初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课堂检测，共34页。试卷主要包含了函数y=与y=﹣kx2+k，对于两个不相等的实数a，若二次函数y=ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
二次函数重难点专题训练卷（1）

班级 姓名

一、 选择题
1、已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2、已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
　 A． B． C． D．
3、如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（　　）

A． a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0
4、函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A． B． C． D
5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

　 A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
6、如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①③ C．②③ D． ①④
7、对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程的解为（ ）.
A. B.　 C. D.
8、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）
　 A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
　 C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2
二、填空题
9、关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
10、如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b=0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是　 ．（填序号即可）

三、解答题
11、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．





















12、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．































13、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．



























14、已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．





























15、已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．



























16、如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.
（1）求，的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
























17、如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


























18、如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

























二次函数重难点专题训练卷答案详解
一、选择题


故选：B
2、已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
　 A． B． C． D．
【解析】选D.令y=0，则﹣x2+x+6=0，
解得：x1=12，x2=﹣3
∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD=4.5，
当x=0时，y=6，
∴OC=6，
∴CD==．
故选：D．
3、如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（　　）

　 A． a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0
【解析】选D.∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），
∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，
∴顶点（﹣，﹣），
把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴a＜k＜0，
故选D．
4、函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A． B． C． D
【解析】选B.由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）　　

　 A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
【解析】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，∴abc=0∴①正确；
∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，
∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
6、如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①③ C．②③ D． ①④
【解析】选B.
①图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，正确；
②因为开口向下，故a＜0，有﹣＞0，则b＞0，又c＞0，故bc＞0，错误；
③由对称轴x=﹣=1，得2a+b=0，正确；
④当x=1时，a+b+c＞0，错误；
故①③正确．
故选：B．
7、对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程的解为（ ）.
A. B.　 C. D.
【解析】选D.
当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，
去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；
当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，
解得：x=1+或x=1﹣（舍去），
经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．
故选D．
8、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）
　 A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
　 C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2
【解析】选A.
A、当a＞0时，
∵点M（x0，y0），在x轴下方，
∴x1＜x0＜x2，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，
∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；
B、a的符号不能确定，故本选项错误；
C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；
D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．
故选A．
二、填空题
9、关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜且k≠0　．
【解析】∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案是：k＜且k≠0．
10、如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b=0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是　①③④　．（填序号即可）

【解析】∵抛物线的对称轴为x=2，
∴﹣=2，b=﹣4a，4a+b=0，故③正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的单调性知：当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵=2，而对称轴方程为 x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），故④正确．
∵当时，m=7，而6＜7，
∴点（6，y2）在点（7，y3）的下方，
由抛物线的对称性及单调性知：y1＜y2，故⑤错误；
故答案为：①③④．

三、解答题
11、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，
将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，
解得a=．
故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；
（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，
OA2+AB2=OB2，
∴∠OAB=90°，
O到直线AB的距离是OA=；
（3）设M（a，b），N（a，0）
当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，
解得x1=3，x2=﹣1，
D（3，0），DN=3﹣a．
①当△MND∽△OAB时，=，即=，
化简，得4b=a﹣3 ①
M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②
联立①②，得，
解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，
M1（﹣2，），
当△MND∽△BAO时，=，即=，
化简，得b=12﹣4a ③，
联立②③，得，
解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，
M2（﹣17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．

12、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，
将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，
解得a=﹣，
故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x2﹣x+，
∴x=0时，y=，
∴C（0，）．
y=0时，﹣x2﹣x+=0，
解得x=1或x=﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC==2．
设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以
当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；
当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，
所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（﹣2，），B′（3，2）代入，
得，解得，
即直线MB′的解析式为y=x+．
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．
由，解得，即Q（﹣，）．
所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

13、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

【解析】（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴==，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，

则DG=DM=DN=8，
∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．
14、已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），
∴CD==，
BC==3，
BD==2，
∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1=，x2=＜1，应舍去，
∴x=，
∴y=4﹣x=，
即点P坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．


15、已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

【解析】（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∵抛物线l2经过点A、E两点，
∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），
又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），
∴﹣=﹣5a，解得a=，
∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，
∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；
（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），
∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，
∵PC=PA，
∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，
∴P点坐标为（1，1）；
（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），
∵MN∥y轴，
∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣
令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，
①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，
显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；
②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，
显然当x＞时，MN随x的增大而增大，
∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．
16、如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.
（1）求，的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=BC.
又∵△ABC的面积=BC×OA=4，即=4，∴OA=2.
∴A ，B ，C .
∴，解得.
∴.
（2）△OEF是等腰三角形. 理由如下：如答图1，
∵A ，B ，
∴直线AB的函数表达式为，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为（m，m+2）.
∴平移后的抛物线函数表达式为.
∵抛物线过点C ，
∴，解得.
∴平移后的抛物线函数表达式为，即..
当y=0时，，解得.
∴E（10，0），OE=10.
又F（6，8），OH=6，FH=8.
∴，，
∴OE=OF，即△OEF为等腰三角形.
（3）存在. 点Q的位置分两种情形：
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在轴上方时，如答图2.
∵△PQE≌△POE，∴ QE=OE=10.
在Rt△QHE中，,
∴Q.
当点P在轴下方时，如答图3，有PQ=OE=10,
过P点作于点K，则有PK=6.
在Rt△PQK中，,
∵，∴.
∵，∴.
又∵，∴.
∴， 即，解得.
∴Q.
情形二：点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO,
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10.
当时，， ∴Q.
当QE=OE=10时，如答图5.
过Q作轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N，
设Q的坐标为，∴.
在中，有,
即，解得.
当时，如答图5，，∴Q.
当时，如答图6，，∴ .

综上所述，存在点Q或或或或，使以P,Q,E三点为顶点的三角形与△POE全等.

17、如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣x+3），
∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，
∴S△ABC=S△BEM+S△MEC
=
=×（﹣x2+x）×4
=﹣x2+3x
=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
18、如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

【解析】（1）解：∵点D（1，m）在图象的对称轴上，
∴．
∴b=﹣2．
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4）；
（2）证明：∵D（1，1），且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．
∴∠DEB=∠EBO．
令y=1，则x2﹣2x﹣3=1，
解得：．
∵点E位于对称轴右侧，
∴E．
∴DE=．
令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，求得点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0）．
∴BD=．
∴BD=DE．
∴∠DEB=∠DBE．
∴∠DBE=∠EBO．
∴BE平分∠ABD．

（3）解：∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且△GDE为直角三角形，
∴△ACG为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴∠CAG=90°．
∵A（3，0）C（1，﹣4），AF⊥CG，
∴求得G点坐标为（1，1）．
∴AG=，AC=．
∴AC=2AG．
∴GD=2DE或DE=2GD．
设E（t，t2﹣2t﹣3）（t＞1），
①当点D在点G的上方时，则DE=t﹣1，
GD=（t2﹣2t﹣3）﹣1=t2﹣2t﹣4．
i．如图2，当GD=2DE时，
则有，t2﹣2t﹣4=2（t﹣1）．
解得，．（舍负）
ii．如图3，当DE=2GD时，
则有，t﹣1=2（t2﹣2t﹣4）．
解得，．（舍负）
②当点D在点G的下方时，则DE=t﹣1，
GD=1﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+2t+4．
i．如图4，当GD=2DE时，
则有，﹣t2+2t+4=2（t﹣1）．
解得，．（舍负）
ii．如图5，当DE=2GD时，
则有，t﹣1=2（﹣t2+2t+4）．
解得，．（舍负）
综上，E点的横坐标为或或或3．