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2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）已知a＝（﹣0.2）0，b＝﹣2﹣1，c＝（﹣）﹣2，比较a，b，c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
3．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
4．（3分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或者3
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．100° C．110° D．90°
6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
8．（3分）已知小林的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程：小林从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小林离家的距离，依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小林家2.5 km
B．小林在文具店买笔停留了20min
C．小林从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D．小林从文具店回家的平均速度是60 m/min
9．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的坐标为（4，a），将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（k＞0）于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是．给出以下结论：（1）k＝8；（2）点B的坐标是（﹣4，﹣2）；（3）S△ABC＜S△ABF；（4）m＝．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
12．（3分）在函数的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（3分）要使关于x的分式方程解为正数，且使关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边BC上（E不与B，C重合），连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B'处，当△CEB′为直角三角形时，则△CEB′的周长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
17．（9分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示．
根据图中信息，整理分析数据：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
a
b
请你结合图表中所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）填空：（填“A校”或“B校”）
①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 ；
（3）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
19．（9分）甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
20．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
21．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
22．（10分）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）n的值为 ；点（，﹣） 该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 ．
23．（11分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．
2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；
②1﹣＝0，
去分母得：x+2﹣4＝0，
x＝2，
经检验：x＝2是方程1﹣＝0的根，
所以②正确；
③方程＝的最简公分母为2x（x﹣2），
所以③不正确；
④x+＝1+是分式方程，所以④正确；
所以①③不正确，②④正确．
故选：B．
2．（3分）已知a＝（﹣0.2）0，b＝﹣2﹣1，c＝（﹣）﹣2，比较a，b，c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝（﹣0.2）0＝1，b＝﹣2﹣1＝﹣，c＝（﹣）﹣2＝4，
∴b＜a＜c．
故选：D．
3．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
4．（3分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或者3
【分析】根据一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，可以计算出x的值，然后将这组数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，
∴[1+0+3+（﹣1）+x+2+3]÷7＝1，
解得x＝﹣1，
∴这组数据按照从小到大排列是：﹣1，﹣1，0，1，2，3，3，
∴这组数据的中位数是1，
故选：B．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．100° C．110° D．90°
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，再根据三角形外角定义即可得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
8．（3分）已知小林的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程：小林从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小林离家的距离，依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小林家2.5 km
B．小林在文具店买笔停留了20min
C．小林从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D．小林从文具店回家的平均速度是60 m/min
【分析】因为小林从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离小林家的距离；
观察函数图象的横坐标，可得小林在文具店停留的时间；
根据“速度＝路程÷时间”即可得出小林从体育场出发到文具店的平均速度；
先求出从文具店到家的时间，再根据根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可．
【解答】解：由图象可知：
体育场离小林家2.5 km，故选项A不合题意；
小林在文具店买笔停留的时间为：65﹣45＝20（min），故选项B不合题意；
小林从体育场出发到文具店的平均速度是：（2﹣5﹣1.5）×1000÷（45﹣30）＝（m/min），故选项C符合题意；
小林从文具店回家的平均速度是1500÷（90﹣65）＝60（m/min），故选项D不合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接EF．证明四边形EGFH是平行四边形，求出△OEG的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AC＝4AG＝4CH，
∴AG＝OG＝OH＝CH，
∴△EAG≌△FCH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝∠FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH与EF互相平分，
∴EF经过点O，
∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，
又∵AG＝OG，
∴S△EOG＝S△AEO＝1，
∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的坐标为（4，a），将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（k＞0）于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是．给出以下结论：（1）k＝8；（2）点B的坐标是（﹣4，﹣2）；（3）S△ABC＜S△ABF；（4）m＝．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）把A（4，a）代入y＝x求得A为（4，2），然后代入y＝求得k＝8；
（2）联立方程，解方程组即可求得B（﹣4，﹣2）；
（3）根据同底等高的三角形相等，得出S△ABC＝S△ABF；
（4）根据S△ABF＝S△AOF+S△BOF列出m×4+m×4＝，解得m＝．
【解答】解：（1）∵直线y＝x经过点A（4，a），
∴a＝＝2，
∴A（4，2），
∵点A（4，2）在双曲线y＝上，
∴k＝4×2＝8，故正确；
（2）解得或，
∴点B的坐标是（﹣4，﹣2），故正确；
（3）∵将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（＞0）于点C，交y轴于点F，
∴FC∥AB，
∵△ABC和△ABF是同底等高，
∴S△ABC＝S△ABF，故错误；
（4）∵S△ABF＝S△ABC＝，
∴S△ABF＝S△AOF+S△BOF＝m×4+m×4＝，
解得m＝，故正确；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得：a+1＝2（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）在函数的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣4＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣2＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣2，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣2＞﹣3＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴点（1，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE＝2，BE＝2，
∴AB＝2，
S菱形ABCD＝底×高＝2×2＝4，
故答案为4．
14．（3分）要使关于x的分式方程解为正数，且使关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是 ﹣5＜a＜2且a≠﹣4 ．
【分析】根据题意，可以求得符合要求的a的取值，从而可以解答本题．
【解答】解：由分式方程，得x＝，
∵关于x的分式方程解为正数，
∴＞0，且≠4，
∴a＜2且a≠﹣4，
又∵关于x的一次函数y＝（a+5）x+3不经过第四象限，
∴a+5＞0，
∴a＞﹣5，
∴a的取值范围是﹣5＜a＜2且a≠﹣4，
故答案为：﹣5＜a＜2且a≠﹣4．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边BC上（E不与B，C重合），连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B'处，当△CEB′为直角三角形时，则△CEB′的周长为 12或8+2 ．
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB＝AB'＝6，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，分∠CEB'＝90°，∠EB'C＝90°两种情况讨论，由勾股定理可求B'C的长，即可求△CEB′的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°
∵折叠
∴AB＝AB'＝6，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°
若∠CEB'＝90°，且∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABEB'是矩形，且AB＝AB'＝6
∴四边形ABEB'是正方形，
∴BE＝B'E＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝2
∴B'C＝＝2
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+2，
若∠EB'C＝90°，且∠AB'E＝90°
∴∠AB'E+∠EB'C＝180°
∴点A，点B'，点C三点共线，
在Rt△ABC中，AC＝＝10，
∴B'C＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+4＝12
故答案为：12或8+2
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝3．
17．（9分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示．
根据图中信息，整理分析数据：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
a
b
请你结合图表中所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 80 ；b＝ 100 ；
（2）填空：（填“A校”或“B校”）
①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 A校 ；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 B校 ；
（3）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据条形图将B校数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）从表中数据，利用平均数和中位数和众数的意义可得出答案，
（3）计算出A、B两校成绩的方差，根据方差的意义可得答案．
【解答】解：（1）将B校5名选手的成绩重新排列为：70、75、80、100、100，
所以其中位数a＝80、众数b＝100，
故答案为：80，100；
（2）①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是A校；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是B校；
故答案为：A校，B校；
（3）SA2＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
SB2＝×[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（100﹣85）2]＝160，
∴SA2＜SB2．
∴A校派出的代表队选手成绩较为稳定．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝CD，再由BE＝AB，得BE＝CD，BE∥CD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝40°，再由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
19．（9分）甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
【分析】（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用总工程费用＝每天所需工程费用×工作时间，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝24．
答：甲工程队单独完成这个项目需要12天，乙工程队单独完成这个项目需要24天．
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，
依题意得：+＝1，
解得：y＝9，
∴7×5+3×（5+9）＝77（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为77万元．
20．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
21．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OA＝OC＝OD＝OB，根据平行线的性质得出∠FDE＝∠COE，根据全等三角形的判定推出△FED≌△CEO，根据全等三角形的性质得出DF＝OC，求出AO＝DF，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出△DOC是等边三角形，求出OC＝DC＝2，求出AF＝OD＝AO＝2，求出AC，求出∠AFC＝90°，根据勾股定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，
∴∠FDE＝∠COE，
∵点E是OD的中点，
∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，
，
∴△FED≌△CEO（ASA），
∴DF＝OC，
∵OA＝OC，
∴DF＝AO，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，
∴四边形AODF是菱形；
（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵AB＝CD＝2，
∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四边形AODF是菱形，
∴AF＝OD＝2，
∵E为OD中点，
∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，
∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
22．（10分）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 y＝|x﹣2|﹣3 ，自变量x的取值范围为 x是任意实数； ；
（2）n的值为 ﹣3 ；点（，﹣） 不在 该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： 函数有最小值﹣3 ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 ﹣2＜x＜4 ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，根据表格数据即可求得自变量的取值范围；
（2）把x＝2代入解析式，即可求得n的值，把x＝代入解析式求得函数值，即可判断点（，﹣）是否在该函数图象上；
（3）描点、连线，画出函数图象即可；
（4）根据图像即可求得．
【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1）代入y＝a|x﹣2|+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝|x﹣2|﹣3，自变量x的取值范围为x是任意实数；
故答案为y＝|x﹣2|﹣3，x是任意实数；
（2）把x＝2代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣3，
∴n＝﹣3；
把x＝代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣≠﹣，
∴点（，﹣） 不在该函数图象上；
故答案为﹣3，不在；
（3）画出函数图象如图：
（4）结合函数的图象，
①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣3；
故答案为函数有最小值﹣3；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象可知，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
23．（11分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（a，a+1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【解答】解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（﹣1，﹣2），
∴OE＝1，DE＝2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入直线y＝mx+1，
得：﹣m+1＝2，
解得：m＝﹣1，
将A（﹣1，2）代入反比例函数y＝，
得：2＝，
解得：k＝﹣2；
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵当x＝﹣1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
∴x的取值范围为：x＞0或x＜﹣1；
（3）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD＝OC•AD＝4，
∵S△OAP＝S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（m，﹣m+1），AB与y轴相交于点F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF＝×1×1＝，
当P在A的左侧时，S△OAP＝S△OFP﹣S△OAF＝（﹣m）•OF﹣＝﹣m﹣，
∴﹣m﹣＝2，
∴m＝﹣5，﹣m+1＝5+1＝6，
∴P（﹣5，6），
当P在A的右侧时，S△OAP＝S△OFP+S△OAF＝m•OF+＝m+，
∴m+＝2，
∴m＝3，﹣m+1＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，6）或（3，﹣2）．
2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）已知a＝（﹣0.2）0，b＝﹣2﹣1，c＝（﹣）﹣2，比较a，b，c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
3．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
4．（3分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或者3
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．100° C．110° D．90°
6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
8．（3分）已知小林的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程：小林从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小林离家的距离，依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小林家2.5 km
B．小林在文具店买笔停留了20min
C．小林从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D．小林从文具店回家的平均速度是60 m/min
9．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的坐标为（4，a），将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（k＞0）于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是．给出以下结论：（1）k＝8；（2）点B的坐标是（﹣4，﹣2）；（3）S△ABC＜S△ABF；（4）m＝．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
12．（3分）在函数的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（3分）要使关于x的分式方程解为正数，且使关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边BC上（E不与B，C重合），连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B'处，当△CEB′为直角三角形时，则△CEB′的周长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
17．（9分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示．
根据图中信息，整理分析数据：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
a
b
请你结合图表中所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）填空：（填“A校”或“B校”）
①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 ；
（3）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
19．（9分）甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
20．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
21．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
22．（10分）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）n的值为 ；点（，﹣） 该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 ．
23．（11分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．
2020-2021学年河南省周口市商水县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；
②1﹣＝0，
去分母得：x+2﹣4＝0，
x＝2，
经检验：x＝2是方程1﹣＝0的根，
所以②正确；
③方程＝的最简公分母为2x（x﹣2），
所以③不正确；
④x+＝1+是分式方程，所以④正确；
所以①③不正确，②④正确．
故选：B．
2．（3分）已知a＝（﹣0.2）0，b＝﹣2﹣1，c＝（﹣）﹣2，比较a，b，c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝（﹣0.2）0＝1，b＝﹣2﹣1＝﹣，c＝（﹣）﹣2＝4，
∴b＜a＜c．
故选：D．
3．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
4．（3分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或者3
【分析】根据一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，可以计算出x的值，然后将这组数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，
∴[1+0+3+（﹣1）+x+2+3]÷7＝1，
解得x＝﹣1，
∴这组数据按照从小到大排列是：﹣1，﹣1，0，1，2，3，3，
∴这组数据的中位数是1，
故选：B．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．100° C．110° D．90°
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，再根据三角形外角定义即可得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
8．（3分）已知小林的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程：小林从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小林离家的距离，依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离小林家2.5 km
B．小林在文具店买笔停留了20min
C．小林从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D．小林从文具店回家的平均速度是60 m/min
【分析】因为小林从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离小林家的距离；
观察函数图象的横坐标，可得小林在文具店停留的时间；
根据“速度＝路程÷时间”即可得出小林从体育场出发到文具店的平均速度；
先求出从文具店到家的时间，再根据根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可．
【解答】解：由图象可知：
体育场离小林家2.5 km，故选项A不合题意；
小林在文具店买笔停留的时间为：65﹣45＝20（min），故选项B不合题意；
小林从体育场出发到文具店的平均速度是：（2﹣5﹣1.5）×1000÷（45﹣30）＝（m/min），故选项C符合题意；
小林从文具店回家的平均速度是1500÷（90﹣65）＝60（m/min），故选项D不合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接EF．证明四边形EGFH是平行四边形，求出△OEG的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AC＝4AG＝4CH，
∴AG＝OG＝OH＝CH，
∴△EAG≌△FCH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝∠FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH与EF互相平分，
∴EF经过点O，
∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，
又∵AG＝OG，
∴S△EOG＝S△AEO＝1，
∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的坐标为（4，a），将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（k＞0）于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是．给出以下结论：（1）k＝8；（2）点B的坐标是（﹣4，﹣2）；（3）S△ABC＜S△ABF；（4）m＝．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）把A（4，a）代入y＝x求得A为（4，2），然后代入y＝求得k＝8；
（2）联立方程，解方程组即可求得B（﹣4，﹣2）；
（3）根据同底等高的三角形相等，得出S△ABC＝S△ABF；
（4）根据S△ABF＝S△AOF+S△BOF列出m×4+m×4＝，解得m＝．
【解答】解：（1）∵直线y＝x经过点A（4，a），
∴a＝＝2，
∴A（4，2），
∵点A（4，2）在双曲线y＝上，
∴k＝4×2＝8，故正确；
（2）解得或，
∴点B的坐标是（﹣4，﹣2），故正确；
（3）∵将直线y＝x向上平移m个单位，交双曲线y＝（＞0）于点C，交y轴于点F，
∴FC∥AB，
∵△ABC和△ABF是同底等高，
∴S△ABC＝S△ABF，故错误；
（4）∵S△ABF＝S△ABC＝，
∴S△ABF＝S△AOF+S△BOF＝m×4+m×4＝，
解得m＝，故正确；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得：a+1＝2（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）在函数的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣4＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣2＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣2，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣2＞﹣3＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴点（1，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE＝2，BE＝2，
∴AB＝2，
S菱形ABCD＝底×高＝2×2＝4，
故答案为4．
14．（3分）要使关于x的分式方程解为正数，且使关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是 ﹣5＜a＜2且a≠﹣4 ．
【分析】根据题意，可以求得符合要求的a的取值，从而可以解答本题．
【解答】解：由分式方程，得x＝，
∵关于x的分式方程解为正数，
∴＞0，且≠4，
∴a＜2且a≠﹣4，
又∵关于x的一次函数y＝（a+5）x+3不经过第四象限，
∴a+5＞0，
∴a＞﹣5，
∴a的取值范围是﹣5＜a＜2且a≠﹣4，
故答案为：﹣5＜a＜2且a≠﹣4．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边BC上（E不与B，C重合），连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B'处，当△CEB′为直角三角形时，则△CEB′的周长为 12或8+2 ．
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB＝AB'＝6，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，分∠CEB'＝90°，∠EB'C＝90°两种情况讨论，由勾股定理可求B'C的长，即可求△CEB′的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°
∵折叠
∴AB＝AB'＝6，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°
若∠CEB'＝90°，且∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABEB'是矩形，且AB＝AB'＝6
∴四边形ABEB'是正方形，
∴BE＝B'E＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝2
∴B'C＝＝2
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+2，
若∠EB'C＝90°，且∠AB'E＝90°
∴∠AB'E+∠EB'C＝180°
∴点A，点B'，点C三点共线，
在Rt△ABC中，AC＝＝10，
∴B'C＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+4＝12
故答案为：12或8+2
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝3．
17．（9分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示．
根据图中信息，整理分析数据：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
a
b
请你结合图表中所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 80 ；b＝ 100 ；
（2）填空：（填“A校”或“B校”）
①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 A校 ；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 B校 ；
（3）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据条形图将B校数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）从表中数据，利用平均数和中位数和众数的意义可得出答案，
（3）计算出A、B两校成绩的方差，根据方差的意义可得答案．
【解答】解：（1）将B校5名选手的成绩重新排列为：70、75、80、100、100，
所以其中位数a＝80、众数b＝100，
故答案为：80，100；
（2）①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是A校；
②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是B校；
故答案为：A校，B校；
（3）SA2＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
SB2＝×[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（100﹣85）2]＝160，
∴SA2＜SB2．
∴A校派出的代表队选手成绩较为稳定．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝CD，再由BE＝AB，得BE＝CD，BE∥CD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝40°，再由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
19．（9分）甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
【分析】（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用总工程费用＝每天所需工程费用×工作时间，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝24．
答：甲工程队单独完成这个项目需要12天，乙工程队单独完成这个项目需要24天．
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，
依题意得：+＝1，
解得：y＝9，
∴7×5+3×（5+9）＝77（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为77万元．
20．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
21．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OA＝OC＝OD＝OB，根据平行线的性质得出∠FDE＝∠COE，根据全等三角形的判定推出△FED≌△CEO，根据全等三角形的性质得出DF＝OC，求出AO＝DF，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出△DOC是等边三角形，求出OC＝DC＝2，求出AF＝OD＝AO＝2，求出AC，求出∠AFC＝90°，根据勾股定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，
∴∠FDE＝∠COE，
∵点E是OD的中点，
∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，
，
∴△FED≌△CEO（ASA），
∴DF＝OC，
∵OA＝OC，
∴DF＝AO，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，
∴四边形AODF是菱形；
（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵AB＝CD＝2，
∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四边形AODF是菱形，
∴AF＝OD＝2，
∵E为OD中点，
∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，
∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
22．（10分）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 y＝|x﹣2|﹣3 ，自变量x的取值范围为 x是任意实数； ；
（2）n的值为 ﹣3 ；点（，﹣） 不在 该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： 函数有最小值﹣3 ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 ﹣2＜x＜4 ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，根据表格数据即可求得自变量的取值范围；
（2）把x＝2代入解析式，即可求得n的值，把x＝代入解析式求得函数值，即可判断点（，﹣）是否在该函数图象上；
（3）描点、连线，画出函数图象即可；
（4）根据图像即可求得．
【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1）代入y＝a|x﹣2|+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝|x﹣2|﹣3，自变量x的取值范围为x是任意实数；
故答案为y＝|x﹣2|﹣3，x是任意实数；
（2）把x＝2代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣3，
∴n＝﹣3；
把x＝代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣≠﹣，
∴点（，﹣） 不在该函数图象上；
故答案为﹣3，不在；
（3）画出函数图象如图：
（4）结合函数的图象，
①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣3；
故答案为函数有最小值﹣3；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象可知，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
23．（11分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（a，a+1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【解答】解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（﹣1，﹣2），
∴OE＝1，DE＝2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入直线y＝mx+1，
得：﹣m+1＝2，
解得：m＝﹣1，
将A（﹣1，2）代入反比例函数y＝，
得：2＝，
解得：k＝﹣2；
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵当x＝﹣1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
∴x的取值范围为：x＞0或x＜﹣1；
（3）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD＝OC•AD＝4，
∵S△OAP＝S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（m，﹣m+1），AB与y轴相交于点F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF＝×1×1＝，
当P在A的左侧时，S△OAP＝S△OFP﹣S△OAF＝（﹣m）•OF﹣＝﹣m﹣，
∴﹣m﹣＝2，
∴m＝﹣5，﹣m+1＝5+1＝6，
∴P（﹣5，6），
当P在A的右侧时，S△OAP＝S△OFP+S△OAF＝m•OF+＝m+，
∴m+＝2，
∴m＝3，﹣m+1＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，6）或（3，﹣2）．
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