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2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形
2．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＞b+2
B．如果a＜b，那么﹣a＜﹣b
C．如果a＞b，那么3a+1＞3b+1
D．如果a＞b，那么ac2＞bc2
3．（3分）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2+9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．x2+x＝x（x+1）
4．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y＝kx+b图象上的是（ ）
A．（2，0） B．（0，1） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，2）
5．（3分）如图，△ABC平移得到△DEF，连接AD，若∠B＝75°，∠EDF＝80°，BC＝5，CF＝3，则下列说法错误的是（ ）
A．∠F＝25°
B．DF＝5
C．四边形ACFD是平行四边形
D．平移距离为3
6．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．所有的定理都有逆定理
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．在一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半
D．若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．正五边形的内角和为540°
B．多边形的边数每增加1，内角和增加180°
C．正六边形的每个内角为60°
D．正六边形共有9条对角线
8．（3分）若关于x的方程+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．﹣1或0
9．（3分）东京奥运会测试赛中，中国女排在对日本女排的8局比赛中一局不失，双杀对手．某公司为迎接女排姑娘回国，计划制作1000面小国旗，由于提前结束赛事，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a＝ ．
12．（3分）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是．
请你写出一个符合上述条件的题目 ．
13．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ．
14．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠BAC的度数为 ．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，点Q在直线BC上运动，将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，连接B1D，则线段B1D的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题,满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（）÷，从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点A中心对称．
（2）平移△ABC得到△A2B2C2，且点A的对应点A2的坐标为（3，2），请画出△A2B2C2．
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝84°．
（1）请用尺规作图，在AC上找一点P，使得PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的点P到边BA，BC的距离相等，求∠A的度数．
19．（9分）学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解，过程如下：
解：设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出正确的结果 ；
（2）该过程中用到的因式分解的方法是 ；
（3）请你模仿上面的方法对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
20．（9分）如图，在▱BCED中，点F是DE的中点，连接CF并延长交BD延长线于点A，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，求四边形ADCE的面积．
21．（10分）一次函数y1＝kx+k﹣2（k为常数，且k≠0），经过点（1，4）．
（1）求k的值；
（2）画出y1的图象；
（3）正比例函数y2＝2x的图象如图所示，若该图象与y1＝kx+k﹣2的图象交于点A，请直接写出当y2≤y1时自变量x的取值范围： ．
22．（10分）2021年我国在体育领域取得了令人瞩目的成就，其中包括女足晋级东京奥运会．某中学举行了“超越从足下起航”足球运动会，并为比赛购买了奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价贵5元，用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，请你帮学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（11分）[发现与探究]（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，点P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则DQ与CP的数量关系为 ，位置关系为 ．
[拓展与延伸]（2）若点P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由．
[应用]（3）在[拓展与延伸]的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，请直接写出CP的长．
2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＞b+2
B．如果a＜b，那么﹣a＜﹣b
C．如果a＞b，那么3a+1＞3b+1
D．如果a＞b，那么ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．不妨设a＝1，b＝0，
则a﹣2＜b+2，故本选项不合题意；
B．如果a＜b，那么，故本选项不合题意；
C．如果a＞b，那么3a＞3b，所以3a+1＞3b+1，故本选项符合题意；
D．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2+9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．x2+x＝x（x+1）
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式左右两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y＝kx+b图象上的是（ ）
A．（2，0） B．（0，1） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，2）
【分析】结合不等式kx+b＞0的解集是x＞1确定一次函数y＝kx+b图象位置，然后结合一次函数图象上点的坐标特征分析作出判断．
【解答】解：∵kx+b＞0的解集是x＞1，
∴一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），且y随x的增大而增大，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∵点（2，0）位于x轴上且位于点（1，0）的右侧，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故A选项不符合题意；
点（0，1）位于y轴正半轴，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故B选项不符合题意；
点（﹣1，﹣4）位于第三象限，可能在一次函数y＝kx+b图象上，故C选项符合题意；
点（﹣1，2）位于第二象限，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC平移得到△DEF，连接AD，若∠B＝75°，∠EDF＝80°，BC＝5，CF＝3，则下列说法错误的是（ ）
A．∠F＝25°
B．DF＝5
C．四边形ACFD是平行四边形
D．平移距离为3
【分析】由平移的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由平移的性质得：DE∥AB，
∴∠DEF＝∠B＝75°，
∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝180°﹣80°﹣75°＝25°，故选项A不符合题意；
B、由平移的性质得：EF＝BC＝5，
∵∠DEF＝75°，∠EDF＝80°，
∴∠DEF≠∠EDF，
∴DF≠EF，
∴DF≠5，故选项B符合题意；
C、由平移的性质得：DF∥AC，DF＝AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵△ABC平移得到△DEF，CF＝3，
∴平移距离为3，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．所有的定理都有逆定理
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．在一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半
D．若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、所有的定理不一定都有逆定理，原命题是假命题；
B、“对顶角相等”的逆命题是假命题，是真命题；
C、在直角三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半，原命题是假命题；
D、若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14或16，原命题是假命题；
故选：B．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．正五边形的内角和为540°
B．多边形的边数每增加1，内角和增加180°
C．正六边形的每个内角为60°
D．正六边形共有9条对角线
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°、多边形的边数与对角线的条数的关系式（对角线条数＝）求解判断即可．
【解答】解：A、正五边形的内角和为540°，正确，不符合题意；
B、多边形的边数每增加1，内角和增加180°，正确，不符合题意；
C、正六边形的每个内角为120°，故正六边形的每个内角为60°，错误，符合题意；
D、正六边形共有9条对角线，正确，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）若关于x的方程+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．﹣1或0
【分析】首先将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况，求出a的值为多少即可．
【解答】解：去分母，得：ax＝﹣（x﹣2）+x﹣1，
∴ax＝1，
（1）当a＝0时，原分式方程无解．
（2）x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：a＝1．
综上，a的值为0或1．
故选：A．
9．（3分）东京奥运会测试赛中，中国女排在对日本女排的8局比赛中一局不失，双杀对手．某公司为迎接女排姑娘回国，计划制作1000面小国旗，由于提前结束赛事，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设原计划每天制作x面小国旗，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为：，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝AC＝4，∠B＝15°，
∴∠PAC＝2∠B＝30°，
在Rt△APC中，AC＝4，∠PAC＝30°，
∴PC＝2，
∴AQ＝2，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
12．（3分）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是．
请你写出一个符合上述条件的题目 （x+2）•（答案不唯一） ．
【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式．
【解答】解：根据题意可得：（x+2）•（答案不唯一）．
故答案为：（x+2）•（答案不唯一）．
13．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
14．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠BAC的度数为 46° ．
【分析】由旋转性质知△ABC≌△EDC，据此得∠BAC＝∠DEC、∠ACE＝∠BCD＝88°、AC＝EC，即可求出∠BAC．
【解答】解：由旋转性质知：△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠DEC、∠ACE＝∠BCD＝88°、AC＝EC，
∴∠BAC＝＝＝46°，
故答案为：46°．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，点Q在直线BC上运动，将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，连接B1D，则线段B1D的最小值为 ﹣2 ．
【分析】连接PD，根据检查的性质得到AD＝BC＝3，AP＝PB＝AB＝2，∠A＝90°，由勾股定理得到PD＝＝＝，根据折叠的性质得到PB＝PB1＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接PD，
在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，
∴AD＝BC＝3，AP＝PB＝AB＝2，∠A＝90°，
∴PD＝＝＝，
∵将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，
∴PB＝PB1＝2，
∵B1D≥PD﹣PB1，
∴线段B1D的最小值为PD﹣B1P＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题,满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（）÷，从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可取出答案．
【解答】解：原式＝（）•
＝•
＝•
＝，
要使原式有意义，x≠0，﹣1，1，
将x＝2代入原式可得：
原式＝．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点A中心对称．
（2）平移△ABC得到△A2B2C2，且点A的对应点A2的坐标为（3，2），请画出△A2B2C2．
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1） ．
【分析】（1）延长CA到C1使AC1＝CA，延长BA到B1使AB1＝BA，从而得到△A1B1C1；
（2）利用点A与点A2的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）以AB为对角线得到D1，以BC为对角线得到D2，以AC为对角线得到D3．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，D点坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1）．
故答案为（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1）．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝84°．
（1）请用尺规作图，在AC上找一点P，使得PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的点P到边BA，BC的距离相等，求∠A的度数．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交AC于点P，连接PB，点P即为所求．
（2）证明∠A＝∠ABP＝∠CBP，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）由（1）可知，PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵点P到AB，BC的距离相等，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠A＝∠ABP＝∠CBP，
∵∠C＝84°，
∴3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
19．（9分）学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解，过程如下：
解：设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出正确的结果 （x﹣1）4 ；
（2）该过程中用到的因式分解的方法是 公式法 ；
（3）请你模仿上面的方法对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
【分析】（1）因式分解的结果不彻底，还可以使用完全平方公式；
（2）因为用到了完全平方公式，所以使用的是公式法；
（3）设x2﹣4x＝y，使用多项式乘多项式对多项式进行化简，然后使用完全平方公式进行因式分解，再把x2﹣4x＝y代入，再使用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）因式分解的结果不彻底，
原式＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（2）因为用到了完全平方公式，
所以使用的是公式法，
故答案为：公式法；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4
＝y2+8y+12+4
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4．
20．（9分）如图，在▱BCED中，点F是DE的中点，连接CF并延长交BD延长线于点A，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，求四边形ADCE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出CE＝AD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，根据平行四边形的性质和面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD∥CE，BD＝CE，
∴∠ACE＝∠CAD，∠CED＝∠ADE，
∵点F是DE的中点，
∴DF＝EF，
∴△CEF≌△ADF（SAS），
∴CE＝AD，
∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，
∵∠CAB＝45°，
∴CM＝AM＝，
∵∠B＝30°，
∴BC＝2CM＝2，BM＝，
∴AB＝，
∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴AD＝BD＝，
∴▱ADCE的面积＝AD•CM＝．
21．（10分）一次函数y1＝kx+k﹣2（k为常数，且k≠0），经过点（1，4）．
（1）求k的值；
（2）画出y1的图象；
（3）正比例函数y2＝2x的图象如图所示，若该图象与y1＝kx+k﹣2的图象交于点A，请直接写出当y2≤y1时自变量x的取值范围： x≥﹣1 ．
【分析】（1）利用待定系数法求比例系数k的值；
（2）利用两点确定一条直线的方法作出一次函数图象；
（3）联立方程组求得两个函数图像的交点坐标，然后结合图象确定不等式的解集．
【解答】解：（1）将（1，4）代入y1＝kx+k﹣2中，得：
k+k﹣2＝4，
解得：k＝3，
∴k的值为3；
（2）在y1＝3x+3﹣2＝3x+1中，
当x＝0时，y1＝1，
当y＝0时，3x+1＝0，
解得：x＝﹣，
∴直线y1＝3x+1经过（0，1）和（﹣，0）两点，
作出函数图象如图：
（3）联立方程组，
解得：，
∴A点坐标为（﹣1，﹣2），
∴当y2≤y1时自变量x的取值范围是x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
22．（10分）2021年我国在体育领域取得了令人瞩目的成就，其中包括女足晋级东京奥运会．某中学举行了“超越从足下起航”足球运动会，并为比赛购买了奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价贵5元，用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，请你帮学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为（x+5）元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A奖品m个，则购买B奖品（20﹣m）个，根据购买A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买奖品的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为（x+5）元，
依题意得：﹣＝2，
化简得：x2+5x﹣2250＝0，
解得：x1＝45，x2＝﹣50，
经检验，x1＝45，x2＝﹣50是原方程的解，且x2＝﹣50不符合题意，舍去，
∴x+5＝50．
答：A奖品的单价为50元，B奖品的单价为45元．
（2）当购买A奖品7个，B奖品13个时最省钱，理由如下：
设购买A奖品m个，则购买B奖品（20﹣m）个，
依题意得：m≥（20﹣m），
解得：m≥．
又∵0＜m＜20，且m为整数，
∴7≤m＜20，且m为整数．
设购买奖品的总费用为w元，则w＝50m+45（20﹣m）＝5m+900．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝7时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣7＝13，
∴当购买A奖品7个，B奖品13个时最省钱．
23．（11分）[发现与探究]（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，点P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则DQ与CP的数量关系为 CP＝QD ，位置关系为 CP⊥QD ．
[拓展与延伸]（2）若点P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由．
[应用]（3）在[拓展与延伸]的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，请直接写出CP的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△QBD≌△PBC，可得QD＝CP，∠Q＝∠BPC，由平角的性质和四边形内角和定理可求∠PHQ＝90°，可得PC⊥QD；
（2）由“SAS”可证△QBD≌△PBC，可得QD＝CP，∠PCB＝∠D，由平角的性质和四边形内角和定理可求∠CHD＝90°，可得PC⊥QD；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）延长QD交AC于H，
∵将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BD＝BC，∠DBC＝90°，
∵将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，
∴QB＝BP，∠QBP＝90°，
∴∠QBP＝∠DBC，
∴∠DBQ＝∠CBP，
∴△QBD≌△PBC（SAS），
∴QD＝CP，∠Q＝∠BPC，
∵∠BPC+∠BPH＝180°，
∴∠Q+∠BPH＝180°，
∵∠Q+∠BPH+∠PBQ+∠PHQ＝360°，
∴∠PHQ＝90°，
∴PC⊥QD，
故答案为CP＝QD，CP⊥QD；
（2）成立，
理由如下：如图2，延长DQ交AC于点H，
∵将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BD＝BC，∠DBC＝90°，
∵将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，
∴QB＝BP，∠QBP＝90°，
∴∠QBP＝∠DBC，
∴∠DBQ＝∠CBP，
∴△QBD≌△PBC（SAS），
∴QD＝CP，∠PCB＝∠D，
∵∠BCP+∠BCH＝180°，
∴∠D+∠BCH＝180°，
∵∠D+∠BCH+∠DBC+∠CHD＝360°，
∴∠CHD＝90°，
∴PC⊥QD；
（3）如图3，当点Q在AB上时，
∵∠A＝30°，∠PBQ＝90°，
∴∠P＝60°，BC＝AB＝2，
∴∠PBC＝30°，
∴BP＝2PC，
∵BP2＝PC2+BC2，
∴4PC2＝PC2+4，
∴PC＝，
如图4，当点Q在AC上时，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝90°，BC⊥AP，
∴BC＝CP＝CQ＝2，
综上所述：PC的长为2或．
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日期：2021/8/11 12:04:07；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形
2．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＞b+2
B．如果a＜b，那么﹣a＜﹣b
C．如果a＞b，那么3a+1＞3b+1
D．如果a＞b，那么ac2＞bc2
3．（3分）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2+9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．x2+x＝x（x+1）
4．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y＝kx+b图象上的是（ ）
A．（2，0） B．（0，1） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，2）
5．（3分）如图，△ABC平移得到△DEF，连接AD，若∠B＝75°，∠EDF＝80°，BC＝5，CF＝3，则下列说法错误的是（ ）
A．∠F＝25°
B．DF＝5
C．四边形ACFD是平行四边形
D．平移距离为3
6．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．所有的定理都有逆定理
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．在一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半
D．若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．正五边形的内角和为540°
B．多边形的边数每增加1，内角和增加180°
C．正六边形的每个内角为60°
D．正六边形共有9条对角线
8．（3分）若关于x的方程+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．﹣1或0
9．（3分）东京奥运会测试赛中，中国女排在对日本女排的8局比赛中一局不失，双杀对手．某公司为迎接女排姑娘回国，计划制作1000面小国旗，由于提前结束赛事，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a＝ ．
12．（3分）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是．
请你写出一个符合上述条件的题目 ．
13．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ．
14．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠BAC的度数为 ．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，点Q在直线BC上运动，将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，连接B1D，则线段B1D的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题,满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（）÷，从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点A中心对称．
（2）平移△ABC得到△A2B2C2，且点A的对应点A2的坐标为（3，2），请画出△A2B2C2．
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝84°．
（1）请用尺规作图，在AC上找一点P，使得PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的点P到边BA，BC的距离相等，求∠A的度数．
19．（9分）学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解，过程如下：
解：设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出正确的结果 ；
（2）该过程中用到的因式分解的方法是 ；
（3）请你模仿上面的方法对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
20．（9分）如图，在▱BCED中，点F是DE的中点，连接CF并延长交BD延长线于点A，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，求四边形ADCE的面积．
21．（10分）一次函数y1＝kx+k﹣2（k为常数，且k≠0），经过点（1，4）．
（1）求k的值；
（2）画出y1的图象；
（3）正比例函数y2＝2x的图象如图所示，若该图象与y1＝kx+k﹣2的图象交于点A，请直接写出当y2≤y1时自变量x的取值范围： ．
22．（10分）2021年我国在体育领域取得了令人瞩目的成就，其中包括女足晋级东京奥运会．某中学举行了“超越从足下起航”足球运动会，并为比赛购买了奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价贵5元，用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，请你帮学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（11分）[发现与探究]（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，点P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则DQ与CP的数量关系为 ，位置关系为 ．
[拓展与延伸]（2）若点P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由．
[应用]（3）在[拓展与延伸]的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，请直接写出CP的长．
2020-2021学年河南省中原名校大联考八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＞b+2
B．如果a＜b，那么﹣a＜﹣b
C．如果a＞b，那么3a+1＞3b+1
D．如果a＞b，那么ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．不妨设a＝1，b＝0，
则a﹣2＜b+2，故本选项不合题意；
B．如果a＜b，那么，故本选项不合题意；
C．如果a＞b，那么3a＞3b，所以3a+1＞3b+1，故本选项符合题意；
D．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2+9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．x2+x＝x（x+1）
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式左右两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y＝kx+b图象上的是（ ）
A．（2，0） B．（0，1） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，2）
【分析】结合不等式kx+b＞0的解集是x＞1确定一次函数y＝kx+b图象位置，然后结合一次函数图象上点的坐标特征分析作出判断．
【解答】解：∵kx+b＞0的解集是x＞1，
∴一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），且y随x的增大而增大，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∵点（2，0）位于x轴上且位于点（1，0）的右侧，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故A选项不符合题意；
点（0，1）位于y轴正半轴，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故B选项不符合题意；
点（﹣1，﹣4）位于第三象限，可能在一次函数y＝kx+b图象上，故C选项符合题意；
点（﹣1，2）位于第二象限，不可能在一次函数y＝kx+b图象上，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC平移得到△DEF，连接AD，若∠B＝75°，∠EDF＝80°，BC＝5，CF＝3，则下列说法错误的是（ ）
A．∠F＝25°
B．DF＝5
C．四边形ACFD是平行四边形
D．平移距离为3
【分析】由平移的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由平移的性质得：DE∥AB，
∴∠DEF＝∠B＝75°，
∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝180°﹣80°﹣75°＝25°，故选项A不符合题意；
B、由平移的性质得：EF＝BC＝5，
∵∠DEF＝75°，∠EDF＝80°，
∴∠DEF≠∠EDF，
∴DF≠EF，
∴DF≠5，故选项B符合题意；
C、由平移的性质得：DF∥AC，DF＝AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵△ABC平移得到△DEF，CF＝3，
∴平移距离为3，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．所有的定理都有逆定理
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．在一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半
D．若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、所有的定理不一定都有逆定理，原命题是假命题；
B、“对顶角相等”的逆命题是假命题，是真命题；
C、在直角三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半，原命题是假命题；
D、若等腰三角形两条中位线的长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为14或16，原命题是假命题；
故选：B．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．正五边形的内角和为540°
B．多边形的边数每增加1，内角和增加180°
C．正六边形的每个内角为60°
D．正六边形共有9条对角线
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°、多边形的边数与对角线的条数的关系式（对角线条数＝）求解判断即可．
【解答】解：A、正五边形的内角和为540°，正确，不符合题意；
B、多边形的边数每增加1，内角和增加180°，正确，不符合题意；
C、正六边形的每个内角为120°，故正六边形的每个内角为60°，错误，符合题意；
D、正六边形共有9条对角线，正确，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）若关于x的方程+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．﹣1或0
【分析】首先将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况，求出a的值为多少即可．
【解答】解：去分母，得：ax＝﹣（x﹣2）+x﹣1，
∴ax＝1，
（1）当a＝0时，原分式方程无解．
（2）x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：a＝1．
综上，a的值为0或1．
故选：A．
9．（3分）东京奥运会测试赛中，中国女排在对日本女排的8局比赛中一局不失，双杀对手．某公司为迎接女排姑娘回国，计划制作1000面小国旗，由于提前结束赛事，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设原计划每天制作x面小国旗，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为：，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝AC＝4，∠B＝15°，
∴∠PAC＝2∠B＝30°，
在Rt△APC中，AC＝4，∠PAC＝30°，
∴PC＝2，
∴AQ＝2，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
12．（3分）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是．
请你写出一个符合上述条件的题目 （x+2）•（答案不唯一） ．
【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式．
【解答】解：根据题意可得：（x+2）•（答案不唯一）．
故答案为：（x+2）•（答案不唯一）．
13．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
14．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为88°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠BAC的度数为 46° ．
【分析】由旋转性质知△ABC≌△EDC，据此得∠BAC＝∠DEC、∠ACE＝∠BCD＝88°、AC＝EC，即可求出∠BAC．
【解答】解：由旋转性质知：△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠DEC、∠ACE＝∠BCD＝88°、AC＝EC，
∴∠BAC＝＝＝46°，
故答案为：46°．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，点Q在直线BC上运动，将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，连接B1D，则线段B1D的最小值为 ﹣2 ．
【分析】连接PD，根据检查的性质得到AD＝BC＝3，AP＝PB＝AB＝2，∠A＝90°，由勾股定理得到PD＝＝＝，根据折叠的性质得到PB＝PB1＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接PD，
在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB的中点，
∴AD＝BC＝3，AP＝PB＝AB＝2，∠A＝90°，
∴PD＝＝＝，
∵将△BPQ沿PQ翻折，点B落在点B1处，
∴PB＝PB1＝2，
∵B1D≥PD﹣PB1，
∴线段B1D的最小值为PD﹣B1P＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题,满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（）÷，从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可取出答案．
【解答】解：原式＝（）•
＝•
＝•
＝，
要使原式有意义，x≠0，﹣1，1，
将x＝2代入原式可得：
原式＝．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点A中心对称．
（2）平移△ABC得到△A2B2C2，且点A的对应点A2的坐标为（3，2），请画出△A2B2C2．
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1） ．
【分析】（1）延长CA到C1使AC1＝CA，延长BA到B1使AB1＝BA，从而得到△A1B1C1；
（2）利用点A与点A2的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）以AB为对角线得到D1，以BC为对角线得到D2，以AC为对角线得到D3．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，D点坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1）．
故答案为（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）或（1，1）．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝84°．
（1）请用尺规作图，在AC上找一点P，使得PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的点P到边BA，BC的距离相等，求∠A的度数．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交AC于点P，连接PB，点P即为所求．
（2）证明∠A＝∠ABP＝∠CBP，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）由（1）可知，PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵点P到AB，BC的距离相等，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠A＝∠ABP＝∠CBP，
∵∠C＝84°，
∴3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
19．（9分）学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解，过程如下：
解：设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出正确的结果 （x﹣1）4 ；
（2）该过程中用到的因式分解的方法是 公式法 ；
（3）请你模仿上面的方法对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
【分析】（1）因式分解的结果不彻底，还可以使用完全平方公式；
（2）因为用到了完全平方公式，所以使用的是公式法；
（3）设x2﹣4x＝y，使用多项式乘多项式对多项式进行化简，然后使用完全平方公式进行因式分解，再把x2﹣4x＝y代入，再使用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）因式分解的结果不彻底，
原式＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（2）因为用到了完全平方公式，
所以使用的是公式法，
故答案为：公式法；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4
＝y2+8y+12+4
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4．
20．（9分）如图，在▱BCED中，点F是DE的中点，连接CF并延长交BD延长线于点A，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，求四边形ADCE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出CE＝AD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，根据平行四边形的性质和面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD∥CE，BD＝CE，
∴∠ACE＝∠CAD，∠CED＝∠ADE，
∵点F是DE的中点，
∴DF＝EF，
∴△CEF≌△ADF（SAS），
∴CE＝AD，
∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，
∵∠CAB＝45°，
∴CM＝AM＝，
∵∠B＝30°，
∴BC＝2CM＝2，BM＝，
∴AB＝，
∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴AD＝BD＝，
∴▱ADCE的面积＝AD•CM＝．
21．（10分）一次函数y1＝kx+k﹣2（k为常数，且k≠0），经过点（1，4）．
（1）求k的值；
（2）画出y1的图象；
（3）正比例函数y2＝2x的图象如图所示，若该图象与y1＝kx+k﹣2的图象交于点A，请直接写出当y2≤y1时自变量x的取值范围： x≥﹣1 ．
【分析】（1）利用待定系数法求比例系数k的值；
（2）利用两点确定一条直线的方法作出一次函数图象；
（3）联立方程组求得两个函数图像的交点坐标，然后结合图象确定不等式的解集．
【解答】解：（1）将（1，4）代入y1＝kx+k﹣2中，得：
k+k﹣2＝4，
解得：k＝3，
∴k的值为3；
（2）在y1＝3x+3﹣2＝3x+1中，
当x＝0时，y1＝1，
当y＝0时，3x+1＝0，
解得：x＝﹣，
∴直线y1＝3x+1经过（0，1）和（﹣，0）两点，
作出函数图象如图：
（3）联立方程组，
解得：，
∴A点坐标为（﹣1，﹣2），
∴当y2≤y1时自变量x的取值范围是x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
22．（10分）2021年我国在体育领域取得了令人瞩目的成就，其中包括女足晋级东京奥运会．某中学举行了“超越从足下起航”足球运动会，并为比赛购买了奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价贵5元，用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，请你帮学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为（x+5）元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元买A奖品的数量比用同样的钱买B奖品的数量少2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A奖品m个，则购买B奖品（20﹣m）个，根据购买A奖品的数量不少于B奖品数量的一半，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买奖品的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为（x+5）元，
依题意得：﹣＝2，
化简得：x2+5x﹣2250＝0，
解得：x1＝45，x2＝﹣50，
经检验，x1＝45，x2＝﹣50是原方程的解，且x2＝﹣50不符合题意，舍去，
∴x+5＝50．
答：A奖品的单价为50元，B奖品的单价为45元．
（2）当购买A奖品7个，B奖品13个时最省钱，理由如下：
设购买A奖品m个，则购买B奖品（20﹣m）个，
依题意得：m≥（20﹣m），
解得：m≥．
又∵0＜m＜20，且m为整数，
∴7≤m＜20，且m为整数．
设购买奖品的总费用为w元，则w＝50m+45（20﹣m）＝5m+900．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝7时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣7＝13，
∴当购买A奖品7个，B奖品13个时最省钱．
23．（11分）[发现与探究]（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，点P是边AC上的一点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，则DQ与CP的数量关系为 CP＝QD ，位置关系为 CP⊥QD ．
[拓展与延伸]（2）若点P是直线AC上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2（点P在AC的延长线上）证明；若不成立，请说明理由．
[应用]（3）在[拓展与延伸]的条件下，若点Q恰好落在△ABC的边上，请直接写出CP的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△QBD≌△PBC，可得QD＝CP，∠Q＝∠BPC，由平角的性质和四边形内角和定理可求∠PHQ＝90°，可得PC⊥QD；
（2）由“SAS”可证△QBD≌△PBC，可得QD＝CP，∠PCB＝∠D，由平角的性质和四边形内角和定理可求∠CHD＝90°，可得PC⊥QD；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）延长QD交AC于H，
∵将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BD＝BC，∠DBC＝90°，
∵将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，
∴QB＝BP，∠QBP＝90°，
∴∠QBP＝∠DBC，
∴∠DBQ＝∠CBP，
∴△QBD≌△PBC（SAS），
∴QD＝CP，∠Q＝∠BPC，
∵∠BPC+∠BPH＝180°，
∴∠Q+∠BPH＝180°，
∵∠Q+∠BPH+∠PBQ+∠PHQ＝360°，
∴∠PHQ＝90°，
∴PC⊥QD，
故答案为CP＝QD，CP⊥QD；
（2）成立，
理由如下：如图2，延长DQ交AC于点H，
∵将边BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BD＝BC，∠DBC＝90°，
∵将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，
∴QB＝BP，∠QBP＝90°，
∴∠QBP＝∠DBC，
∴∠DBQ＝∠CBP，
∴△QBD≌△PBC（SAS），
∴QD＝CP，∠PCB＝∠D，
∵∠BCP+∠BCH＝180°，
∴∠D+∠BCH＝180°，
∵∠D+∠BCH+∠DBC+∠CHD＝360°，
∴∠CHD＝90°，
∴PC⊥QD；
（3）如图3，当点Q在AB上时，
∵∠A＝30°，∠PBQ＝90°，
∴∠P＝60°，BC＝AB＝2，
∴∠PBC＝30°，
∴BP＝2PC，
∵BP2＝PC2+BC2，
∴4PC2＝PC2+4，
∴PC＝，
如图4，当点Q在AC上时，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝90°，BC⊥AP，
∴BC＝CP＝CQ＝2，
综上所述：PC的长为2或．
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