第02讲 旋转问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第02讲 旋转问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共21页。教案主要包含了位似的理解等内容，欢迎下载使用。

一、旋转的理解
1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；
2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB≌△A1OB1；
3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；
4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰△AOA1∽等腰△BOB'1；
5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形等；
6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB与A1B1所在直线的夹角等
于∠AOA1；
7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA1与BB1)的夹角等于∠AOB。







图1 图2

二、位似的理解
1. 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比，如图2所示；
2. 位似前后的两个图形相似，即位似不改变图形的形状，它可以将一个图形进行放大或缩小；
3. 图形的位似，本质上是图形上的点在共顶点的直线上的同步运动。






旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等
1. 如图1-1，△ABC绕点A旋转到△AB1C1，则有△ABB1≌△ACC1（SAS）；
2. 如图1-2，若△ABC与△AED式等边三角形，则△ABE≌△ACD（SAS）；
3. 如图1-3，若△ABC与△AED式等腰直角三角形，则△ABD≌△ACE（SAS）；

图1-1 图1-2 图1-3

旋转运用<2>：角含半角旋转模型
1. 如图2-1，在正方形 ABCD中，若∠EBF=45°，
将△BAE绕点B旋转至△BCG，则有①EF=AE+CF；
②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.
2. 如图2-2，在四边形ABCD中，若BA=BC，
∠ABC+∠D=180°，且∠EBF=∠ABC， 图2-1
则有①EF=AE+CF；②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.

3. 如图2-3，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，
可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；
4. 如图2-4，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，
可将△ABD绕点A旋转至△ACF，仍有DE2=BD2+CE2；
5. 如图2-5，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=135°， 图2-2
可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；




图2-3 图2-4 图2-5



旋转运用<3>：对角互补模型
1. 如图3-1，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB+AC=AD；
2. 如图3-2，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB-AC=AD；

图3-1 图3-2
3. 如图3-3，已知等边△ABC，且∠BPC=120°，则有PA=PB+PC；
4. 如图3-4，已知等边△ABC，且∠BPC=30°，则有PA2=PB2+PC2；

图3-3 图3-4
5. 如图3-5，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=60°，则有PB+PC=PA；
6. 如图3-6，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=120°，则有PC-PB=PA；

图3-5 图3-6

旋转运用<4>：旋转相似模型
1. 如图4-1，已知等腰△ABC，AB=AC，将△ABD旋转至△ACE，则有△ADE∽△ABC；
2. 如图4-2，若△ADE∽△ABC，则有△ADE∽△ABC；

图4-1 图4-2
旋转运用<5>：费马旋转模型
1. 如图5-1，在△ABC中找一点P，使得AP+BP+CP的值最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AQE，则有AP+BP+CP=PQ+BP+QE≥BE，当且仅当B、P、Q、E四点共线时取得最小值为BE，且此时有
∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

图5-1
2. 如图5-2，等腰△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内部一点，且AP=1，CP=，∠APC=120°，
求BP的长。（将△APB绕点A逆时针旋转120°至△ADC，连接PD计算可得BP=）
3. 如图5-3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内部一点，且CP=1，AP=，BP=，
求∠APC的度数。（将△APB绕点A逆时针旋转90°至△ADC，连接PD计算可得∠APC=135°）

图5-2 图5-3


【例题1】（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．

【解答】解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB＝6，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝9，
∴AD＝9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，
tan30°＝＝，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝90°，又AB＝6，AE＝8，
∴BE＝10，
∴AD＝．
【例题2】（1）如图1，已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且∠ADB=45°，BD=4，CD=，求AD的长.
（2） 如图2，已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且∠ADB=75°，BD=6，AD=，求CD的长.
（3） 如图3，在四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°，若AB=4，AD=3，求对角线AC的最大值.

图1 图2 图3

解：如图（1）AD=；（2）CD=BE=14；（3）AC最大值=
【例题3】如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=，AC=，将△ABC绕着点A旋转得到△ADE，连接DB、EC，直线DB、EC相交于点F，点P是AC中点，线段PF的最大值为_________.

解：旋转相似，辅助圆，答案为


【例题4】（1）如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
（2）如图2，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
（3）如图3，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

图1 图2 图3
【解答】解：（1）如图，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC+CD
（2）BC+CD＝AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，
易得，在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AC，
∵CE＝CD+DE＝CD+BC，
∴BC+CD＝AC；
（3）BC+CD＝2AC•cosα．理由：如图2，
延长CD至E，使DE＝BC，
∵∠ABD＝∠ADB＝α，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣2α，
∵∠ACB＝∠ACD＝α，
∴∠ACB+∠ACD＝2α，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠AED＝α，AC＝AE，
∴∠AEC＝α，
过点A作AF⊥CE于F，
∴CE＝2CF，在Rt△ACF中，∠ACD＝α，CF＝AC•cos∠ACD＝AC•cosα，
∴CE＝2CF＝2AC•cosα，
∵CE＝CD+DE＝CD+BC，
∴BC+CD＝2AC•cosα．
【例题5】【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝4，BC＝3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△BEF，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图①，则DE＝　　．
【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ADB≌△EDB；
（2）CG的长为　　．
【拓展】连结CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S，直接写出S的取值范围．

【解答】【操作】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴BD＝＝＝5，
由旋转的性质得：BE＝BA＝4，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣4＝1；
故答案为：1；
【探究】（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD，
∴∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA，
∴∠BED＝180°﹣∠BEF＝90°＝∠A，
在Rt△ADB和Rt△EDB中，，
∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠ABD＝∠EBD，
∴∠CDB＝∠EBD，
∴DG＝BG，
设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，即CG＝；故答案为：；
【拓展】解：∵△CEF的边长EF＝AD＝3，
∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；
当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，如图③所示：
此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝4﹣3＝1，
△CEF的面积S最小＝EF×CE＝×3×1＝；
当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，如图④所示：
此时CE⊥EF，CE＝BE+BC＝4+3＝7，
△CEF的面积S最大＝EF×CE＝×3×7＝；
∴S的取值范围为≤s≤．

【例题6】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为　　．

【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．
在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝2，
∴AN＝AB＝，BN＝＝3，
∴BC＝6．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
∵BD＝2CE，BD＝CF，∠ACF＝∠B＝30°，
∴设CE＝2x，则CM＝x，EM＝x，FM＝4x﹣x＝3x，EF＝ED＝6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE＝6﹣6x，FM＝3x，EM＝x，
∴EF2＝FM2+EM2，即（6﹣6x）2＝（3x）2+（x）2，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴DE＝6﹣6x＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
















【例题7】如图，如四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积.




















1．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．
故选：A．






2．（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　24+16　．

【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，

根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16
故答案为：24+16

3．（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝　　．

【解答】解：如图，连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2，
∴AB＝BC＝2，BD＝BE＝2，
∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠D′＝∠CE′B＝45°，
过B作BH⊥CE′于H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝+，
故答案为：．

4．（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　6　．

【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝3，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．
故答案为6．

5．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为　8　．

【解答】解：过点A作AM⊥BC于M，
∵BD＝DC＝2，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝×6＝3，
∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，
∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；
故答案为：8．









6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，连接DC并延长交AE于点F，若CF＝1，CD＝2，则AE的长为　2　．

【解答】解：延长AC交DE于H，连接BH、BF，BH与DF交于N，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝90°，
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，
∴∠ABE＝90°，AB＝BE，∠CBD＝90°，∠BDE＝90°，BC＝BD，
∴四边形BCHD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，
∴∠HCD＝∠DBH＝45°，∠AHD＝90°，BH⊥DF，BN＝CN＝DN＝CD＝1，
∴∠AHE＝90°，FN＝CF+CN＝1+1＝2，
∴BF＝＝＝，
∵∠AHE＝∠ABE＝90°，
∴A、B、H、E四点共圆，
∴∠EAH＝∠EBH，
∵∠EFD＝∠EAH+∠FCA＝∠EBH+∠HCD＝∠EBD，
∴B、D、E、F四点共圆，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴BF⊥AE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝2BF＝2，（或者∠FEB=∠FDB，故E、F、D、B四点共圆可得∠BFE=90°）
故答案为：2．











7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F
（1）求证：CE＝CF；
（2）求线段EF的最小值；
（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．

【解答】（1）证明：如图1，设AC于点DE交于点G，则EG＝DG，且ED⊥AC，
∵DF⊥DE，
∴∠EGC＝∠EDF＝90°，
∴AC∥DF，且G为ED中点，
∴EC＝FC；
（2）解：由（1）知，EF＝2CD，
∴当线段EF最小时，线段CD也最小，
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，
∵AB是半圆O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝8，∠CBA＝30°，
∴AC＝4，BC＝4，
当CD⊥AD时，CD＝BC＝2，
此时EF＝2CD＝4，
即EF的最小值为4；

（3）解：当点D从点A运动到点B时，如图2，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

由（2）知AC＝4，BC＝4，
∴S△ABC＝•AC•BC＝×4×4＝8，
∴线段EF扫过的面积是16．








8．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究
小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC，BD为对角线，．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．

【解答】解：（1）AB＝BC，
理由：∵四边形ABCD是凸四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是“等邻边四边形”．
（2）①正确；理由为：
∵四边形的对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD是矩形
∵四边形是“等邻边四边形”，
∴这个四边形有一组邻边相等，
∴四边形ABCD是菱形
∴对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形，
（3）BC2+CD2＝2BD2
证明：如图，
∵AB＝AD，
∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，
∴∠ABF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，AF＝AC，FB＝CD，
∴∠BAD＝∠CAF，，
∴△ACF∽△ABD，
∴，
∵，
∴，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠BAD+∠BCD）＝360°﹣90°＝270°
∴∠ABC+∠ABF＝270°，
∴∠CBF＝90°，
∴
∴BC2+CD2＝2BD2．

9．如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，∠MPN的度数是　120°　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸
若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE＝4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是　等腰　三角形．
②直接利用①中的结论，求△PMN面积的最大值．

【解答】解：（1）结论：PM＝PN，120°．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∵AD＝AE，∴BD＝EC，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM＝EC，PN＝BD，PM∥AC，PN∥AB，
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°
∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°
故答案为PM＝PN，120°．

（2）如图2中，连接BD、EC．
①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵BA＝CA，DA＝EA，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝CE，∴PN＝PM，
∴△PMN是等腰三角形．
②∵PN∥BD，PM∥EC
∴∠PNC＝∠DBC，∠DPM＝∠A＝ECD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ECD+∠PNC+∠DCB＝∠ECD+∠DCB+∠DBC＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝∠ABD+∠ACB+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝120°．
（3）①△PMN是等腰直角三角形；
②∵PM＝PN＝BD，
∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝16，∴PM＝8，∴S△PMN最大＝PM2＝×82＝32．
10．在△ABC中，∠ABC＝60°
（1）AB＝AC，PA＝5，PB＝3
①如图1，若点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数．
②如图2，若点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．
（2）如图3，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是　2　．

【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
①如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP′，连接PP′，
∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形；
∴PP′＝PB，∠BPP′＝60°，
由旋转的性质得，P′C＝PA＝5，
∵PP′2+PC2＝32+42＝25＝P′C2，
∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP′+∠CPP′＝60°+90°＝150°；

②如图2中，以AP为边向上作等边△PAE，作EF⊥BP交BP的延长线于F．
∵∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠PAC，
∵AE＝AP，AB＝AC，
∴△EAB≌△PAC（SAS），
∴BE＝PC，
∵∠APE＝∠APB＝60°，
∴∠EPF＝180°﹣60°﹣60°＝120°，
∵PE＝PA＝5，
∴PF＝PE•cos60°＝，EF＝PE•sin60°＝，
∴BF＝BP+PF＝3+＝，
∴BE＝＝＝7，
∴PC＝PE＝7．


（2）如图3中，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，
∵∠ABP＝∠EBF，
∴∠EBF+∠BC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC的长，
在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，
∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，
∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，
∴EC＝＝＝2．

11．（2018•天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标．
（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，
∵A（5，0），B（0，3），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD＝AO＝5，
在Rt△ADC中，CD＝＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝1，
∴D（1，3）．

（Ⅱ）①如图②中，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE＝90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB＝90°，
由（Ⅰ）可知，AD＝AO，又AB＝AB，∠AOB＝90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD＝∠BAO，
又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠CBA，
∴BH＝AH，设AH＝BH＝m，则HC＝BC﹣BH＝5﹣m，
在Rt△AHC中，∵AH2＝HC2+AC2，
∴m2＝32+（5﹣m）2，
∴m＝，∴BH＝，∴H（，3）．
（Ⅲ）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，
最小值＝•DE•DK＝×3×（5﹣）＝，

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，
最大面积＝×D′E′×KD′＝×3×（5+）＝．
综上所述，≤S≤．