第06讲 动点问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第06讲 动点问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共22页。教案主要包含了数轴工具，总结提炼等内容，欢迎下载使用。

一、行程问题公式
路程=速度×时间，即



二、数轴工具
1. 数轴上的每一个点与实数之间的一一对应关系；
2. 数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；
3. 数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点.

三、总结提炼
1. 针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；
2. 求出所有动点在“起点、拐点、终点”对应的时间；
3. 可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；
4. 画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；
5. 掌握动点所经过的路程与相关线段长度之间的区别与联系.
6. 解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想．












【例题1】（2019•大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：与行走时间（单位：的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：与甲行走时间（单位：的函数图象，则　　．

【解析】从图1，可见甲的速度为，
从图2可以看出，当时，二人相遇，
即：，解得：乙的速度，
乙的速度快，从图2看出乙用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，
，
故答案为．

【例题2】已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、与点、，垂足为．

（1）如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
（2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
的垂直平分线，，
在和中，
，，，
，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形．
，
设，则，，
四边形是矩形，
在中，
由勾股定理得：，解得，即；

（2）显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，
，解得．
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．

【例题3】将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒．
（1）用含的代数式表示，；是否存在，使得与平行？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（2）求面积的最大值．
（3）如图，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，且点的坐标，求的值．

【解析】（1），，，
，，
四边形是矩形，
，，，
动点从点以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．
当点的运动时间为（秒时，
，，
则；
存在，与平行，
当时，，即，；
（2），
运动到点时，，
运动到点时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，的最大值为；
（3），
，
设，则，，
在中，，
，，
，．

【例题4】（2019春•西湖区校级月考）如图，等边的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿方向以的速度运动．
（1）若动点、同时出发，经过几秒第一次垂直于？
（2）若动点、同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点、、以及的边上一点恰能构成一个平行四边形？求出时间并请指出此时点的具体位置．

【解析】（1）如图1，
，，
，
，

；
（2）如图2，当点在上，点在上时，
四边形是平行四边形，
，，
，且，
是等边三角形，
，
，
，
，
点在上，且离点；
如图3，当点在上，点在上时，
四边形是平行四边形，
，，
，且，
是等边三角形，
，
，
，
，
点在上，且离点；
如图4，当点在上，点在上时，
四边形是平行四边形，
，，
，且，
是等边三角形，
，
，
，
，
点与点重合，不合题意舍去；
综上所述：运动到第1秒或第3秒时，点、、以及的边上一点恰能构成一个平行四边形，点在上，离点或点在上，离点．




【例题5】（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点的运动速度为　　，的长度为　　；
（2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，
①求动点运动速度的取值范围；
②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）时，函数图象发生改变，
时，运动到点处，
动点的运动速度为：，
时，，
时，运动到点处，
，故答案为：2，10；
（2）①两动点，在线段上相遇（不包含点，
当在点相遇时，，当在点相遇时，，
动点运动速度的取值范围为；
②过作于，交于，如图3所示：
则，，
，
，，解得：，
，，，
，
，
，
，
，在边上可取，
当时，的最大值为．

【例题6】如图， 已知直角梯形中，，，，，
，为的直径， 动点从点开始沿边向点以的速度运动， 动
点从点开始沿边向点以速度运动 ．、分别从点、同时出发， 当其
中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为，问：
（1）为何值时，、两点之间的距离为？
（2）分别为何值时， 直线与相切？相离？相交？

【解析】 （1），，如图 1 ：作于，．
由勾股定理， 得，解得或 8 ；
（2） 当与相切时， 如图 2 ，
由相切， 得，，，
直线与相切，或；
当，当时运动停止，
相交或；
相离．

【例题7】如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式；
(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．




【例题8】已知，如图①，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝＝4，
由平移的性质得MN∥AB，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥AB，∴＝，∴＝，t＝，
（2）过点P作PE⊥BC于E，如图
∵△CPE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝﹣t，
∵PE⊥BC，
∴S△QMC＝S△QPC，
∴y＝S△QMC＝QC•PE＝t（﹣t）＝t﹣t2（0＜t＜4），
（3）∵S△QMC：S四边形ABQP＝1：4，
∴S△QPC：S四边形ABQP＝1：4，
∴S△QPC：S△ABC＝1：5，
∴（t﹣t2）：6＝1：5，
∴t＝2，
（4）若PQ⊥MQ，
则∠PQM＝∠PEQ，
∵∠MPQ＝∠PQE，
∴△PEQ∽△MQP，
∴＝，
∴PQ2＝MP•EQ，
∴PE2+EQ2＝MP•EQ，
∵CE＝，
∴EQ＝CE﹣CQ＝﹣t＝，
∴（）2+（）2＝5×，
∴t1＝0（舍去），t2＝，
∴t＝时，PQ⊥MQ．






1．（2019•营口）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，，设点运动的时间为，若是以为底的等腰三角形，则的值为　　．

【解析】如图，过点作于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，

故答案为：．
2．（2019•乐山）如图1，在四边形中，，，直线．当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示，则四边形的周长是　　．

【解析】，直线，
，
由图可得，
，
，
，
由图象可得，
，，，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
四边形的周长是：，
故答案为：．

3．（2019•菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是　，或，　．

【解析】直线交轴于点，交轴于点，
令，得，令，得，
，．，
，，
，
设与直线相切于，
连接，
则，，
，，
，
，
，
，
或，
，或，，
故答案为：，或，．
4．（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【解析】（1）由图可得，
小王的速度为：，
小李的速度为：，
答：小王和小李的速度分别是、；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数解析式为，，得，
即线段所表示的与之间的函数解析式是．

5．（2019•青岛）已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分 ．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作，交于点，过点作，分别交，于点，．连接，．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，点在的平分线上？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）在中，，，，
，
垂直平分线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
易知：，，
当点在的平分线上时，
，，
，
，
．
当为4秒时，点在的平分线上．

（2）如图，连接，．


．

（3）存在．
，
时，四边形的面积最大，最大值为．

（4）存在．如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，整理得：，解得或10（舍弃）
当秒时，．

6．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．设运动的时间为秒，．
（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：　　；
（2）当时，求的值；
（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由．

【解析】（1）过点作于点，如图1所示．
当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
．
故答案为：．
（2）当时，，
整理，得：，
解得：，．
（3）经过点的双曲线的值不变．
连接，交于点，过点作于点，如图2所示．
，，
．
，，，．
，
．
在中，，，
，，
点的坐标为，，
经过点的双曲线的值为．

7．如图，矩形的顶点的坐标为，定点的坐标为，其中，分别为方程的两根，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒
（1）　8　，　　
（2）当取何值时，与矩形面积比为？
（3）当取何值时，的边经过点？
（4）设和矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式
【解析】（1）解方程得，，
方程的两根，
，，
故答案为：8，3；

（2）由（1）知点，
，，
则，
由得，
根据题意知，，
，
，解得，
则；
，且为等腰直角三角形，
斜边上的高为，
则，
解得或（舍去），
故时，与矩形面积比为；

（3）的边经过点时，构成等腰直角三角形，
，即，
．
即当秒时，的边经过点．
故答案为：1；

（4）①当时，如答图1所示．设交于点，
过点作于点，则，．


；
②当时，如答图2所示．
设交于点，交、于点、．
过点作于点，则，．
，则，
．


；
③当时，如答图3所示．
设与交于点，则．
，
．



．
综上所述，关于的函数关系式为：．
8．（2019•句容市模拟）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．
（1）填空：　　，　　；
（2）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点在抛物线上，且的面积与的面积相等，求出点的坐标．

【解析】（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，
，
（2）在点、运动过程中，不可能是直角三角形．
理由如下：连结．
在点、运动过程中，、始终为锐角，
当是直角三角形时，则．
将代入抛物线的解析式得：，
．
，
，
在中，依据勾股定理得：
在中，依据勾股定理可知：
在中依据勾股定理可知：，在中，
，即
解得：，
由题意可知：
不合题意，即不可能是直角三角形．
是与的公共边
点到的距离等于点到的距离
即点到的距离等于
所以的纵坐标为4或
把代入得
，解得，
把代入得
，解得，
或，或，



9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）直接写出当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上运动时，四边形ADEC的面积为S．
①求证：四边形ADEC为平行四边形．
②写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵B（0，6），∴OB＝6，
点C运动到线段OB的中点时，BC＝3，∴t＝，
则OP＝，OE＝OP+PE＝OP+OA＝，
∴E（，0）；
（2）①如图1，连接CD交OP于点G，
在平行四边形PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，
∵AO＝PO，
∴AG＝EG，
∴四边形ADEC是平行四边形；
②∵AE＝t+6，OC＝6﹣2t，
∴s＝×AE×OC×2＝（t+6）×（6﹣2t）
＝36﹣6t﹣2t2 （ 0＜t＜3 ）
（3）如图2，当点C在线段OB上时，OC＝PC，
则∠CPO＝30°，tan∠CPO＝，
即＝，解得，t＝，
如图3，当点C在线段OB延长线上时，
＝，解得，t＝．