初中数学中考复习 第10讲 垂直问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)原卷板

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点

一线三垂直

如图1：若，且，则

如图2：若，且，则

                         图1                                    图2

射影定理

如图3/4：中，，，则有如下结论成立：

AC2=AD·AB

CD2=DA·DB

CB2=BD·BA

                         图3                                    图4

构造“一线三直角”

（1）如图1/2/3：过的直角顶点，作一条直线，再分别过点A,C向其作垂线，垂足分别为点D、E，则截有结论成立：

                    图1                        图2                     图3

（2）在平面直角坐标系中，常常化斜为直，作“横平竖直辅助线”构造三角形相似，如图4，当见到AB⊥CD时，若过A、B、C、D四个顶点作“水平线”与“竖直线”，则有

图4

（3）除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形ABCD中，EF⊥HG这种“十字架垂直”时，分别过E、H作“水平线”与“竖直线”，则有，若正方形，则相似变为全等.

图5

【例题1】将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是______.

【例题2】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，∠A＝30°，则k的值为　　．

【例题3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为　　．

【例题4】在平面直角坐标系中，点A（1,3）B（2，-1），在一次函数的图像上是否存在点P，使得∠APB=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【例题5】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

1. 如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图1，对称轴为直线x＝的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

4. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴上，点B（b，0）是x轴上一动点，且﹣4＜b＜0，△ABC是以AB为直角边，B为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）求点C的坐标（用含b的式子表示）；

（2）以x轴为对称轴，作点C的对称点C′，连接BC′、AC′，请把图形补充完整，并求出△ABC′的面积（用含b的式子表示）；

（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数是否发生变化，若变化请说明理由；若不变化，请直接写出∠OAC′的度数．

5. 如图，△ACB为等腰直角三角形，A（﹣1，0），C（1，3），AC⊥BC，求B点坐标．

6. 在正方形ABCD中，点H，E，F分别在边AB，BC，CD上，AE⊥HF于点G．

（1）如图1，求证：AE＝HF；

（2）如图2，延长FH，交CB的延长线于M，连接AC，交HF于N．若MB＝BE，EC＝2BE，求的值；

（3）如图3，若AB＝2，BH＝DF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为　　．（直接写出结果）

7. （2019•武汉模拟）（1）如图1，已知DB⊥BC，AC⊥BC，垂足分别为点B，C，AE⊥CD于点F，求证：；

（2）在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD于F点

①如图2，若∠ACB＝90°，tanB＝，且AE＝2CD，求的值；

②如图3，若∠ACB≠90°，tanB＝2，且AE＝2CD．求的值．

8. 已知在平面直角坐标中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，

（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；

（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，求的值．

9. 如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A、B两点，点C为第三象限内一点．

（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；

（2）当k＝﹣，且CA＝CB，∠ACB＝90°时，求C点的坐标；

（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

10.（2019•扬州一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为　　；

（2）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；

（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．

11. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

（2）点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．