
∴a≤5，
∴53≤a≤5且a≠2．
∵a为整数，
∴a=3，4，5，
∴3+4+5=12．
故答案为：12．
根据关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解确定a的范围，解不等式组，根据不等式组无解进一步确定a的范围，求出整数a的值，进而求解即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法，掌握一元二次方程的定义、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
17.【答案】307
【解析】解：连接CF，设D′F=x，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为10，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=CD=BC=AD=10，
∵DE=4，
∴AE=AD−DE=6，
由翻折的性质得：D′E=DE=4，CD=CD′=10，∠ED′C=∠D=90°，
∴EF=D′E+D′F=4+x，∠CD′F=90°，CB=CD′，
在Rt△CBF和Rt△CD′F中，
CB=CD′CF=CF，
∴Rt△CBF≌Rt△CD′F(HL)，
∴BF=D′F=x，
∴AF=AB−BF=10−x，
在Rt△AEF中，AF=10−x，AE=6，EF=4+x，
由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，
即：(10−x)2+62=(x+4)2，
解得：x=307，
∴D′F=307，
故答案为：307．
连接CF，设D′F=x，由正方形及翻折的性质得EF=4+x，∠CD′F=90°，CB=CD′，然后依据“HL”判定Rt△CBF和Rt△CD′F全等得BF=D′F=x，进而得AF=10−x，最后在Rt△AEF中由勾股定理即可求出x．
此题主要考查了正方形的性质，图形的翻折及其性质，直角三角形全等的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的翻折及性质，难点是根据“HL”判定Rt△CBF和Rt△CD′F全等，以及利用勾股定理构造方程求解．
18.【答案】4 12
【解析】解：当N=1224时，p=12−24=−12，q=14−22=−8，则F(N)=q−p=−8−(−12)=4，故填4；
由题意得：s=3x(1+y)z−，t=m(m+4)n(2r)−；
∴p(s)=3(1+y)−−xz−=31+y−10x−z，q(s)=3z−−x(1+y)−=30+z−10x−1−y；
p(t)=mn−−(m+4)(2r)−=n−40−2r，q(t)=m(2r)−−(m+4)n−=2r−n−40；
∴F(s)=q(s)−p(s)=29+z−10x−y−31−y+10x+z=−2y+2z−2
F(t)=q(t)−p(t)=2r−n−40−n+40+2r=4r−2n；
∵F(s)+F(t)=12，
∴−2y+2z−2+4x−2n=12，即−2y−2z−2+4r−2n=14；
∵s，t都是“双巧数”，
∴3x−=4(3+x)(1+y)z−=4(1+y+z)m(m+4)−=4(m+m+4)n(2r)−=4(n+2r)即：x=62y−z=−2m−4n=r；
∴x=6y=1z=4m=4n=4r=4或x=6y=2z=6m=4n=3r=3，即N=3624S=4848，N=3636S=4836；
当N=3624，S=4848时，
F(s)=4，F(t)=8，
∴K(s,t)=F(s)F(t)=48=12；
当N=3636，S=4836时，
∴F(s)=6，F(t)=6，
∴K(s,t)=F(s)F(t)=66=1；
∴K(s,t)的最大值为1．
故K(s,t)的最大值为1．
根据巧数概念进行判断；由题意得：分别求出p(s)、q(s)、p(t)、q(t)；再表示出F(s)、F(t)；已知F(s)+F(t)=12，列方程−2y+2z−2+4x−2n=12，即−2y−2z−2+4r−2n=14；s，t都是“双巧数”，列式3x−=4(3+x)(1+y)z−=4(1+y+z)m(m+4)−=4(m+m+4)n(2r)−=4(n+2r)即：x=62y−z=−2m−4n=r，求出对应字母的值，计算出F(s)、F(t)的值，从而求出K(s,t)的最大值．
本题考查了数的整除性，根据各数之间的关系，求出待定字母，是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−2x−24=0，
(x−6)(x+4)=0，
x−6=0或x+4=0，
解得x1=6，x2=−4；
(2)( 2+1)2+2 2( 2−1)
=2+2 2+1+4−2 2
=7；
(3)(2x+y)(2x−y)−2(x−y)2
=4x2−y2−2(x2−2xy+y2)
=4x2−y2−2x2+4xy−y2
=2x2−2y2+4xy；
(4)(1−mm+2)÷m2−4m+4m2−4
=m+2−mm+2⋅m2−4m2−4m+4
=2m+2⋅(m+2)(m−2)(m−2)2
=2m−2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)利用完全平方公式以及二次根式的性质计算即可；
(3)利用完全平方公式以及平方差公式化简即可；
(4)根据分式混合运算顺序，先把括号部分通分，再根据分式的乘除法法则计算即可．
本题考查了解一元二次方程，整式的混合运算，实数的运算以及分式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】AB//CD ∠BAF=12∠BAD ∠BAD=∠DCB
【解析】(1)解：如图，CH即为∠BCD的角平分线；
(2)证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDBAB=CD∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDG(ASA)，
∴BF=DG．
故答案为：①AB//CD，
②∠BAF=12∠BAD，
③∠BAD=∠DCB，
④AB=CD．
(1)根据角平分线的作法即可解决问题；
(2)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可完成填空．
本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21.【答案】87.5 88 40
【解析】解：(1)九年级A、B组的频数和为20×(10%+15%)=5，
所以将九年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，
则其中位数a=87+882=87.5，
根据八年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b=88，
∵九年级D组的频数为20−5−7=8，
∴m%=8÷20×100%=40%，
∴m=40；
故答案为：87.5，88，40；
(2)九年级的成绩更好，理由如下：
八、九年级的平均数相同，但九年级成绩的中位数和众数都比八年级的大，所以九年级的更好；
(3)1500×6+840=525(人)，
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有525人．
(1)根据中位数，众数定义可得a，b的值，由九年级C组的频数除以20求出C的百分比，即可得m的值；
(2)根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可；
(3)用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键．
22.【答案】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这个人在第一轮中传染了x个人，第一轮后共有(x+1)个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有[x+1+x(x+1)]个人患了流感．
列方程x+1+x(x+1)=81，
解得x1=8，x2=−10．
经检验，x=8符合题意．
答：平均一个人传染了8个人；
(2)设售出的N95医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是(100−a)盒，
根据题意得，a≤4(100−a)，
解得a≤80；
设总销售额为y元，
根据题意得，y=15a+10(100−a)=5a+1000，
∵5>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=80时，y的最大值为1400元，
答：总销售额最多为1400元．
【解析】(1)设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；
(2)设售出的N95医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是(100−a)盒，根据题意得列不等式得到a≤80；设总销售额为y元，根据题意得到y=15a+10(100−a)=5a+1000，根据一次函数的性质得到结论．
本题主要考查一元一次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式．
23.【答案】解：(1)过A作AD⊥CB交CB的延长线于D，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，AC=1200米，∠C=30°，
∴AD=12AC=600米，
在Rt△ABD中，
∵∠NAB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=ADcos30∘=600÷ 324300 3(米)，
答：湖岸A与湖面B的距离为400 3米；
(2)∵∠ACB=∠CAN=30°，∠NAB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AB=300 3米，
设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，
∴150x+(250x−300 3)=1200，
∴x≈4.3，
答：快艇需要4.3分钟能将该游客送上救援船．
【解析】(1)过A作AD⊥CB交CB的延长线于D，解直角三角形即可得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠BAC=30°，求得BC=AB=300 3米，设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
24.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
(1)针对于△ACP：
当点P在边AB上(包括点B)时，即0
∴y1=S△ACP=12AP⋅BC=12t×4=2t；
当点P在边BC上时，即4
∴y1=S△ACP=12CP⋅AB=12(8−t)×4=16−2t，
即y1=2t(0
由运动知，CQ=0.5t，
∴y2=S△ACQ=12CQ⋅AD=12×12t×4=t(0
①Ⅰ、当0
②由图象知，令t=164−2t，
∴t=163，
∴当0y2，
即当y1>y2时，t的取值范围为0
(2)利用画函数图象的方法直接画出图象；
①根据图象写出一条性质即可；
②根据图象先求出t=16−2t的解，即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AC=14，C(−6,0)，
根据图象可知，A(8,0)，
将A(8,0)，D(2,8)代入y=kx+b，
得8k+b=02k+b=8，
解得k=−43b=323，
∴直线l函数表达式：y=−43x+323；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接A′D与y轴的交点即为M，
∴AM=A′M，
∴此时AM+DM的最小值为A′M+DM=A′D，
∵A(8,0)，
∴A′(−8,0)，
∵D(2,8)，
∴A′D= (2+8)2+82=2 41，
∴AM+DM的最小值为2 41，
设直线A′D的解析式为：y=k′x+b′，
代入A′(−8,0)，D(2,8)，
得−8k′+b′=02k′+b′=8，解得k′=45b′=325，
∴直线A′D的解析式：y=45x+325，
∴点M的坐标为(0,325)；
(3)设直线CD的解析式为：y=sx+t，
代入C(−6,0)，D(2,8)，
得−6s+t=02s+t=8，解得s=1t=6，
∴直线CD的解析式：y=x+6，
∵直线l：y=−43x+323；沿射线DC的方向平移，使得平移后的直线经过点M(0,325).
∴平移后的直线为y=−43x+325，
设E点坐标为(n,n+6)，F点坐标为(m,−43m+325)，
∵O(0,0)，D(2,8)，
当OD为对角线时，m+n=0+2n+6−43m+325=0+8，
解得m=9635n=−2635，
∴点E的横坐标为−2635；
当OE为对角线时，0+n=m+20+n+6=8−43m+325，
解得m=9635n=16635，
∴点E的横坐标为16635；
当OF为对角线时，m+0=n+28+n+6=0−43m+325，
解得m=−125n=−225，
∴点E的横坐标为−225；
综上，所有符合条件的点E的横坐标为−2635或16635或−225．
【解析】(1)利用待定系数法求解析式即可；
(2)先作点A关于y轴的对称点A′，然后连接A′D与y轴的交点即为M，求解即可；
(3)求出直线CD的解析式，设E点坐标为(n,n+6)，F点坐标为(m,−43m+325)，利用中点坐标公式求出E点坐标即可．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称求最小值，平行四边形的性质、图形的平移等，灵活运用一次函数的性质，平行四边形的性质以及平移的性质是解决本题的关键，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠C=∠DBF=60°，CB=BD，
在△CBE和△BDF中，
CB=BD∠C=∠DBFCE=BF，
∴△CBE≌△BDF(SAS)，
∴∠CBE=∠BDF
∴∠DME=∠BDF+∠DBE=∠CBE+∠DBE=∠DBC=60°，
∴∠DMB=180°−∠DME=120°，
∴∠DMB的度数是120°．
(2)BM+BN=CN，
证明：如图2，延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，
∵∠DME=60°，
∴△DMG是等边三角形，
∴DG=DM，∠MDG=∠BDC=∠DGM=60°，
∴∠CDG=∠BDM=60°−∠CDF，
在△CDG和△BDM中，
DG=DM∠CDG=∠BDMCD=BD，
∴△CDG≌△BDM(SAS)，
∴CG=BM，∠DGC=∠DMB=120°，
∴∠BGC=120°−∠DGM=60°，
∵将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，
∴BN=BM，∠MBN=120°，
∴CG=BN，∠BGC+∠MBN=180°，
∴CG//BN，
∴四边形BGCN是平行四边形，
∴BG=CN，
∵DM+BN=GM+BM=BG，
∴DM+BN=CN．
(3)如图3，延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，
由(2)得△CDG≌△BDM，∠BGC=60°，
∴∠DCG=∠DBM，
∵∠BCD=∠ABD=60°，
∴∠DCG+∠BCD=∠DBM+∠ABD，
∴∠BCG=∠ABM，
在△BCG和△ABM中，
BC=AB∠BCG=∠ABMCG=BM，
∴△BCG≌△ABM(SAS)，
∴∠CBG=∠BAM，
∵∠DBC=∠DAB=60°，
∴∠DBC−∠CBG=∠DAB=∠BAM，
∴∠DBE=∠DAQ，
在△BDE和△ADQ中，
∠BDE=∠ADQBD=AD∠DBE=∠DAQ，
∴△BDE≌△ADQ(ASA)，
∴S△BDE=S△ADQ，
作QP⊥DB交AB于点P，则∠PQB=90°，
∴∠BPQ=30°，
∵∠QAB=∠EBC=15°，
∴∠PQA=∠BPQ−∠QAB=30°−15°=15°=∠QAB，
∴PA=PQ，
设BQ=m，则PB=2BQ=2m，
∴PA=PQ= PB2−BQ2= (2m)2−m2= 3m，
∴DB=AB=PB+PA=2m+ 3m，
∴DQ=DB−BQ=2m+ 3m−m= 3m+m，
∴S△AQBS△ADQ=BQDQ=m 3m+m= 3−12，
∴S△AQBS△BDE= 3−12，
∴S△AQB：S△BDE的值是 3−12．
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，∠A=60°，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，则△ABD和△CBD都是等边三角形，所以∠C=∠DBF=60°，CB=BD，即可证明△CBE≌△BDF，得∠CBE=∠BDF，可推导出∠DME=∠DBC=60°，则∠DMB=180°−∠DME=120°；
(2)延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，则△DMG是等边三角形，可证明△CDG≌△BDM，得CG=BM，∠DGC=∠DMB=120°，则∠BGC=60°，由旋转得BN=BM，∠MBN=120°，则CG=BN，∠BGC+∠MBN=180°，所以CG//BN，则四边形BGCN是平行四边形，所以DM+BN=GM+BM=BG=CN；
(3)延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，先证明△BCG≌△ABM，得∠CBG=∠BAM，可推导出∠DBE=∠DAQ，再证明△BDE≌△ADQ，则S△BDE=S△ADQ，作QP⊥DB交AB于点P，则∠BPQ=30°，∠PQA=∠BPQ−∠QAB=15°=∠QAB，设BQ=m，则PB=2m，所以PA=PQ= 3m，则DB=AB=2m+ 3m，DQ= 3m+m，即可求得S△AQBS△BDE=S△AQBS△ADQ=BQDQ= 3−12．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2022-2023学年重庆市两江新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 x−1有意义的条件( )
A. x>1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≤1
2. 下列几组数据中，能构成直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，12 B. 5，12，14 C. 1，2，3 D. 3，4，5
3. 在▱ABCD中(如图)，连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
4. 估算 3× 8−1的值应在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
5. 下列说法中，正确的是( )
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6. 如图，每个图案都由若干个“⋅”组成，第①个图案中有5个“⋅”，第②个图案中有8个“⋅”，第③个图案中有11个“⋅”，…，按此规律排列，则第⑥个图案中“⋅”的个数为( )
A. 23 B. 20 C. 29 D. 17
7. 某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动(即两次打折数相同)，优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程( )
A. 500(1−2x)=320 B. 500(x10)2=320
C. 500(1−x10)2=320 D. 500(1−x)2=320
8. 一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=−bx在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE⊥AD于点E，F为线段AD上一点，若AC=6，BD=8，AF=49AE则线段CF的长度为( )
A. 235
B. 245
C. 5
D. 265
10. 算术平方根有如下运算： a2=a(a≥0)−a(a<0)，( a)2=a(a≥0).故化简： a2+( b)2可得a+b或−a+b两种不同结果.给出下列说法：
①化简： a2+ b2+( c)2，一共有4种不同的结果；
②化简： (x+1)2+( x−1)2+ (x−4)2+ (x−8)2，一共有4种不同的结果；
③若an= (2n−17)2，Sn=a1+a2+…+an(n为正整数)，则当Sn=640时，n=32．
以上说法中正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 16+( 5−1)0= ______ ．
12. 甲、乙两人比赛成绩如图，则______ 的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)．
13. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4，则阴影部分的面积= ______ ．
14. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴和y轴的交点分别为(−2,0)、(0,1)，求关于x的不等式kx+b<1的解集______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=6，矩形ABCD的面积为______ ．
16. 若关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解，且关于y的不等式组y−2≥2y−13−12(y−a)>0无解，则所有满足条件的整数a的值之和是______ ．
17. 如图，正方形ABCD的边长为10，点E在AD边上，DE=4，连接CE，将△CDE沿CE翻折得△CD′E，延长ED′交AB于点F，则D′F的长度为______ ．
18. 材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”.材料二：一个四位数N=abcd−满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd−均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”.若p=ac−−bd−，q=ad−−bc−，则记F(N)=q−p.若s，t都是“双巧数”，其中s=3010+100x+10y+z，t=1100m+400+10n+2r，(1≤x,n≤9,1≤y≤8,1≤z≤7,1≤m≤5,1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数)，规定K(s,t)=F(s)F(t).则F(1224)= ______ ；当F(s)+F(t)=12时，K(s,t)的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
计算：
(1)解方程：x2−2x−24=0；
(2)( 2+1)2+2 2( 2−1)；
(3)(2x+y)(2x−y)−2(x−y)2；
(4)(1−mm+2)÷m2−4m+4m2−4．
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，① ______
∴∠ABD=∠CDB
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD
∴② ______ ，∠DCH=12∠BCD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴③ ______
∴∠BAE=∠DCH
在△ABF和△CDG中∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH
∴.△ABF≌△CDG(ASA)
∴BF=DG
21. (本小题8.0分)
两江新区某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析.将学生竞赛
成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100，下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为在此次安全知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若八、九年级共有1500名学生参加安全知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有多少人？
22. (本小题8.0分)
今年春季是甲流病毒的高发期.为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81个人患了甲流．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了100盒口罩.已知售出的N95医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒N95医用口罩的单价为15元，每盒普通医用口罩的价格为10元，则售出N95医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
某旅游景点湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援，位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援，计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向，湖岸A与码头C相距1200米．
(1)求湖岸A与湖面B的距离；(结果用精确值.)
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，求在接到通知后，快艇需要多长时间能将该游客送上救援船？(接送游客上下船的时间忽略不计，结果精确到十分位，参考数据： 2=1.41，
3=1.73)
24. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点P从点A点出发，沿折线AB−BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，动点Q从C出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点D运动，两点同时出发，设运动时间为t，连接AC、AQ、CP，记△APC的面积为y1，△ACQ的面积为y2．
(1)请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1y2的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数y1的一条性质；
②直接写出当y1>y2时，t的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC=14，C(−6,0)，D(2,8)．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)如图2，点M为y轴上一动点，连接AM、DM，求AM+DM的最小值和此时点M的坐标；
(3)如图3，在(2)问的条件下，将直线l沿射线DC的方向平移，使得平移后的直线经过点M.若点E为直线CD上一动点，F为平移后新直线上一动点，使以点O、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点E的横坐标，并写出求解点E的横坐标的其中一种情况的过程．
26. (本小题10.0分)
四边形ABCD是菱形，∠A=60°，连接对角线BD，点E为CD上一点，点F为BC上点，满足CE=BF，连接BE、DF，交于点M．
(1)如图1，求∠DMB的度数．
(2)如图2，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连接CN，猜想线段DM，BN，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若∠EBC=15°，连接AM交BD于点Q，直接写出S△AQB：SBDE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、因为62+82≠122，所以不能组成直角三角形；
B、因为122+52≠142，所以不能组成直角三角形；
C、因为12+22≠32，所以不能组成直角三角形；
D、因为32+42=52，所以能组成直角三角形．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=40°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC=40°，
∵∠ACB=80°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解： 3× 8−1= 24−1，
∵16<24<25，
∴4< 24<5，
则3< 24−1<4，
即原式的值在3和4之间，
故选：A．
先将原式进行计算，然后进行估算即可．
本题考查无理数的估算和二次根式的运算，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握相关判定方法是解题的关键．
利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：第①个图案中“⋅”的个数是：5，
第②个图案中“⋅”的个数是：8=5+3×1，
第③个图案中“⋅”的个数是：11=5+3×2，
第④个图案中“⋅”的个数是：14=5+3×3，
……，
以此类推，第n个图案中“⋅”的个数是：5+3(n−1)=3n+2，
∴第⑥个图案中“⋅”的个数是：3×6+2=20．
故选：B．
首先归纳总结出第n个图案中“⋅”的个数是：5+3(n−1)=3n+2，根据这一规律即可求出第⑥个图案中“⋅”的个数．
本题是一道找探索数字变化规律的题目，解答此类题目时，首先要观察、分析、归纳总结出规律，然后根据总结出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得：500(x10)2=320．
故选：B．
利用经过两次打折后的价格=原价×(折扣数10)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、若a>0，b>0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=−bx经过二、四象限，
B、a>0，b<0，则y=ax+b经过一、三、四象限，y=−bx经过一、三象限，
C、若a<0，b>0，则y=ax+b经过一、二、四象限，y=−bx经过二、四象限，
D、若a<0，b<0，则y=ax+b经过二、三、四象限，y=−bx经过一、三象限，
故选：C．
根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线AC=6，BD=8
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
在Rt△AOD中，OA=3，OD=4，
由勾股定理得：AD= OA2+OD2=5，
∵CE⊥AD，
由菱形的面积公式得：S菱形ABCD=AD⋅CE=12AC⋅BD，
即：5⋅CE=12×6×8，
∴CE=4.8，
在Rt△ACE中，AC=6，CE=4.8，
由勾股定理得：AE= AC2−CE2=3.6，
∴AF=49AE=1.6，
∴EF=AE−AF=2，
在Rt△CEF中，CE=4.8，EF=2，
由勾股定理得：CF= CE2+EF2=265．
故选：D．
首先根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，于是可在Rt△AOD中求出AD=5，再由菱形的面积公式求出CE=4.8，在Rt△ACE中可求出AE=3.6，然后结合已知条件可分别求出AF=1.6，EF=2，最后在Rt△CEF中可求出CF的长．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握菱形的性质，灵活利用勾股定理进行计算，难点是利用菱形的面积公式求CE的长．
10.【答案】C
【解析】解：① a2+ b2+( c)2
=|a|+|b|+c，
当a≥0，b≥0时，原式=a+b+c；
当a≥0，b≤0时，原式=a−b+c；
当a≤0，b≥0时，原式=−a+b+c；
当a≤0，b≤0时，原式=−a−b+c；
∴一共有4种不同的结果；
故①符合题意；
②∵x−1≥0，
∴x≥1，
(x+1)2+( x−1)2+ (x−4)2+ (x−8)2
=x+1+x−1+|x−4|+|x−8|
=2x+|x−4|+|x−8|，
当x≥8时，原式=2x+x−4+x−8=4x−12；
当4≤x≤8时，原式=2x+x−4+8−x=2x+4；
当1≤x≤4时，原式=2x+4−x+8−x=12；
∴一共有3种不同的结果；
故②不符合题意；
③an= (2n−17)2=|2n−17|，
当1≤n≤8时，an=17−2n，
当n≥9时，an=2n−17，
∴Sn=a1+a2+…+an
=15+13+11+9+7+5+3+1+3+5+7+…+2n−17
=64+(n−8)2
=n2−16n+128，
当Sn=640时，n2−16n+128=640，
解得n=32或n=−16(舍)，
故③符合题意；
故选：C．
①由原式=|a|+|b|+c，结合绝对值的性质分类计算即可；
②由原式=2x+|x−4|+|x−8|，再根据绝对值的性质分类化简计算即可；
③根据题意可到Sn=n2−16n+128，当Sn=640时，求出n的值即可．
本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解： 16+( 5−1)0
=4+1
=5．
故答案为：5．
先根据算术平方根求出 16，再根据零指数幂计算( 5−1)0，最后根据有理数加法计算．
本题主要考查了实数的运算、算术平方根的知识、零指数幂的知识，难度不大．
12.【答案】乙
【解析】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则两人中成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】24
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=1212AB×BD−1212BC×AC=30−6=24．
故答案为：24．
14.【答案】x<0
【解析】解：由图象得：不等式kx+b<1的解集为：x<0，
故答案为：x<0．
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
15.【答案】36 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，∠ACB=30°，
∴BC= 3AB=6 3，
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=6×6 3=36 3．
故答案为：36 3．
由等边三角形的性质得∠OAB=60°，OA=AB=6，则AC=2OA=12，∠ACB=30°，由含30°角的直角三角形的性质得BC= 3AB=6 3，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】12．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解，
∴Δ=22−4(a−2)×(−3)≥0且a−2≠0，
解得a≥53且a≠2．
解不等式y−2≥2y−13，得y≥5，
解不等式−12(y−a)>0，得y
∴a≤5，
∴53≤a≤5且a≠2．
∵a为整数，
∴a=3，4，5，
∴3+4+5=12．
故答案为：12．
根据关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−3=0有解确定a的范围，解不等式组，根据不等式组无解进一步确定a的范围，求出整数a的值，进而求解即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法，掌握一元二次方程的定义、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
17.【答案】307
【解析】解：连接CF，设D′F=x，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为10，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=CD=BC=AD=10，
∵DE=4，
∴AE=AD−DE=6，
由翻折的性质得：D′E=DE=4，CD=CD′=10，∠ED′C=∠D=90°，
∴EF=D′E+D′F=4+x，∠CD′F=90°，CB=CD′，
在Rt△CBF和Rt△CD′F中，
CB=CD′CF=CF，
∴Rt△CBF≌Rt△CD′F(HL)，
∴BF=D′F=x，
∴AF=AB−BF=10−x，
在Rt△AEF中，AF=10−x，AE=6，EF=4+x，
由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，
即：(10−x)2+62=(x+4)2，
解得：x=307，
∴D′F=307，
故答案为：307．
连接CF，设D′F=x，由正方形及翻折的性质得EF=4+x，∠CD′F=90°，CB=CD′，然后依据“HL”判定Rt△CBF和Rt△CD′F全等得BF=D′F=x，进而得AF=10−x，最后在Rt△AEF中由勾股定理即可求出x．
此题主要考查了正方形的性质，图形的翻折及其性质，直角三角形全等的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的翻折及性质，难点是根据“HL”判定Rt△CBF和Rt△CD′F全等，以及利用勾股定理构造方程求解．
18.【答案】4 12
【解析】解：当N=1224时，p=12−24=−12，q=14−22=−8，则F(N)=q−p=−8−(−12)=4，故填4；
由题意得：s=3x(1+y)z−，t=m(m+4)n(2r)−；
∴p(s)=3(1+y)−−xz−=31+y−10x−z，q(s)=3z−−x(1+y)−=30+z−10x−1−y；
p(t)=mn−−(m+4)(2r)−=n−40−2r，q(t)=m(2r)−−(m+4)n−=2r−n−40；
∴F(s)=q(s)−p(s)=29+z−10x−y−31−y+10x+z=−2y+2z−2
F(t)=q(t)−p(t)=2r−n−40−n+40+2r=4r−2n；
∵F(s)+F(t)=12，
∴−2y+2z−2+4x−2n=12，即−2y−2z−2+4r−2n=14；
∵s，t都是“双巧数”，
∴3x−=4(3+x)(1+y)z−=4(1+y+z)m(m+4)−=4(m+m+4)n(2r)−=4(n+2r)即：x=62y−z=−2m−4n=r；
∴x=6y=1z=4m=4n=4r=4或x=6y=2z=6m=4n=3r=3，即N=3624S=4848，N=3636S=4836；
当N=3624，S=4848时，
F(s)=4，F(t)=8，
∴K(s,t)=F(s)F(t)=48=12；
当N=3636，S=4836时，
∴F(s)=6，F(t)=6，
∴K(s,t)=F(s)F(t)=66=1；
∴K(s,t)的最大值为1．
故K(s,t)的最大值为1．
根据巧数概念进行判断；由题意得：分别求出p(s)、q(s)、p(t)、q(t)；再表示出F(s)、F(t)；已知F(s)+F(t)=12，列方程−2y+2z−2+4x−2n=12，即−2y−2z−2+4r−2n=14；s，t都是“双巧数”，列式3x−=4(3+x)(1+y)z−=4(1+y+z)m(m+4)−=4(m+m+4)n(2r)−=4(n+2r)即：x=62y−z=−2m−4n=r，求出对应字母的值，计算出F(s)、F(t)的值，从而求出K(s,t)的最大值．
本题考查了数的整除性，根据各数之间的关系，求出待定字母，是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−2x−24=0，
(x−6)(x+4)=0，
x−6=0或x+4=0，
解得x1=6，x2=−4；
(2)( 2+1)2+2 2( 2−1)
=2+2 2+1+4−2 2
=7；
(3)(2x+y)(2x−y)−2(x−y)2
=4x2−y2−2(x2−2xy+y2)
=4x2−y2−2x2+4xy−y2
=2x2−2y2+4xy；
(4)(1−mm+2)÷m2−4m+4m2−4
=m+2−mm+2⋅m2−4m2−4m+4
=2m+2⋅(m+2)(m−2)(m−2)2
=2m−2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)利用完全平方公式以及二次根式的性质计算即可；
(3)利用完全平方公式以及平方差公式化简即可；
(4)根据分式混合运算顺序，先把括号部分通分，再根据分式的乘除法法则计算即可．
本题考查了解一元二次方程，整式的混合运算，实数的运算以及分式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】AB//CD ∠BAF=12∠BAD ∠BAD=∠DCB
【解析】(1)解：如图，CH即为∠BCD的角平分线；
(2)证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDBAB=CD∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDG(ASA)，
∴BF=DG．
故答案为：①AB//CD，
②∠BAF=12∠BAD，
③∠BAD=∠DCB，
④AB=CD．
(1)根据角平分线的作法即可解决问题；
(2)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可完成填空．
本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21.【答案】87.5 88 40
【解析】解：(1)九年级A、B组的频数和为20×(10%+15%)=5，
所以将九年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，
则其中位数a=87+882=87.5，
根据八年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b=88，
∵九年级D组的频数为20−5−7=8，
∴m%=8÷20×100%=40%，
∴m=40；
故答案为：87.5，88，40；
(2)九年级的成绩更好，理由如下：
八、九年级的平均数相同，但九年级成绩的中位数和众数都比八年级的大，所以九年级的更好；
(3)1500×6+840=525(人)，
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有525人．
(1)根据中位数，众数定义可得a，b的值，由九年级C组的频数除以20求出C的百分比，即可得m的值；
(2)根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可；
(3)用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键．
22.【答案】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这个人在第一轮中传染了x个人，第一轮后共有(x+1)个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有[x+1+x(x+1)]个人患了流感．
列方程x+1+x(x+1)=81，
解得x1=8，x2=−10．
经检验，x=8符合题意．
答：平均一个人传染了8个人；
(2)设售出的N95医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是(100−a)盒，
根据题意得，a≤4(100−a)，
解得a≤80；
设总销售额为y元，
根据题意得，y=15a+10(100−a)=5a+1000，
∵5>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=80时，y的最大值为1400元，
答：总销售额最多为1400元．
【解析】(1)设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；
(2)设售出的N95医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是(100−a)盒，根据题意得列不等式得到a≤80；设总销售额为y元，根据题意得到y=15a+10(100−a)=5a+1000，根据一次函数的性质得到结论．
本题主要考查一元一次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式．
23.【答案】解：(1)过A作AD⊥CB交CB的延长线于D，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，AC=1200米，∠C=30°，
∴AD=12AC=600米，
在Rt△ABD中，
∵∠NAB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=ADcos30∘=600÷ 324300 3(米)，
答：湖岸A与湖面B的距离为400 3米；
(2)∵∠ACB=∠CAN=30°，∠NAB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AB=300 3米，
设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，
∴150x+(250x−300 3)=1200，
∴x≈4.3，
答：快艇需要4.3分钟能将该游客送上救援船．
【解析】(1)过A作AD⊥CB交CB的延长线于D，解直角三角形即可得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠BAC=30°，求得BC=AB=300 3米，设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
24.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
(1)针对于△ACP：
当点P在边AB上(包括点B)时，即0
∴y1=S△ACP=12AP⋅BC=12t×4=2t；
当点P在边BC上时，即4
∴y1=S△ACP=12CP⋅AB=12(8−t)×4=16−2t，
即y1=2t(0
由运动知，CQ=0.5t，
∴y2=S△ACQ=12CQ⋅AD=12×12t×4=t(0
①Ⅰ、当0
②由图象知，令t=164−2t，
∴t=163，
∴当0
即当y1>y2时，t的取值范围为0
(2)利用画函数图象的方法直接画出图象；
①根据图象写出一条性质即可；
②根据图象先求出t=16−2t的解，即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AC=14，C(−6,0)，
根据图象可知，A(8,0)，
将A(8,0)，D(2,8)代入y=kx+b，
得8k+b=02k+b=8，
解得k=−43b=323，
∴直线l函数表达式：y=−43x+323；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接A′D与y轴的交点即为M，
∴AM=A′M，
∴此时AM+DM的最小值为A′M+DM=A′D，
∵A(8,0)，
∴A′(−8,0)，
∵D(2,8)，
∴A′D= (2+8)2+82=2 41，
∴AM+DM的最小值为2 41，
设直线A′D的解析式为：y=k′x+b′，
代入A′(−8,0)，D(2,8)，
得−8k′+b′=02k′+b′=8，解得k′=45b′=325，
∴直线A′D的解析式：y=45x+325，
∴点M的坐标为(0,325)；
(3)设直线CD的解析式为：y=sx+t，
代入C(−6,0)，D(2,8)，
得−6s+t=02s+t=8，解得s=1t=6，
∴直线CD的解析式：y=x+6，
∵直线l：y=−43x+323；沿射线DC的方向平移，使得平移后的直线经过点M(0,325).
∴平移后的直线为y=−43x+325，
设E点坐标为(n,n+6)，F点坐标为(m,−43m+325)，
∵O(0,0)，D(2,8)，
当OD为对角线时，m+n=0+2n+6−43m+325=0+8，
解得m=9635n=−2635，
∴点E的横坐标为−2635；
当OE为对角线时，0+n=m+20+n+6=8−43m+325，
解得m=9635n=16635，
∴点E的横坐标为16635；
当OF为对角线时，m+0=n+28+n+6=0−43m+325，
解得m=−125n=−225，
∴点E的横坐标为−225；
综上，所有符合条件的点E的横坐标为−2635或16635或−225．
【解析】(1)利用待定系数法求解析式即可；
(2)先作点A关于y轴的对称点A′，然后连接A′D与y轴的交点即为M，求解即可；
(3)求出直线CD的解析式，设E点坐标为(n,n+6)，F点坐标为(m,−43m+325)，利用中点坐标公式求出E点坐标即可．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称求最小值，平行四边形的性质、图形的平移等，灵活运用一次函数的性质，平行四边形的性质以及平移的性质是解决本题的关键，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠C=∠DBF=60°，CB=BD，
在△CBE和△BDF中，
CB=BD∠C=∠DBFCE=BF，
∴△CBE≌△BDF(SAS)，
∴∠CBE=∠BDF
∴∠DME=∠BDF+∠DBE=∠CBE+∠DBE=∠DBC=60°，
∴∠DMB=180°−∠DME=120°，
∴∠DMB的度数是120°．
(2)BM+BN=CN，
证明：如图2，延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，
∵∠DME=60°，
∴△DMG是等边三角形，
∴DG=DM，∠MDG=∠BDC=∠DGM=60°，
∴∠CDG=∠BDM=60°−∠CDF，
在△CDG和△BDM中，
DG=DM∠CDG=∠BDMCD=BD，
∴△CDG≌△BDM(SAS)，
∴CG=BM，∠DGC=∠DMB=120°，
∴∠BGC=120°−∠DGM=60°，
∵将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，
∴BN=BM，∠MBN=120°，
∴CG=BN，∠BGC+∠MBN=180°，
∴CG//BN，
∴四边形BGCN是平行四边形，
∴BG=CN，
∵DM+BN=GM+BM=BG，
∴DM+BN=CN．
(3)如图3，延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，
由(2)得△CDG≌△BDM，∠BGC=60°，
∴∠DCG=∠DBM，
∵∠BCD=∠ABD=60°，
∴∠DCG+∠BCD=∠DBM+∠ABD，
∴∠BCG=∠ABM，
在△BCG和△ABM中，
BC=AB∠BCG=∠ABMCG=BM，
∴△BCG≌△ABM(SAS)，
∴∠CBG=∠BAM，
∵∠DBC=∠DAB=60°，
∴∠DBC−∠CBG=∠DAB=∠BAM，
∴∠DBE=∠DAQ，
在△BDE和△ADQ中，
∠BDE=∠ADQBD=AD∠DBE=∠DAQ，
∴△BDE≌△ADQ(ASA)，
∴S△BDE=S△ADQ，
作QP⊥DB交AB于点P，则∠PQB=90°，
∴∠BPQ=30°，
∵∠QAB=∠EBC=15°，
∴∠PQA=∠BPQ−∠QAB=30°−15°=15°=∠QAB，
∴PA=PQ，
设BQ=m，则PB=2BQ=2m，
∴PA=PQ= PB2−BQ2= (2m)2−m2= 3m，
∴DB=AB=PB+PA=2m+ 3m，
∴DQ=DB−BQ=2m+ 3m−m= 3m+m，
∴S△AQBS△ADQ=BQDQ=m 3m+m= 3−12，
∴S△AQBS△BDE= 3−12，
∴S△AQB：S△BDE的值是 3−12．
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，∠A=60°，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，则△ABD和△CBD都是等边三角形，所以∠C=∠DBF=60°，CB=BD，即可证明△CBE≌△BDF，得∠CBE=∠BDF，可推导出∠DME=∠DBC=60°，则∠DMB=180°−∠DME=120°；
(2)延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，则△DMG是等边三角形，可证明△CDG≌△BDM，得CG=BM，∠DGC=∠DMB=120°，则∠BGC=60°，由旋转得BN=BM，∠MBN=120°，则CG=BN，∠BGC+∠MBN=180°，所以CG//BN，则四边形BGCN是平行四边形，所以DM+BN=GM+BM=BG=CN；
(3)延长BM到点G，使GM=DM，连接CG，先证明△BCG≌△ABM，得∠CBG=∠BAM，可推导出∠DBE=∠DAQ，再证明△BDE≌△ADQ，则S△BDE=S△ADQ，作QP⊥DB交AB于点P，则∠BPQ=30°，∠PQA=∠BPQ−∠QAB=15°=∠QAB，设BQ=m，则PB=2m，所以PA=PQ= 3m，则DB=AB=2m+ 3m，DQ= 3m+m，即可求得S△AQBS△BDE=S△AQBS△ADQ=BQDQ= 3−12．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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