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    2020版高考数学(天津专用)大一轮精准复习精练:5.2 平面向量数量积与应用 Word版含解析【KS5U 高考】

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    这是一份2020版高考数学(天津专用)大一轮精准复习精练:5.2 平面向量数量积与应用 Word版含解析【KS5U 高考】,共8页。

    5.2 平面向量数量积与应用

    挖命题

    【考情探究】

    考点

    内容解读

    5年考情

    预测热度

    考题示例

    考向

    关联考点

    1.平面向量的数量积

    1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义

    2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系

    3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算

    4.理解数量积的性质并能运用

    2014天津,8

    基底法线性表示向量

    向量的共线表示

    ★★★

    2.平面向量数量积的应用

    1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题

    2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系

    3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题

    2015天津,14

    向量方法解决平面几何问题

    基本不等式

    ★★★

    分析解读  在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.

     

     

    破考点

    【考点集训】

    考点一 平面向量的数量积

    1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120°,C是线段AB上不与AB重合的动点.MN是圆O的一条直径,·的取值范围是(  )

    A.    B.[-1,1)    C.    D.[-1,0)

    答案 A 

    2.(2012北京,13,5)已知正方形ABCD的边长为1,EAB边上的动点,·的值为    ;·的最大值为    . 

    答案 1;1

    考点二 平面向量数量积的应用

    3.已知向量||=2,||=1,|-2|=2,则向量的夹角为(  )

    A.30°    B.60°    C.120°    D.150°

    答案 C 

    4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),|2a-b|的最大值,最小值分别是(  )

    A.4,0    B.4,4    C.4,0    D.16,0

    答案 A 

    5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2),a(2a+b),a,b的夹角为    . 

    答案 

    炼技法

    【方法集训】

    方法1 求平面向量的模的方法

    1.已知平面向量,满足||=||=1,·=-,||=1,||的最大值为(  )

    A.-1    B.-1    C.+1    D.+1

    答案 D 

    2.ABC,BAC=60°,AB=5,AC=4,DAB上一点,·=5,||等于(  )

    A.6    B.4    C.2    D.1

    答案 C 

    3.已知向量a与向量b的夹角为,|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(xRx0,yR),的最大值为(  )

    A.    B.    C.    D.3

    答案 A 

    方法2 求平面向量的夹角的方法

    4.ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为(  )

    A.30°    B.60°    C.120°    D.150°

    答案 C 

    5.e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为(  )

    A.30°    B.60°    C.90°    D.120°

    答案 D 

    6.已知|a|=,a·b=-,(a-b)·(a+b)=-15,则向量ab的夹角θ(  )

    A.    B.    C.    D.

    答案 C 

    方法3 用向量法解决平面几何问题的方法

    7.(2015湖南,9,5)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,ABBC.若点P的坐标为(2,0),|++|的最大值为(  )

    A.6    B.7    C.8    D.9

    答案 B 

    8.已知向量,的夹角为60°,||=||=2,=2+,ABC(  )

    A.等腰三角形    B.等边三角形    C.直角三角形    D.等腰直角三角形

    答案 C 

    过专题

    【五年高考】

    A 自主命题·天津卷题组

    考点一 平面向量的数量积

    1.(2016天津,7,5)已知ABC是边长为1的等边三角形,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,·的值为(  )

    A.-    B.    C.    D.

    答案 B 

    2.(2014天津,8,5)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120°,E,F分别在边BC,DC,BE=λBC,DF=μDC.·=1,·=-,λ+μ=(  )

    A.    B.    C.    D.

    答案 C 

    考点二 平面向量数量积的应用

     (2015天津,14,5)在等腰梯形ABCD,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60°.动点EF分别在线段BCDC,,=,·的最小值为    . 

    答案 

    B 统一命题、省(区、市)卷题组

    考点一 平面向量的数量积

    1.(2018课标Ⅱ,4,5)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,a·(2a-b)=(  )

    A.4    B.3    C.2    D.0

    答案 B 

    2.(2014课标Ⅱ,3,5)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,a·b=(  )

    A.1    B.2    C.3    D.5

    答案 A 

    3.(2017课标Ⅰ,13,5)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,|a+2b|=    . 

    答案 2

    4.(2016课标Ⅰ,13,5)设向量a=(m,1),b=(1,2),|a+b|2=|a|2+|b|2,m=    . 

    答案 -2

    5.(2015湖北,11,5)已知向量,||=3,·=    . 

    答案 9

    考点二 平面向量数量积的应用

    1.(2018浙江,9,4)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量ae的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,|a-b|的最小值是(  )

    A.-1    B.+1    C.2    D.2-

    答案 A 

    2.(2017课标Ⅱ,12,5)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,·(+)的最小值是(  )

    A.-2    B.-    C.-    D.-1

    答案 B 

    3.(2016课标Ⅲ,3,5)已知向量=,=,ABC=(  )

    A.30°    B.45°    C.60°    D.120°

    答案 A 

    4.(2016山东,8,5)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.n(tm+n),则实数t的值为(  )

    A.4    B.-4        C.    D.-

    答案 B 

    5.(2014江西,14,5)已知单位向量e1e2的夹角为α,cos α=,向量a=3e1-2e2b=3e1-e2的夹角为β,cos β=    . 

    答案 

    C 教师专用题组

    1.(2015广东,9,5)在平面直角坐标系xOy,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),·=(  )

    A.5    B.4    C.3    D.2

    答案 A 

    2.(2015福建,7,5)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.bc,则实数k的值等于(  )

    A.-    B.-    C.    D.

    答案 A 

    3.(2014湖南,10,5)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,|++|的取值范围是(  )

    A.[4,6]    B.[-1,+1]    C.[2,2]    D.[-1,+1]

    答案 D 

    4.(2018上海,8,5)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)B(2,0),EFy轴上的两个动点,||=2,·的最小值为    . 

    答案 -3

    5.(2015安徽文,15,5)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是    .(写出所有正确结论的编号) 

    a为单位向量;  b为单位向量;  ab;

    b;    ⑤(4a+b).

    答案 ①④⑤

    6.(2014江苏,12,5)如图,在平行四边形ABCD,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,·的值是    . 

    答案 22

    7.(2014重庆,12,5)已知向量ab的夹角为60°,a=(-2,-6),|b|=,a·b=    . 

    答案 10

    8.(2013课标Ⅰ,13,5)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.b·c=0,t=    . 

    答案 2

    9.(2013课标Ⅱ,13,5)已知正方形ABCD的边长为2,ECD的中点,·=    . 

    答案 2

    解析 解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.

    解法二:A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(1,2),=(-2,2),·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.

    【三年模拟】

    一、选择题(每小题5,40)

    1.(2018天津芦台一中模拟,7)直角梯形ABCD,ABCD,ABAD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,=,·=,||=(  )

    A.2    B.    C.    D.1

    答案 A 

    2.(2018天津南开二模,8)ABC是边长为1的正三角形,MABC所在平面上的一点,+2λ+=,则当·取得最小值时的值为(  )

    A.    B.    C.2    D.3

    答案 A 

    3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(a-b)(3a+2b),ab的夹角为(  )

    A.    B.    C.π    D.π

    答案 A 

    4.(2017天津南开一模,7)ABC,AB=AC=1,=,=,·=-,ABC=(  )

    A.    B.    C.    D.

    答案 C 

    5.(2017天津五校联考一模,7)ABC,AC=2AB=2,BAC=120°,OBC的中点,MAO上的一点,=3,·的值是(  )

    A.-    B.-    C.-    D.-

    答案 A 

    6.(2019届天津南开中学第二次月考,7)ABC,·=4,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点,·的值是(  )

    A.5    B.    C.6    D.8

    答案 C 

    7.(2017天津和平一模,7)如图,在平行四边形ABCD,BAD=,AB=2,AD=1.MN分别是边ADCD上的点,且满足==λ,其中λ[0,1],·的取值范围是(  )

    A.[-3,1]    B.[-3,-1]    C.[-1,1]    D.[1,3]

    答案 B 

    8.(2018天津部分区县一模,7)已知点GABC内的一点,且满足++=0,BAC=,·=1,||的最小值是(  )

    A.    B.    C.    D.

    答案 C 

    二、填空题(每小题5,45)

    9.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量ab的夹角为60°,a=(0,2),|b|=1,|a+2b|=    . 

    答案 2

    10.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,(a+b)a,则向量a,b的夹角为    . 

    答案 

    11.(2017天津河西三模,12)已知等边ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,·=    . 

    答案 -2

    12.(2017天津八校联考,13)如图,在矩形ABCD,AB=,BC=2,EBC的中点,F在边CD,·=,·的值是    . 

    答案 

    13.(2018天津红桥二模,12)如图,ABC,ADAB,=,||=1,·=    . 

    答案 

    14.(2019届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量满足=+,||=2,||=1,EF分别是线段BCCD的中点,·=-,则向量的夹角为    . 

    答案 

    15.(2018天津南开一模,13)在四边形ABCD,AB=AC=AD=,ABAD,·的最小值为    . 

    答案 2-2

    16.(2018天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60°,=3,R),·=-1,λ=    . 

    答案 

    17.(2018天津北辰模拟,14)在梯形ABCD,BCAD,BAD=60°,CDA=30°,AB=2,AD=6,CD=2,在边BC,DC上分别有动点E,F,使=λ,=μ,λ+μ=1,·的最小值为    . 

    答案 6

     

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