人教版 (2019)必修 第一册2 匀变速直线运动的速度与时间的关系导学案

2.2  匀变速直线运动的速度与时间的关系

考点精讲

考点1：匀变速直线运动的v­t图像

1．匀速直线运动的v­t图像：如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而v­t图像是一条平行于时间轴的直线。从图像中可以直接读出速度的大小和方向。

甲　　　　 　　　　乙

2．匀变速直线运动的v­t图像：如图乙所示，匀变速直线运动的v­t图像是一条倾斜的直线。

（1）直线a反映了速度随着时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图像。

（2）直线b反映了速度随着时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图像。

（3）直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动。

3．v­t图像的应用

4.变加速直线运动的v­t图像

【点拨】不管是匀变速直线运动，还是非匀变速直线运动，凡是能用v­t图线描述的，不管图线形状如何，物体的运动一定是直线运动

【例1】　物体从静止开始做直线运动，v­t图像如图所示，则该物体(　　)

A．在第8 s末相对于起点的位移最大

B．在第4 s末相对于起点的位移最大

C．在第2 s末到第4 s末这段时间内的加速度最大

D．在第4 s末和第8 s末在同一位置上

【解析】D　由图可知，6 s内物体一直沿正方向运动，6～8 s内物体反向运动，故第6 s末相对于起点的位移最大，故A、B错误；图像的斜率表示物体的加速度，由图可知，4～8 s内的加速度最大，故C错误；4～6 s内和6～8 s内物体的位移大小相等，方向相反，故第8 s末物体回到第4 s所在的位置，故D正确。

【技巧与方法】

分析v­t图像时应注意的两点

（1）加速度是否变化看有无折点：在折点位置，图线的倾斜程度改变，表示此时刻物体的加速度改变，v­t图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变。

（2）速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置前后，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变。

【针对训练】

1．(根据图像判断匀变速直线运动的种类)(多选)如图所示的v­t图像中，表示物体做匀减速直线运动的是(　　)

A　　  　　B　　  　C　 　  　D

【解析】BD　速度的正、负号反映速度的方向，匀减速直线运动的v­t图像为倾斜直线，且速度的绝对值一直在减小，题图A为沿正方向的匀加速直线运动，题图B为沿负方向的匀减速直线运动，题图C为沿负方向的匀加速直线运动，题图D为沿正方向的匀减速直线运动，B、D正确。

2．(v­t图像的综合应用)(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v­t图像如图所示，下列判断正确的是(　　)

A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动

B．两物体两次速度相同的时刻分别在第1 s末和第4 s末

C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动

D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反

【解析】BC　由v­t图像知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，A错误，C正确；t＝1 s和t＝4 s时二者速度相同，B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误。

考点2：匀变速直线运动速度与时间的关系

1．公式的矢量性

（1）公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。计算时将各量的数值和正负号一并代入计算。

（2）a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动。

2．公式的适用条件

公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。

3．公式的特殊形式

（1）当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。

（2）当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。

4．速度公式v＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较

速度公式v＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：

（1）v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动。

（2）a＝还可适用于匀变速曲线运动。

【点拨】应用v＝v0＋at解题步骤：

①规定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向。

②根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。

③根据速度与时间的关系式列式、求解。

④根据计算结果说明所求物理量的大小、方向

【例2】　在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：

(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；

(2)刹车后6 s末汽车的速度大小。

【解析】　汽车行驶速度v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2

汽车刹车所用的总时间

t0＝＝ s＝5 s。

(1)t1＝3 s时的速度

v1＝v0＋at＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s。

(2)由于t0＝5 s<t2＝6 s，故6 s末汽车已停止，即v2＝0。

【变式训练】

上例中，若司机前方有下坡，汽车以6 m/s2的加速度加速，则经3 s末汽车的速度大小？

【解析】　由v＝v0＋at得

v＝30 m/s＋6×3 m/s＝48 m/s。

【技巧与方法】

处理刹车问题的三点提醒

（1）明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)，通常可由t＝计算得出，并判断要研究的时长与刹车时间的大小关系。

（2）若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间。

（3）常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值。

【针对训练】

3．磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6 m/s2，假设列车行驶在平直轨道上，则2 min后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432 km/h，如果以0.8 m/s2的加速度减速进站，求减速160 s时速度为多大。

【解析】　取列车运动方向为正方向。

(1)列车2 min后的速度v＝v10＋a1t1＝0＋0.6×2×60 m/s＝72 m/s。

(2)列车匀速运动的速度

v20＝432 km/h＝120 m/s

列车进站过程减速至停止的时间

t0＝＝ s＝150 s

所以列车减速160 s时已经停止运动，速度为零。

考点达标

考点一　匀变速直线运动的v­t图像

1．对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是(　　)

A．匀变速直线运动是速度越来越大的运动

B．匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动

C．匀变速直线运动是速度保持不变的运动

D．匀变速直线运动的v­t图像是一条过原点倾斜的直线

【解析】B　匀变速直线运动速度均匀变化，匀加速直线运动的速度越来越大，匀减速直线运动的速度越来越小，故A错误；匀变速直线运动的速度均匀变化，在任意相等时间内速度改变量相等，故B正确；匀变速直线运动是速度均匀变化的运动，故C错误；根据匀变速直线运动的速度—时间公式v＝v0＋at，v与t是线性关系，根据数学知识可知v­t图像是一条倾斜的直线，不一定过原点，故D错误。

2．质点沿x轴运动，其速度v随时间t变化的v­t图像如图所示，已知t＝0时刻质点速度方向沿x轴正方向，t2－t1＝t3－t2。则下列说法正确的是(　　)

A．t2时刻质点的速度和加速度均为零

B．t2时刻质点即将向x轴负方向运动

C．质点在t1时刻和t3时刻的速度相同

D．质点在t1时刻和t3时刻的加速度大小相等、方向相反

【解析】B　由图看出，t2时刻质点的速度为零，根据v­t图像的斜率表示加速度，知t2时刻质点的加速度不为零，故A错误；t2时刻质点速度由正变为负，即要变为向x轴负方向运动，故B正确；质点在t1时刻和t3时刻的速度大小相等、方向相反，则速度不同，故C错误；图线的斜率一定，说明该质点的加速度一定，所以质点在t1时刻和t3时刻的加速度大小相等、方向相同，故D错误。

3．(多选)随着汽车不断普及，对于安全驾驶的要求越来越高。路考是驾照考试的指定科目，路考中有一项是定点停车，如图所示是路考过程中某辆车运动的速度图像，由图像得到的正确结果是(　　)

A．0～1 s内的加速度是2 m/s2

B．1～2 s内汽车处于静止状态

C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度

D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反

【解析】AC　在0～1 s内a＝＝2 m/s2，故A正确；1～2 s内汽车做匀速直线运动，故B错误；速度图像中斜率表示加速度，由图像可知，0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度，故C正确；速度的正负表示方向，0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相同，故D错误。

4．一物体沿竖直方向运动，以竖直向上为正方向，其运动的v­t图像如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．物体0～1 s内做匀加速直线运动

B．物体2～3 s内向下运动

C．物体0～1 s内的加速度方向与2～3 s内的加速度方向相反

D．物体0～1 s内的平均速度与2～3 s内的平均速度相等

【解析】C　根据v­t图像的切线斜率表示加速度，知物体0～1 s内做加速度减小的变加速直线运动，故A错误；物体的速度一直为正，说明物体一直向上运动，故B错误；v­t图像的切线斜率的正负表示加速度方向，可知，物体0～1 s内的加速度方向与2～3 s内的加速度方向相反，故C正确；根据v­t图像与t轴围成图形的面积表示位移，知物体在0～1 s内的位移大于它在2～3 s内的位移，所用时间相等，则物体在0～1 s内的平均速度大于2～3 s内的平均速度，故D错误。

考点二　匀变速直线运动速度与时间关系

5．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比是(　　)

A．1∶1∶1　　　　　　　 B．1∶2∶3

C．12∶22∶32   D．1∶3∶5

【解析】B　由v＝at可得v1∶v2∶v3＝1∶2∶3，选项B正确。

6．一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，加速度大小为1 m/s2，则经1 s后，其末速度(　　)

A．一定为3 m/s   B．一定为1 m/s

C．可能为1 m/s   D．不可能为1 m/s

【解析】C　加速度大小为1 m/s2，即a＝1 m/s2或a＝－1 m/s2，由速度公式v＝v0＋at可得v＝3 m/s或v＝1 m/s，故C正确。

7．在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，如果物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下，那么经过3 s后的速度大小和方向是(　　)

A．25 m/s，沿斜面向下   B．5 m/s，沿斜面向下

C．5 m/s，沿斜面向上   D．25 m/s，沿斜面向上

【解析】B　物体沿斜面向上运动速度减小为零所用时间为t1，由v0＝at1，得t1＝＝2 s，此后物体沿光滑斜面向下加速，1 s后速度大小为v＝5 m/s，方向沿斜面向下，故B正确。

8．(多选)某质点做直线运动，速度随时间变化的关系式为v＝(2t＋4) m/s，则下列对这个质点的运动的描述中，正确的是(　　)

A．初速度为4 m/s

B．初速度为0

C．3 s末的瞬时速度为10 m/s

D．加速度为4 m/s2

【解析】AC　把v＝(2t＋4) m/s与公式v＝v0＋at进行对比可知，该质点的初速度为4 m/s，加速度为2 m/s2,3 s末的瞬时速度为v＝(2×3＋4) m/s＝10 m/s，故选项A、C正确。

9．一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止。求：

(1)物体做匀速直线运动时的速度大小；

(2)物体做匀减速直线运动时的加速度。

【解析】 (1)由速度、时间的关系式得

v1＝v0＋a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，

即做匀速直线运动时的速度大小为10 m/s。

(2)由v＝v1＋a2t2得

a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2，

负号表示加速度方向与物体运动方向相反。

10．汽车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2 m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间，汽车加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原来速度的过程用了12 s。求：

(1)减速与加速过程中的加速度大小；

(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度大小。

【解析】　(1)汽车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如图所示，设汽车从A点开始减速，其运动的初速度vA＝10 m/s，用t1表示从A点到达B点经过的时间，汽车从B点又开始加速，用时间t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s。且t2＝t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s

在AB段，vB＝vA－a1t1

在BC段，vC＝vB＋a2t2

代入数据得a1＝1 m/s2，a2＝2 m/s2。

(2)2 s末的速度

v2＝vA－a1t1′＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s

10 s末的速度

v10＝vB＋a2t2′＝2 m/s＋2×(10－8) m/s＝6 m/s。

11．一辆汽车在地面上从静止开始运动，从t＝0时刻起8 s内，加速度a随时间t变化的规律如图甲所示，最后阶段汽车刹车时加速度大小为2 m/s2。求：

(1)4 s末的速度大小v1；

(2)5 s末的速度大小v2；

(3)在图乙的坐标系中画出汽车在8 s内的v­t图像。(要求计算出相应数值)

甲　　　　　　　　乙

【解析】　(1)由题图甲可知，在0～4 s内，汽车的加速度为a1＝3 m/s2，则4 s末汽车的速度为v1＝a1t＝3×4 m/s＝12 m/s。

(2)由题图甲可知，4～5 s内汽车的加速度为a2＝－7 m/s2，汽车做匀减速运动，5 s末的速度v2＝v1＋a2t′＝12 m/s－7×1 m/s＝5 m/s。

(3)由题图甲可知，汽车刹车的加速度为a3＝－2 m/s2，汽车做匀减速运动，速度减为零需要的时间t0＝＝ s＝2.5 s，

则在5 s＋2.5 s＝7.5 s时，汽车速度为零，

描点作出汽车的v­t图像如图所示。