数学七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计

利用一元一次方程解配套问题与工程问题

【知识与技能】

会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，并进一步熟练掌握一元一次方程的解法.

【过程与方法】

培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增强学生的学习兴趣.

【教学重点】

从实际问题中抽象出数学模型.

【教学难点】

根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题.

一、情境导入,初步认识

在前两节中，我们着重探讨了解一元一次方程的概念和几种方法，这几种解法包括合并同类项与移项、去括号与去分母等.这几个课时我们着重探讨如何用一元一次方程解决实际问题，我们先来看两个问题：

问题1 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？

思考：①若安排x名工人加工大齿轮，则有___名工人加工小齿轮.

②x名工人每天可加工_____个大齿轮，加工小齿轮的工人每天可加工____个小齿轮.

③按题中的配套方法，你是否可找出其中的等量关系呢？

问题2一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，那么两人合作多少小时完成？

思考：①两人合作32小时完成对吗？为什么？

②甲每小时完成全部工作的______；

乙每小时完成全部工作的_______；

甲x小时完成全部工作的_______；

乙x小时完成全部工作的_______.

【教学说明】提出这个问题，旨在让学生能快速进入课堂，进行思考.教师可根据上面所列思考题引导学生进行思考，问题1是配套问题，教师最终要引导学生找出等量关系：生产的大齿轮数量的3倍与小齿轮数量的2倍相等.题①、②依次填：（85-x)、16x、10(85-x).依次我们可列得方程为3×16x=2×\[10×(85-x)\].

问题2提出了一个新问题：如何解决与工作量相关的应用题，这类题求解时一般都需要去分母.所以这类题可看作是与去分母解方程有关的实际问题.解决这类问题需要知道“工作量=人均效率×人数×时间”这一基本数量关系式，该题中第①问是不对的，第②问依次应填120，112，x20，x12,教师教学时可让学生稍作思考后作答.

二、思考探究，获取新知

探究1教材第100页例1 .

【分析】（1）每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个表示什么意思？

（2）刚好配套，说明螺钉和螺母个数一样多吗？

（3）为了使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量恰好为螺钉数量的_______.

解：设分配x名工人生产螺钉，则有人生产螺母，一天共生产螺钉个，螺母_______个.

问题：你能列出方程吗？

【教学说明】众所周知，理解题意是学好数学的前提,本例通过分析使学生深入理解题意,便于学生找出相等关系.通过多媒体或实物演示,有效分解教学难点,从而更有效地突破教学难点.此外，前面栏目中的问题也有利于解答本题.

教师组织并引导学生通过具体的生活实例或实物演示使学生深入理解螺钉的数量是螺母数量的二分之一，螺母数量是螺钉数量的二倍，引导学生找出相等关系列方程.教师重点关注学生能否理解“刚好配套”，关注学生能否理解在配套的情况下相等关系应为：螺钉的数量×2=螺母的数量；而不是：螺母的数量×2=螺钉的数量.

试一试  教材第101页练习第1题.

探究2 教材第100~101页例2 .

【分析】这里可以把总工作量看作1.请填空：

人均效率（一个人1h完成的工作量）为.

由x人先做4h，完成的工作量为.再增加2人和前一部分人一起做8h，完成的工作量为_____.

这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为.

【教学说明】前面问题1 和问题2为本题作了铺垫，所以学生比较好理解.教学时，教师引导学生完成“分析”中的空，上面的空依次应填：1/40，4x/40,

8(x+2)/40,4x/40+8(x+2)/40,填完空后，教师让学生上台板演此题.随后师生一起运用一元一次方程解决问题的基本思路，具体可参见教材第101页的相关表述.

试一试 教材第101页练习第2题.

三、典例精析，掌握新知

例1 用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身16个或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？

【分析】这是一个“配套”问题，我们可以运用上一栏目中的“配套”问题的解题思路来分析.本题需要找出等量关系：做盒身的白铁皮张数+做盒底的白铁皮张数=100；用白铁皮做盒身的总个数×2=用白铁皮做盒底的总个数.

解：设用x张制盒身，则用(100-x）张制盒底.

根据题意列方程，得2×16x=48×（100-x）.

去括号，得32x=4800-48x.

移项及合并同类项，得80x=4800.

系数化为1，得x=60.

制盒底的铁皮数：100-60=40.

答：用60张制盒身，40张制盒底.

例2 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时，现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

【分析】本题中含有一些基本等量关系：工作总量=工作时间×工作效率.一般把工作总量看作总体“1”.

解：设先安排整理的人员为x人，根据题意得

解此方程，得x=10.

答：先安排整理的人员有10人.

例3一项工程，由甲单独做需30天，由乙单独做需50天，现由甲、乙共同完成这项工程且施工期间乙要休息14天，那么完成这项工程需要几天？

【分析】把全部工作量看成1，则甲的效率为1/30，乙的效率为1/50.若设这项工程需要x天完成，则甲的工作量为1/30x，乙的工作量为1/50(x-14)，由此列出方程.

解：设这项工程需要x天完成.

由题意，得1/30x+1/50(x-14)=1.

去分母，得5x+3(x-14)=150.

去括号，得5x+3x-42=150.

移项、合并同类项，得8x=192.

系数化为1，得x=24.

答：完成这项工程需要24天.

四、运用新知，深化理解

1.某车间90名工人生产凳子面和凳子腿，每人每天平均生产凳子面10个或凳子腿50个，一个凳子面要配四个凳子腿.为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产凳子面，多少名工人生产凳子腿？

2.一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成.现由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？

3.有甲、乙、丙三个水管，单独开放甲管5h可注满一池水；甲、乙两管齐放，2h可注满一池水；甲、丙两管齐开放，3h可注满一池水.现把三管一齐开放，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2h水池注满，问三管齐开放了多少小时水？

【教学说明】上面前两道题分别是与本课时所学应用题相对应的，第1题为配套问题，可设应分配x名工人生产凳子面，(90-x)名工人生产凳子腿，由题意分析可知其中的相等关系为：x名工人一天生产凳子面的4倍=(90-x)名工人生产凳子腿的数量，教师应让学生通过思考找出这个等量关系.第2题为工作量问题，教师应注意让学生找到本题关键点：由乙单独完成需要几小时.在对这两题进行分析后，教师可让学生上台板演.第3题综合性强，题较难，教师应给予充分的提示，此题是一个工程问题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.各个工作量之和=总工作量.将注满一池水的工作量设为1，设三管齐开放了xh，可列表如下：

如若教师在进行上面的提示之后，学生仍无法动手，教师可与学生进行互动，不必要求学生上台板演.

【答案】1.解：设应分配x名工人生产凳子面，(90-x)名工人生产凳子腿.依题意可列方程，得：

4×10x=(90-x)×50

去括号，得40x=4500-50x

移项，得40x+50x=4500

合并同类项，得90x=4500

系数化为1，得x=50

所以90-x=40

答：应分配50名工人生产凳子面，40名工人生产凳子腿.

2.解：设还需x小时完成，依题意列方程得：

去分母，得35+2x=60

移项及合并同类项，得2x=25

系数化为1，得x=12.5

答：还需12.5小时完成.

3.设三管齐开放注水xh，根据题意得

去分母，得6x+9x+18+4x+8=30.

移项，得6x+9x+4x=30-8-18.

合并同类项，得19x=4.

系数化为1，得x=4/19.

答：三管齐开放了4/19h水.

五、师生互动，课堂小结

通过以下问题引导学生反思小结：

1.通过这节课的学习，你有什么收获？

2.在解决应用问题方面你获得了哪些经验？这些问题中的相等关系有什么特点？

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

本课时的内容主要是结合前面所学内容解决实际问题，所以教学时教师应给予学生充分的独立思考空间，注重与学生进行互动.引导学生应注意找出等量关系，因为这是列方程解应用题的关键所在.此外，考虑到这是第1课时，所以教学时应注意让学生总结解决实际问题的步骤，让学生养成规范化解题和答题的习惯.