第08讲 三角形的存在性《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第08讲 三角形的存在性《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共31页。教案主要包含了等腰三角形与直角三角形的存在性，相似三角形的存在性等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形“三线合一”
勾股定理
锐角三角函数
全等三角形的判定
相似三角形的性质与判定
一、等腰三角形与直角三角形的存在性
（1）“两圆一中垂”——满足等腰三角形的点的存在性的作图方法
探究1: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为等腰三角形。
方法：分类讨论：
①当A为顶点时，即AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，得目标点C1，C2，C3，C4
②当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆，得目标点C5，C6，C7，C8
③当C为顶点时，即CA=CB时，作线段AB的垂直平分线，得目标点C9，C10
故，满足条件的点C共有10个.
（2）“一圆两垂直”——满足直角三角形的点的存在性的作图方法
探究2: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为直角三角形。
方法：分类讨论：
①当∠A=90°时，过点A作线段AB的垂线，得目标点C1，C2
②当∠B=90°时，过点B作线段AB的垂线，得目标点C3，C4
③当∠C=90°时，以AB为直径作圆，得目标点C5，C6，C7，C8
故，满足条件的点C共有8个.
（3）“代数求值解法”——满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法
①写出或设出三角形三个顶点的坐标；
②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；
③若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解.
④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。
二、相似三角形的存在性
（1）导边法，（“SAS”法）
①先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；
②以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程
如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使
△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：
或，再列方程求解即可.
（1）导角法，（AA”法）
①先找到一组关键的等角；
②另两个内角分两类对应相
如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使
△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：
∠B=∠E或∠B=∠F，再进行分析处理即可.
【例题1】在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），点C为x轴上的一个动点，记作（a，0）．
（1）求AC+BC的最小值，并求AC+BC的最小值时点C的坐标．
（2）若△ABC为等腰三角形，求点C坐标．
（3）若△ABC为直角三角形，求点C坐标．
（4）若点D坐标为（a+1，0），求四边形ACDB的周长的最小值，并求出C点坐标．
【解析】（1）∵点A坐标为（﹣2，1）
∴点A坐标关于x轴的对称点为A'（﹣2，﹣1）
根据两点之间，线段最短可得：当点C，点A'，点B三点共线时，AC+BC值最小．
∴AC+BC最小值为为A'B的长度，即A'B＝＝4
设直线A'B解析式y＝kx+b∴，解得：k＝1，b＝1
∴解析式y＝x+1
∴当y＝0时，a＝﹣1
∴点C（﹣1，0）
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC
①若AB＝AC时，
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），点C（a，0）
∴（2+2）2+（3﹣1）2＝（a+2）2+（1﹣0）2．∴a＝±﹣2
∴点C坐标为（，2），（﹣，2）
②若AB＝BC时，
∴（2+2）2+（3﹣1）2＝（a﹣2）2+（3﹣0）2．∴a＝2±
∴点C坐标为（2+，0），（2﹣，0）
③若BC＝AC时，
∴（a﹣2）2+（3﹣0）2＝（a+2）2+（1﹣0）2．∴a＝1
∴点C（1，0）
（3）若△ABC为直角三角形，
∴∠ABC＝90°或∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
①若∠ABC＝90°，则AB⊥BC
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），∴直线AB的解析式y＝x+2
∴设直线BC解析式y＝﹣2x+b过点B
∴3＝﹣4+b∴b＝7
∴解析式y＝﹣2x+7
当y＝0时，x＝∴点C（，0）
②若∠BAC＝90°，则AC⊥AB
设直线AC解析式y＝﹣2x+m过点A
∴1＝4+m∴m＝﹣3∴解析式y＝﹣2x﹣3
当y＝0时，x＝﹣，∴点C（﹣，0）
当∠ACB＝90°时，
∵AB2＝AC2+BC2．
∴20＝（a+2）2+1+（a﹣2）2+9
∴a＝±1
∴点C（1，0），（﹣1，0）
（4）∵点D坐标为（a+1，0），点C（a，0）
∴CD＝1，
∵CD＝1，AB＝2，
∴四边形ACDB的周长＝AB+AC+CD+DB＝1+2+AC+DB
要使四边形ACDB的周长最小
即AC+DB的值最小
将点B向左平移1个单位得B'（1，3），点A关于x轴的对称点为A'（﹣2，﹣1）
连接A'B'交x轴为点C．
此时AC+DB的最小值为A'B'的长度
∵A'（﹣2，﹣1），B'（1，3）
∴A'B'＝＝5
∴四边形ACDB的周长最小值＝1+2+5＝6+2
∵A'（﹣2，﹣1），B'（1，3）
∴直线A'B'解析式y＝x+，当y＝0时，x＝﹣
∴点C（﹣，0）
【例题2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．
【解析】①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2；
②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为2√3﹣2；
③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为2﹣2．
【例题3】已知：在矩形ABCD中，AB＝6，点E为边AB上一点，满足AE＝2，连接DE，在矩形内部作∠DEF＝45°，交边BC于点F（不与端点重合），交边DC的延长线于点G．
（1）如果DF⊥EG，求△DEG的面积；
（2）设AD＝x，BF＝y，
①请用含有x，y的式子表示线段DG的长；
②求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DEF是等腰三角形，试求此时AD的长．
【解析】（1）如图1，∵DF⊥EF，∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠FCD＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠DFC＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∴△EBF≌△FCD（AAS），
∴CF＝BE＝6﹣2＝4，BF＝CD＝6，
由勾股定理得：EF＝DF＝＝＝2，
∵BE∥CG，∴△EBF∽△GCF，∴，
∴＝，∴FG＝，
∴EG＝EF+FG＝2+＝，
∴S△DEG＝＝＝；
（2）①∵BF＝y，AD＝BC＝x，
∴CF＝x﹣y，
∵BE∥CG，
∴△EBF∽△GCF，∴，
∴，CG＝﹣4，
∴DG＝DC+CG＝6+﹣4＝2+；
②如图2，过D作DM⊥DE，交EG的延长线于M，过E作EH⊥EG，交AD于H，
∴∠HEG＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AEH＝∠BFE，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△HAE∽△EBF，
∴，
∴，AH＝，
∴DH＝x﹣，
∵∠DEF＝45°，∠HEG＝∠EDM＝90°，
∴∠HED＝45°，△EDM是等腰直角三角形，
∴DE＝DM，∠M＝45°，
∴∠M＝∠HED＝45°，
∵∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠GDM，
∴∠ADE＝∠GDM，
∴△DHE≌△DGM（ASA），
∴DH＝DG，
∴x﹣＝2+，y＝4+，
∵y＜x，
∴4+＜x，
4（x﹣2）+16＜x（x﹣2），
x2﹣6x﹣8＞0，
设m＝x2﹣6x﹣8，
当m＝0时，x2﹣6x﹣8＝0，
x1＝3﹣，x2＝3+，
如图3所示，当m＞0时，x＞3+，
则y关于x的函数关系式为：y＝4+，定义域是x＞3+；
（3）△DEF是等腰三角形时，存在三种情况，
①当EF＝DF时，
由勾股定理得：BE2+BF2＝CF2+DC2，
42+y2＝62+（x﹣y）2，
16＝36+x2﹣2xy，
把y＝4+代入得：0＝20+x2﹣2x（4+），
x3﹣10x2+4x﹣40＝0，
x2（x﹣10）+4（x﹣10）＝0，
（x﹣10）（x2+4）＝0，
∴x＝10，
∴AD＝10；
②当ED＝DF时，∠DEF＝∠DFE＝45°
∴∠EDF＝90°
不符合题意；
③当DE＝EF时，
由勾股定理得：BE2+BF2＝AE2+AD2，
42+y2＝x2+22，
把y＝4+代入得：16+（4+）2＝x2+4，
x4﹣4x3﹣24x2﹣16x﹣112＝0，
x4﹣24x2﹣112﹣4x（x2+4）＝0，
（x2+4）（x2﹣28）﹣4x（x2+4）＝0，
（x2+4）（x2﹣4x﹣28）＝0，
x2﹣4x﹣28＝0，
x1＝2﹣4（舍），x2＝2+4，即AD＝2+4，
综上，此时AD的长为10或2+4．
【例题4】（2020•沈阳一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．
（1）求这个抛物线的表达式．
（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．
（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∵S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD＝4，
∴×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×1×2＝4，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴点P（﹣1，）或（﹣2，2）；
（3）①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，
∵∠MDC＝90°，
∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠MDA＝∠CDO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，
∴△MAD≌△DOC（SAS）
∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，
∴点M坐标（﹣3，1），
若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，﹣1）；
②如图3，
∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+；
∴对称轴为：直线x＝﹣1，
∴点D在对称轴上，
∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，
∴点D是MM'的中点，
∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，
当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，
∵点C（0，2），点D（﹣1，0）
∴DC＝，
∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，
∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）
延长M'C交对称轴与N''，
∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，
∴当x＝﹣1时，y＝5，
∴点N''的坐标（﹣1，5），
∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，
∴MM'＝MN''，
∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°
∴点N''（﹣1，5）符合题意，
综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．
【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝．
故抛物线的表达式为：y＝；
（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，
△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，
联立抛物线与直线PQ的表达式得：＝kx+1，
整理得：…①，
m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，
n﹣m＝2＝＝，
解得：k＝0（舍去）或1；
将k＝1代入①式并解得：x＝，
故点P、Q的坐标分别为：（，、（，﹣）；
（3）设点K（1，m），
∵A（4，0），C（0，2），
∴AC的表达式为y＝﹣x+2，
联立PQ和AC的表达式得x+1＝﹣x+2，解得：x＝，
故点G（，），
过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，
则△KMG≌△GNR（AAS），
GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，
故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）
将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，
故m＝，
故点K（1，）．
【例题6】如图，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E，使∠DAE＝45°，求点E的坐标；
（3）若（2）中AE交y轴于点F，N是线段AC上一点，在抛物线上是否存在点M，使△AMN与△ACF相似？若存在，请直接写出点M及相应的N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）．
将A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴点D的坐标为（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝3．
∵AD2＝CD2+AC2，∴∠ACD＝90°，tan∠DAC＝＝．
在y轴上取点F（0，1），连接AF交抛物线与点E，如图1所示．
∵OF＝1，OA＝3，∴tan∠OAF＝＝tan∠DAC，
∴∠OAF＝∠DAC．
∵∠CAF+∠OAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAC+∠CAF＝45°．
设直线AE的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（﹣3，0）、F（0，1）代入y＝kx+d，得：，解得：，
∴直线AE的解析式为y＝x+1．
联立直线AE、抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，
∴点E的坐标为（，）．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，3），F（0，1），
∴CF＝2，AC＝3，AF＝．
分∠MAN＝∠ACF、∠MAN＝∠CAF及∠MAN＝∠AFC三种情况考虑．
①当∠MAN＝∠ACF时，点M与点B重合，如图2所示，
∵点B（1，0），
∴点M的坐标为（1，0），AM＝4．
∵＝或＝，即＝或＝，
∴AN＝6或AN＝．
∵点N在直线y＝x+3上，点A（﹣3，0），
∴点N的坐标为（3，6）或（﹣，），
又∵点N为线段AC上的点，
∴点N的坐标为（﹣，）；
②当∠MAN＝∠CAF时，点M与点E重合，如图3所示，
∵点E（，），
∴点M的坐标为（，），AM＝．
∵＝或＝，即＝或＝，
∴AN＝或AN＝．
∵点N在直线y＝x+3上，点A（﹣3，0），
∴点N的坐标为（，）或（﹣，），
又∵点N为线段AC上的点，
∴点N的坐标为（﹣，）；
过点C作CM∥x轴，交抛物线于点M，连接AM，如图4所示．
∵∠ACF＝45°，
∴∠ACM＝45°＝∠ACF．
当y＝3时，﹣x2﹣2x+3＝3，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
∴点M的坐标为（﹣2，3），
∴CM＝CF＝2．
在△ACF和△ACM中，，
∴△ACF≌△ACM（SAS），
∴点M的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）；
∵当点M的坐标为（﹣2，3）时，∠MAC＝∠FAC，
∴在AC上还存在一点N，使得△AMN∽△ACF．
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴AM＝．
∵＝，即＝，
∴AN＝，
∴点N的坐标为（﹣，）．
③当∠MAN＝∠AFC时，如图5所示．
∵＝，即＝，
∴AP＝3，
∴点P的坐标为（0，﹣6），
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x﹣6．
联立直线AP与抛物线的解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点M的坐标为（3，﹣12），AM＝6．
∵＝或＝，即＝或＝，
∴AN＝6，AN＝15．
∵点N在直线y＝x+3上，点A（﹣3，0），
∴点N的坐标为（3，6）或（9，15），
又∵点N在线段AC上，
∴该情况不存在．
综上所述：在抛物线上是否存在点M，使△AMN与△ACF相似，当点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标为（﹣，）；当点M的坐标为（，）时，点N的坐标为（﹣，）；当点M的坐标为（﹣2，3）时，点N的坐标为（0，3）或（﹣，）．
【例题7】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2﹣bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM；
（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．
【解析】（1）过A作AH⊥x轴，垂足为H，∵OB＝2，∴B（2，0），
∵∠AOB＝120°，∴∠AOH＝60°，∠HAO＝30°．
∵OA＝2，∴．
在Rt△AHO中，OH2+AH2＝OA2，
∴．∴
∵抛物线C1：y＝ax2+bx经过点A、B得：，解得：，
∴这条抛物线的表达式为
（2）过M作MG⊥x轴，垂足为G，
∵，
∴顶点M是，得，
∵，．
则直线AM为：
∴直线AM与x轴的交点N为：，
S△AOM＝ON•MG+ON•AH＝××+×＝；
（3）∵B（2，0）、，
∴在Rt△BGM中，，
∴∠MBG＝30°．
∴∠MBF＝150°．
由抛物线的轴对称性得：MO＝MB，
∴∠MBO＝∠MOB＝150°．
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOM＝150°
∴∠AOM＝∠MBF．
∴当△MBF与△AOM相似时，有：或，
即或，
∴BF＝2或．∴F（4，0）或；
设向上平移后的抛物线C2为：，
当F（4，0）时，，∴抛物线C2为：
当时，，∴抛物线C2为：；
综上，抛物线C2的表达式为：y＝﹣x2+x+或y＝﹣x2+x+．
1．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6 ．
【解析】∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC
则＝，∴＝
解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP
则＝，∴＝
解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．
故答案为：2.8或1或6．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b交x轴、y轴于B、A两点，且B点坐标为（8，0），将直线AB沿y轴翻折交x轴于点C．
（1）直接写出A、C两点的坐标；
（2）设点P为BC上一点，作∠APD＝∠C，交AB于点D，在点P移动的过程中，当△APD为直角三角形时，求点P的坐标．
【解析】（1）将点B的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣×8+b，解得：b＝6，
故点A（0，6），则点C（﹣8，0）；
（2）设：∠APD＝∠C＝α＝∠B，
由（1）知：A（0，6），点C（﹣8，0）；点B（8，0），
则AB＝10，OB＝OC＝8，OA＝6，
则sinα＝，csα＝，
①当∠PAD＝90°时，
PB＝＝＝，
则OP＝PB﹣OB＝，
故点P（﹣，0）；
②当∠PDA＝90°时，
∵∠APD＝∠ABC＝α，而∠PDA＝90°，
故点P与点O重合，
故点P（0，0）；
综上，点P（0，0）或（﹣，0）．
3．已知，A（4，0），B（8，0），C（0，4）．动直线EF（EF∥x轴）从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．
（1）请分别用t表示BF，BP；
（2）是否存在t的值，使得△BPF与△ABC相似？若存在，求出t的值．
【解析】（1）在Rt△BOC中，∵OC＝4，OB＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵EF∥OB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝（4﹣t），
BP＝2t（0＜t≤4）．
（2）①当FP∥AC时，△BFP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，解得t＝．
②当＝时，△BFP∽△BAC，
∴＝，解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为s或s．
4．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．
【解析】（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），
可得a＝﹣，b＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+6；
（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，
∵tan∠AED＝，
∴AN＝，NE＝3，
Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴，
∵EF2＝OF2+4，
∴NF＝3﹣EF，
∴＝，
∴OF＝2，
∴F（﹣2，0），
∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，
∴D（，）；
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），
当P点在C点时，Q（﹣6，6），
∴Q点的轨迹长为2，
故答案为2．
5. 如图，二次函数y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），
则﹣3＝a（0﹣0﹣3m2），解得 a＝．
（2）方法一：
证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2﹣2mx﹣3m2）＝0，
解得 x1＝﹣m，x2＝3m，
则 A（﹣m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，
∴D点的纵坐标为﹣3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM＝∠EAN，
∵∠DMA＝∠ENA＝90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴＝＝．
设E坐标为（x，），∴＝，
∴x＝4m，∴E（4m，5），
∵AM＝AO+OM＝m+2m＝3m，AN＝AO+ON＝m+4m＝5m，
∴＝＝，即为定值．
方法二：
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵a（x2﹣2mx﹣3m2）＝0，∴x1＝﹣m，x2＝3m，
则A（﹣m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），
∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE＝0，
∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），
∴KAD＝＝﹣，∴KAE＝，
∴⇒x2﹣3mx﹣4m2＝0，
∴x1＝﹣m（舍），x2＝4m，∴E（4m，5），
∵∠DAM＝∠EAN＝90°
∴△ADM∽△AEN，∴，
∵DM＝3，EN＝5，∴．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，∴＝，∴，
∵OC＝3，HF＝4，OH＝m，∴OG＝3m．
∵GF＝＝＝4，
AD＝＝＝3，∴＝．
∵＝，∴AD：GF：AE＝3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）C（8，0）D（8，8）抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？
（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx，
得，，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）①∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴＝，即＝，∴PE＝AP＝t，PB＝8﹣t．
∴点E的坐标为（4+t，8﹣t）．
∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）2+4（4+t）＝﹣t2+8．
∴EG＝﹣t2+8﹣（8﹣t）＝﹣t2+t．
∵﹣＜0，∴当t＝＝4时，线段EG最长为2；
②∵Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），
∴EQ2＝（t﹣4）2+（8﹣2t）2，QC2＝t2，EC2＝（4+t﹣8）2+（8﹣t）2．
当△CEQ为等腰三角形时，分三种情况：
（Ⅰ）当EQ＝QC时，
（t﹣4）2+（8﹣2t）2＝t2，整理得13t2﹣144t+320＝0，
解得t＝或t＝＝8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；
（Ⅱ）当EC＝CQ时，
（4+t﹣8）2+（8﹣t）2＝t2，整理得t2﹣80t+320＝0，
解得t＝40﹣16，t＝40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）；
（Ⅲ）当EQ＝EC时，
（t﹣4）2+（8﹣2t）2＝（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t＝．
综上所述，存在时刻t1＝，t2＝，t3＝40﹣16，
能够使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）
【解析】（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，
∵∠C＝90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，∴，
∵AQ＝2t，AP＝t，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴，
∴PE＝，QE＝，
∴PQ2＝QE2+PE2，∴PQ＝t，
当Q与B重合时，PQ的值最大，
∴当t＝5时，PQ的最大值＝3；
（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S△AQP，
当Q在AB边上时，S＝AP•QE＝t•＝，（0＜t≤5）
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S四边形ABQP，
∴S四边形ABQP＝S△ABC﹣S△PQC＝×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）＝﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；
∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：
S＝．
（3）存在．
当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，
由（1）知QE＝，CE＝AC﹣AE＝8﹣，PQ＝t，
∴CQ＝＝＝＝2，
①当CQ＝CP时，即：2＝8﹣t，解得；t＝，
②当PQ＝CQ时，即；t＝2，解得：t＝，t＝8（不合题意舍去），
③当PQ＝PC时，即t＝8﹣t，解得：t≈3.4；
当点Q在BC边上时，
∵∠ACB＝90°，
∴△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ＝CP，
∴8﹣t＝16﹣2t，
∴t＝8，∴P，Q，C重合，不合题意，
综上所述：当t＝，t＝，t＝3.4时，△PQC为等腰三角形．
8．数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点C．求重叠部分（△DCG）的面积．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求出重叠部分（△DGH）的面积，请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM＝MN，求重叠部分（△DMN）的面积．任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是 ．
【解析】（1）【独立思考】
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠B＝∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE＝∠B．
∴∠FDE＝∠DCB，
∴DG∥BC．
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
∴DG⊥AC．
又∵DC＝DA，
∴G是AC的中点，
∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3，
∴S△DGC＝CG•DG＝×4×3＝6．
（2）【合作交流】如下图所示：
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B＝∠1．
∵∠C＝90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠2＝90°，
∴∠B＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴GH＝GD．
∵∠A+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠A＝∠3，
∴AG＝GD，
∴AG＝GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
∵D是AB中点，
∴AD＝AB＝5．
在△ADH与△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴，即，解得DH＝，
∴S△DGH＝S△ADH＝××DH•AD＝××5＝．
（3）【提出问题】解决“爱心”小组提出的问题．
如答图4，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK＝BC＝3．
∵DM＝MN，
∴∠MND＝∠MDN，由（2）可知∠MDN＝∠B，
∴∠MND＝∠B，
又∵∠DKN＝∠C＝90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴，即，得KN＝．
设DM＝MN＝x，则MK＝x﹣．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK2+DK2＝MD2，
即：（x﹣）2+32＝x2，解得x＝，
∴S△DMN＝MN•DK＝××3═．
9．（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）∵点B（4，m）在直线y＝x+1上，∴m＝4+1＝5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），
则PE＝|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|＝|﹣x2+3x+4|，DE＝|x+1|，
∵PE＝2ED，
∴|﹣x2+3x+4|＝2|x+1|，
当﹣x2+3x+4＝2（x+1）时，解得x＝﹣1或x＝2，但当x＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当﹣x2+3x+4＝﹣2（x+1）时，解得x＝﹣1或x＝6，但当x＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE＝＝|x﹣4|，CE＝＝，
BC＝＝，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、BE＝BC或CE＝BC三种情况，
当BE＝CE时，则|x﹣4|＝，解得x＝，此时P点坐标为（，）；
当BE＝BC时，则|x﹣4|＝，解得x＝4+或x＝4﹣，
此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
当CE＝BC时，则＝，解得x＝0或x＝4，当x＝4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）
或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
10．（2017•钦州模拟）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）联接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，
故抛物线函数解析式为：y＝x2+2x；
（2）∵AO为平行四边形的一边，
∴DE∥AO，DE＝AO，
∵A（﹣2，0），
∴DE＝AO＝2，
∵四边形AODE是平行四边形，
D在对称轴x＝﹣1的右侧，D点横坐标为：﹣1+2＝1，代入抛物线解析式得y＝3，
∴D的坐标为（1，3）；
（3）在y轴上存在点P，使得△POC与△BOF相似，理由如下：
由y＝x2+2x，顶点C的坐标为（﹣1，1），
∵tan∠BOF＝＝1，
∴∠BOF＝45°，
当点P在y轴的负半轴时，tan∠COP＝＝1，
∴∠COP＝45°，
∴∠BOF＝∠COP，
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象经过B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）
∴，∴，
∴y＝﹣2x﹣3；
令y＝0，则x＝﹣1.5．
∴F（﹣1.5，0），
∴OB＝3，OF＝1.5，OC＝，
①当△POC∽△FOB时，
则＝，即＝，∴OP＝，
∴P（0，﹣）；
②当△POC∽△BOF时，
∴＝，∴OP＝4，
∴P（0，﹣4），
∴当△POC与△BOF相似时，点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣4）．
11．（2019•剑阁县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求该函数的表达式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．
①求线段PQ的最大值；
②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
【解析】（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，
BC＝＝2，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，2），B（4，0）得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），
∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∵∠NBM＝∠NPQ，
∴△PQM∽△BOC，
∴＝，即PQ＝，
∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；
②当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△CBO，
此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，
∴此时P点坐标为（3，2）；
当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△CBO，
∵∠OBC＝∠NPQ，
∴∠CPQ＝∠MPQ，
而PQ⊥CM，
∴△PCM为等腰三角形，
∴PC＝PM，
∴t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，解得t＝，
此时P点坐标为（，），
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
【解析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，∴∠AOE＝30°，∴OE＝，AE＝1，
∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y＝ax2+bx得：
，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；
（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y＝x2﹣x＝（x2﹣2x）＝（x2﹣2x+1﹣1）＝（x﹣1）2﹣，
∴M点坐标为：（1，﹣），
∴tan∠FOM＝＝，
∴∠FOM＝30°，
∴∠AOM＝30°+120°＝150°；
（3）当点C在点左侧时，则∠BAC＝150°，而∠ABC＝30°，此时∠C＝0°，故此种情况不存在；
当点C在B点右侧时，
∵AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴AB＝2EO＝2，
当△ABC1∽△AOM，
∴＝，
∵MO＝＝，
∴＝，解得：BC1＝2，∴OC1＝4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，
∴＝，∴＝，解得：BC2＝6，∴OC2＝8，∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
13．（2020•碑林区校级二模）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C．且∠ACB＝90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB＝OC2
∴OB＝＝＝4，
∴m＝4，
∴B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）解得，，，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH＝EH＝7，
∴∠EAH＝45°，
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF＝DF＝3
∴∠DBF＝45°，
∴∠EAH＝∠DBF＝45°，
∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△BAE，则＝，
∴BP1＝＝＝∴OP1＝4﹣＝，∴P1（，0）；
②若△DBP2∽△BAE，则＝，
∴BP2＝＝＝
∴OP2＝﹣4＝，
∴P2（﹣，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．