初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试精练

题型一　二次函数的图象和性质

例 1　对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；

②它的顶点坐标为(1，4)；

③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；

④当x＞0时，y随x的增大而减小．

其中正确的个数为(　　)

A．1  　B．2  C．3  D．4

变式跟进

1．小张同学说出了二次函数的两个条件：

(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；

(2)函数图象经过点(－2，4)．

则符合条件的二次函数表达式可以是( 　)

A．y＝－(x－1)2－5  B．y＝2(x－1)2－14

C．y＝－(x＋1)2＋5  D．y＝－(x－2)2＋20

2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标．

(1)y＝4x2＋24x＋35；

(2)y＝－3x2＋6x＋2；

(3)y＝x2－x＋3；

(4)y＝2x2＋12x＋18.

题型二　二次函数的平移

例 2　将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为(　　)

A．y＝－2(x＋1)2    B．y＝－2(x＋1)2＋2

C．y＝－2(x－1)2＋2   D．y＝－2(x－1)2＋1

【点悟】　二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．

变式跟进

3．将抛物线y＝2x2＋4x－5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是(　　)

A．y＝2(x＋1)2－7  B．y＝2(x＋1)2－6

C．y＝2(x＋3)2－6  D．y＝2(x－1)2－6

题型三　二次函数与一元二次方程和不等式的关系

例 3　[2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是____．

【点悟】　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标x1，x2，就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b2－4ac与0的大小即可．

变式跟进

4．已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是(　　)

A．x1＝1，x2＝2  B．x1＝1，x2＝3

C．x1＝－1，x2＝2  D．x1＝－1，x2＝3

5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是____．

图1           　

题型四　二次函数的图象与系数之间的关系

例 4　如图2，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：

①abc＞0；　②4a＋2b＋c＞0；

③4ac－b2＜8a；　④＜a＜；　⑤b＞c.

其中含所有正确结论的选项是(　　)

图2

A．①③    B．①③④

C．②④⑤  D．①③④⑤

【点悟】　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．

变式跟进

6．[2016·孝感]如图3是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：

①a－b＋c>0；　②3a＋b＝0；　③b2＝4a(c－n)；

④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．

其中正确结论的个数是(　　)

A．1  　B．2  C．3  D．4

题型五 二次函数的实际应用

例 5　[2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．

(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)

(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？

【点悟】　应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y＝a(x－h)2＋k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．

变式跟进

7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．

(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；

(2)当足球距离地面的高度为10 m时，求t的值；

(3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围．

题型六 二次函数的综合题

例 6　[2017·浙江月考]如图4，抛物线C1：y＝－x2＋2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.

(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；

(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；

(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.当k＞1时，求k的值．

图4         　　例6答图

变式跟进

8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA＝5，AB＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．

图5

(1)求OE 的长；

(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的表达式；

(3)一动点P从点C 出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E 点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，DP＝DQ.

1．已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是(　　)

图1

A．根据图象可得该函数y有最小值

B．当x＝－2时，函数y的值小于0

C．根据图象可得a＞0，b＜0

D．当x＜－1时，函数值y随着x的增大而减小

2．抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移方法中正确的是(　　)

A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

3．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

　　　              A　　　　B　　 　　C　　　　D　　

4．如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是(　　)

图2

A．abc＞0  B．2a－b＝0

C．4a＋2b＋c＜0  D．9a＋3b＋c＝0

5．已知二次函数y＝3x2＋36x＋81.

(1)写出它的顶点坐标；

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；

(3)求出图象与x轴的交点坐标；

(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；

(5)当x取何值时，y＜0.

6．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标．

7．如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点．

图3

 (1)求抛物线的表达式和顶点坐标；

(2)当0＜x＜3时，求y的取值范围；

(3)点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)已知墙的最大可用长度为8 m，

①求所围成花圃的最大面积；

②若所围花圃的面积不小于20 m2，请直接写出x的取值范围．

图4

9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润____元；

(2)若设后来该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元．

①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并求出当x取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？

10．[2016·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.

图6

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于c(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．

(1)求出二次函数的表达式；

图7

(2)连结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P的坐标和四边形ACPB的最大面积．