第05讲 规律问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第05讲 规律问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共29页。教案主要包含了常见数字规律类型总结等内容，欢迎下载使用。

一、解题策略
规律探索题型一般可分为数的规律、式的规律、图形的规律、周期规律问题或与图形有关的操作变化过程的规律等类型；不管是哪种类型的规律问题，解决问题的实质性方法都大同小异，一个方向先将前三种、四种的结果呈现出来，通过结果发现规律；另一个方向是从前面几种结果的探索过程出现的一致性发现规律，我们简称为结果导向型和过程导向型。

二、常见数字规律类型总结
为了更方便的观察和得出规律，通常我们需要基础常见的规律类型总结：
（1）“等差型”


（2）“乘积型”



（3）“乘方型”（也叫“连乘型”）

（4）“递增型”

（3）“正负型”





【例题1】（2019•青海）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有　　个菱形……，第n个图中共有　　个菱形．

【解析】（1）第1个图形有菱形1个，
第2个图形有菱形4＝1+3个，
第3个图形有菱形7＝1+3×2个，
第4个图形有菱形10＝1+3×3个，
…，
第n个图形有菱形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个，
当n＝5时，3n﹣2＝13，
故答案为：13，（3n﹣2）．



【例题2】（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是　　．

【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，
故答案为2019


【例题3】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个点．

【答案】135．



【例题4】如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）

A．2017π　　　B．2034π　　　C．3024π　　　D．3026π
【答案】D．
【解析】∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是： =2π，转动第二次的路线长是： =π，转动第三次的路线长是： =π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，∵2017÷4=504…1，∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，故选D．


【例题5】（2019•铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是　　．（n为正整数）
【解析】第1个数为（﹣1）1•，第2个数为（﹣1）2•，
第3个数为（﹣1）3•，第4个数为（﹣1）4•，…，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．




【例题6】（2019•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝　　．

【解析】直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A（﹣，0）A1（0，1）
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，
∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：Sn＝
故答案为：．

【例题7】设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S1=______，Sn可表示为______．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)

答案：，

【例题8】（2019•朝阳）如图，直线y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，An﹣1Bn﹣1Cn﹣1An中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为　　．

【解析】在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3；
∴OA＝1，OM＝3，
∴tan∠AMO＝，
∵∠OAB+∠OAM＝90°，∠AMO+∠OAM＝90°，
∴∠OAB＝∠AMO，
∴tan∠OAB＝，∴OB＝．
∵，∴，
易得tan，
∴，∴，
∴，
同理可得，，…，＝．
故答案为：．






1．（2019•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　　）

A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
【解析】根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6＝600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
故选：B．
2．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【解析】∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
3．（2019•赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（　　）

A．22019 B． C． D．
【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，
故选：C．
4．（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（　　）

A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
【解析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2019÷4＝504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．
∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．
故选：A．
5．（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　）

A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，
∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n﹣1＝；
故选：D．
6．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解析】点运动一个用时为÷π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．

7．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　）

A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4＝504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）．
故选：C．
8．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　）

A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为（，﹣）
故选：A．
9．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（　　）

A．（）n B．（）n+1 C．（）n﹣1+ D．
【解析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；
则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；
同理可得A3的纵坐标为，
…按此规律，则点An的纵坐标为（）n，
故选：A．
10．（2019•内江）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（　　）

A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【解析】∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
故选：C．
11．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是　（，）　．

【解析】由题意知，
A1（，），A2（1，0），A3（，），A4（2，0），A5（，﹣），A6（3，0），A7（，）
…
由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，
∴A2019（，），
故答案为：（，）．
12．（2019•抚顺）如图，直线l1的解析式是y＝x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn＝　（﹣）×（）2n﹣2　．（用含有正整数n的式子表示）

【解析】过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，
∵点A1在l1上，A1的横坐标为，点A1（，），
∴OD＝，A1D＝，
∴OA1＝＝＝，
∴在Rt△A1OD中，A1D＝OA1，
∴∠A1OD＝30°，
∵直线l2的解析式是y＝x，
∴∠B1OD＝60°，
∴∠A1OB1＝30°，
∴A1B1＝OA1•tan∠A1OB1＝1，
∵A1B1⊥l1交l2于点B1，
∴∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝120°，
∴∠B1A1C1＝60°，
∵四边形A1B1B2C1是菱形，
∴△A1B1C1是等边三角形，
∴S1＝2（S﹣S）＝2×（﹣×12）＝﹣，
∵A1C1∥B1B2，
∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，
∴A2C1＝，A2B2＝A2C1+B2C1＝，∠A2B2O＝60°，
同理S2＝2（S﹣S）＝2×[﹣×（）2]＝（﹣）×（）2，
S3＝（﹣）×（）4，
…
∴Sn＝（﹣）×（）2（n﹣1）＝（﹣）×（）2n﹣2．
故答案为：（﹣）×（）2n﹣2．
13．（2019•鸡西）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝　22017　．

【解析】∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝＝1，
同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2019＝22017，
故答案为：22017．

14．（2019•聊城）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为　4﹣　（n≥3，n是整数）．

【解析】由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，
故线段AnA的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．故答案为：4﹣．
15．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣1010，10102）　．

【解析】∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
16．（2019•营口）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y＝x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是　　．

【解析】∵y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，
∴，
在y＝中，当x＝﹣1时，y＝﹣，
∴，
设直线A2B1的解析式为：y＝kx+b，
可得：，解得：，
∴直线A2B1的解析式为：，
令y＝0，可得：x＝﹣，∴C2（﹣，0），
∴＝，
∵△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴△C1B1B2∽△C2B2B3，
∴，
∴，
同理可得：…，
∴△C2019B2019B2020的面积＝，
故答案为：．

17．（2019•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝　×42018　．

【解析】∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴＝，
∴＝，
∴A1D1＝，
同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，
∴S2019＝×42018，故答案为：×42018．
18．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　﹣31009　．

【解析】由题意可得，
A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，
可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n
∵2019＝2×1009+1，
∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，
故答案为：﹣31009．
19．（2019•泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是　2（2n﹣1）　．
【解析】由题意可得，
点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：2（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝2（1+2+4+8+…+2n﹣1），
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：2×（2n﹣1），
故答案为：2（2n﹣1），
20．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是　（47，16）　．

【解析】∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，
∴C1（，），
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，
∴C2（2，），
C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝2，代入y＝x+求得横坐标为5，
∴C3（5，2），
∴C4（11，4），
C5（23，8），
∴C6（47，16）；
故答案为（47，16）．
21．（2019•铁岭）如图，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为点C2，过点C2作C2A2∥C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1；过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为点C3，过点C3作C3A3∥C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2；过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为点C4，过点C4作C4A4∥C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3；……按照上面的作法进行下去，则△An+1Cn+1∁n的面积为　　．（用含正整数n的代数式表示）

【解析】∵A1C1＝A1O＝2，A1C2⊥OC1，
∴OC2＝C2C1，
∵∠A1OC1＝30°，
∴A1C2＝OA1＝1，
∴C1C2＝＝＝，
∵C2A2∥C1A1，
∴△OA2C2∽△OA1C1，
∴＝，
∴A2C2＝A1C1＝1，
同理，A2C3＝A1C2＝，
∴S＝C1C2•A2C3＝××＝，
同理，C2C3＝＝＝，
A3C3＝A2C2＝，
A3C4＝A2C3＝×＝，
∴S＝C2C3•A3C4＝××＝，
同理，C3C4＝＝＝，
A4C4＝A3C3＝，
A4C5＝A3C4＝，
∴S＝C3C4•A4C5＝××＝…，
∴S＝，故答案为：．
22．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　（﹣1）n+1（）　．（用含n的式子表示）

【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1，），
∴k＝，
∴y＝和y＝﹣，
过A2作A2D2⊥x轴于D2，
∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，
设A2（x，﹣），则A2D2＝，
Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，
∴ED2＝，
∵OD2＝2+＝x，
解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，
∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，
A2D2＝＝＝，
即A2的纵坐标为﹣；
过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，
设A3（x，），则A3D3＝，
Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，
∴FD3＝，
∵OD3＝2+2﹣2+＝x，
解得：x1＝（舍），x2＝+；
∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，
A3D3＝＝＝（﹣），
即A3的纵坐标为（﹣）；
…
∴An（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；
故答案为：（﹣1）n+1（）；



23．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为　（﹣（）2018，（）2019）　．

【解析】过A1作A1C⊥x轴于C，
∵四边形OAA1B是菱形，
∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，
∴A1C＝，AC＝，
∴OC＝OA+AC＝，
在Rt△OA1C中，OA1＝＝，
∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，
∴∠A3A2B1＝90°，
∴∠A2B1A3＝60°，
∴B1A3＝2，A2A3＝3，
∴OA3＝OB1+B1A3＝3＝（）3
∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（）2，
设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，
于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1＝＝（）1，
∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，2），
∵菱形OA3A4B3的边长为3＝（）3，
∴OA4＝9＝（）4，
设B2A4的中点为O2，
连接O2A3，O2B3，
同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（）2，
∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，3），…以此类推，菱形菱形OA2019A2020B2019的边长为（）2019，
OA2020＝（）2020，
设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，
求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（）2018，
∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，
∵2018÷12＝168…2，
∴点O2018在射线OB2上，
则点O2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），
即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019），
故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．

24．（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△On﹣1BAn，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△On﹣1OnAn﹣1的面积为Sn，则Sn＝　（）n﹣1•　．（n≥2，且n为整数）

【解析】由题意：△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2，…，∽△On﹣1OnAn﹣1，
相似比：＝＝sin60°＝，
∵S1＝＝×1×＝，＝，
∴S2＝S1，S3＝（）2•S1，…，Sn＝（）n﹣1•S1＝（）n﹣1•，
故答案为：（）n﹣1•．
25．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…△AnBn∁n都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3…∁n都在直线l：y＝x+上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥An∁n∥x轴，若点A的横坐标为﹣1，则点∁n的纵坐标是　　．

【解析】由题意A（﹣1，1），可得C（0，1），
设C1（m，m），则m＝m+，解得m＝2，
∴C1（2，2），
设C2（n，n﹣2），则n﹣2＝n+，解得n＝5，
∴C2（5，3），
设C3（a，a﹣5），则a﹣5＝a+，解得a＝，
∴C3（，），同法可得C4（，），…，∁n的纵坐标为，
故答案为．
26．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为　　（结果用含正整数n的代数式表示）

【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，

∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝．
故答案为：．

27．如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S1=　　，Sn=　　（用含n的式子表示）．

【解析】∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，
∴S△AB1C1=×1×1=，
连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1
∵∠B1C1B2=90°
∴A1B1∥B2C1
∴△B1C1B2是等腰直角三角形，且边长=1，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1=1：1，
∴S1=×=，
故答案为：；
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2D2：D2C2=1：2，
∴S2=×=，
同理：B3B4：AC3=1：3，
∴B3D3：D3C3=1：3，
∴S3=×=，∴S4=×=，…∴Sn=故答案为：．

28．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　．（用含n的式子表示）

【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即Sn：=，
∴Sn=．故答案为：．
29. 如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D．
【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．直线上点的坐标与方程的关系；3．相似三角形的判定和性质．
【解答】
∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，
∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2）．
同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），
B3（2，6）…
∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1． ∴.
∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2． ∴A1B1边上的高为：.
∴.
同理可得出：，……
∴．故选D．
30. 在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、、、…，则的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）．

【答案】．

故答案为：．
31. 如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　　．

【解答】方法一：
解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B1是△OBA的重心，也是内心，∴∠BOB1=30°，
∵△OB1A1是等边三角形，∴∠A1OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，
∵cos∠B1OM=cos30°==，
∴===，即=，
∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=，
同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=，
…，
∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即构造出的最后一个三角形的面积是．故答案为．

方法二：
∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°，
∴每构造一次增加30°，
∴n==10，
∵△OBA∽△OB1A1，
∴⇒，
∵S△OBA=1，
∴S△OB1A1=，q=，∴S△OB10A10=．