2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：5.2　平面向量数量积与应用 Word版含解析【KS5U 高考】

5.2　平面向量数量积与应用

挖命题

【考情探究】

分析解读　　在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.

破考点

【考点集训】

考点一　平面向量的数量积

1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是(　　)

A.　　　　B.[-1,1)　　　　C.　　　　D.[-1,0)

答案　A　

2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为　　　　;·的最大值为　　　　. 

答案　1;1

考点二　平面向量数量积的应用

3.已知向量||=2,||=1,且|-2|=2,则向量和的夹角为(　　)

A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°

答案　C　

4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是(　　)

A.4,0　　　　B.4,4　　　　C.4,0　　　　D.16,0

答案　A　

5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为　　　　. 

答案　

炼技法

【方法集训】

方法1　求平面向量的模的方法

1.已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为(　　)

A.-1　　　　B.-1　　　　C.+1　　　　D.+1

答案　D　

2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于(　　)

A.6　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1

答案　C　

3.已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.3

答案　A　

方法2　求平面向量的夹角的方法

4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为(　　)

A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°

答案　C　

5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为(　　)

A.30°　　　　B.60°　　　　C.90°　　　　D.120°

答案　D　

6.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　C　

方法3　用向量法解决平面几何问题的方法

7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为(　　)

A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9

答案　B　

8.已知向量,的夹角为60°,||=||=2,若=2+,则△ABC为(　　)

A.等腰三角形　　　　B.等边三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形

答案　C　

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

考点一　平面向量的数量积

1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(　　)

A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　B　

2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　C　

考点二　平面向量数量积的应用

　(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为　　　　. 

答案　

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　平面向量的数量积

1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)

A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.0

答案　B　

2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5

答案　A　

3.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. 

答案　2

4.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. 

答案　-2

5.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=　　　　. 

答案　9

考点二　平面向量数量积的应用

1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)

A.-1　　　　B.+1　　　　C.2　　　　D.2-

答案　A　

2.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　)

A.-2　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-1

答案　B　

3.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=(　　)

A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.120°

答案　A　

4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)

A.4　　　　B.-4　　　　　　　　C.　　　　D.-

答案　B　

5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=　　　　. 

答案　

C组　教师专用题组

1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=(　　)

A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2

答案　A　

2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)

A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.

答案　A　

3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是(　　)

A.[4,6]　　　　B.[-1,+1]　　　　C.[2,2]　　　　D.[-1,+1]

答案　D　

4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为　　　　. 

答案　-3

5.(2015安徽文,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是　　　　.(写出所有正确结论的编号) 

①a为单位向量;　　②b为单位向量;　　③a⊥b;

④b∥;　　　　⑤(4a+b)⊥.

答案　①④⑤

6.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是　　　　. 

答案　22

7.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=　　　　. 

答案　10

8.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　. 

答案　2

9.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=　　　　. 

答案　2

解析　解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.

解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.(2018天津芦台一中模拟,7)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,设=,若·=,则||=(　　)

A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.1

答案　A　

2.(2018天津南开二模,8)设△ABC是边长为1的正三角形,M是△ABC所在平面上的一点,且+2λ+=,则当·取得最小值时,λ的值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3

答案　A　

3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.π

答案　A　

4.(2017天津南开一模,7)在△ABC中,AB=AC=1,=,=,·=-,则∠ABC=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　C　

5.(2017天津五校联考一模,7)在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上的一点,且=3,则·的值是(　　)

A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-

答案　A　

6.(2019届天津南开中学第二次月考,7)在△ABC中,·=4,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则·的值是(　　)

A.5　　　　B.　　　　C.6　　　　D.8

答案　C　

7.(2017天津和平一模,7)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=,AB=2,AD=1.若M、N分别是边AD、CD上的点,且满足==λ,其中λ∈[0,1],则·的取值范围是(　　)

A.[-3,1]　　　　B.[-3,-1]　　　　C.[-1,1]　　　　D.[1,3]

答案　B　

8.(2018天津部分区县一模,7)已知点G是△ABC内的一点,且满足++=0,若∠BAC=,·=1,则||的最小值是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　C　

二、填空题(每小题5分,共45分)

9.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60°,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=　　　　. 

答案　2

10.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,(a+b)⊥a,则向量a,b的夹角为　　　　. 

答案　

11.(2017天津河西三模,12)已知等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=　　　　. 

答案　-2

12.(2017天津八校联考,13)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是　　　　. 

答案　

13.(2018天津红桥二模,12)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=　　　　. 

答案　

14.(2019届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量、、满足=+,||=2,||=1,E、F分别是线段BC、CD的中点,若·=-,则向量与的夹角为　　　　. 

答案　

15.(2018天津南开一模,13)在四边形ABCD中,AB=AC=AD=,AB⊥AD,则·的最小值为　　　　. 

答案　2-2

16.(2018天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若=3,=λ(λ∈R),且·=-1,则λ=　　　　. 

答案　

17.(2018天津北辰模拟,14)在梯形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=60°,∠CDA=30°,AB=2,AD=6,CD=2,在边BC,DC上分别有动点E,F,使=λ,=μ,λ+μ=1,则·的最小值为　　　　. 

答案　6