高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试练习

习题课（三） 函数的概念与性质

一、选择题

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－1,2]　　　　　　　 　B．(－1,2]

C．[2，＋∞)   D．[1，＋∞)

解析：选B　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－1＜x≤2，故选B.

2．已知函数f(x)＝则f的值为(　　)

A．2   B.

C．5   D.

解析：选C　∵－1≤－＜0，

∴f＝2×＋3＝2.

∴f＝f(2)＝5.

3．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)

A．15   B．16

C．17   D．18

解析：选B　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，

则由

解得0<x≤.

因为x∈N*，所以x的最大值为16.

4．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，0]   B．[0，＋∞)

C．(0，＋∞)   D．(－∞，0)

解析：选D　∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)＝在(－∞，0)上单调递增．

5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(　　)

A．－3   B．－3或3

C．－1   D．－1或1

解析：选D　∵f(－1)＝＝1，∴f(a)＝1.

①当a≥0时，f(a)＝＝1，∴a＝1.

②当a＜0时，f(a)＝＝1，∴a＝－1.

综上可知，a＝1或－1.

6．已知函数f(x)＝－x2＋x＋1，x∈的最值情况为(　　)

A．有最小值，有最大值1

B．有最小值，有最大值

C．有最小值1，有最大值

D．有最小值，无最大值

解析：选B　f(x)＝－2＋，所以f(x)max＝f ＝，f(x)min＝f ＝.

7．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)

A．单调递减的奇函数   B．单调递增的偶函数

C．单调递减的偶函数   D．单调递增的奇函数

解析：选A　法一(数形结合法)：先画出f(x)＝x3的图象，再将其关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象如图，由图象得y＝f(－x)为减函数，由图象关于原点对称得f(－x)为奇函数，故选A.

法二(直接法)：因为f(x)＝x3，所以f(－x)＝－x3，所以y＝－x3是单调递减的奇函数．

8．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)＝f(－x2)

C．f(－x1)<f(－x2)

D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定

解析：选A　若x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x1)>f(x2)，即f(－x1)>f(－x2)．

9．函数y＝在区间(－∞，a)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B．(－∞，－1]

C．[0，＋∞)   D．[－1，＋∞)

解析：选B　y＝＝＝－3＋(x≠－1)．如图．由图可知函数在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减，故a≤－1.

10．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为(　　)

解析：选A　由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C、D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A分析正确．

二、填空题

11．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：

当梯形个数为n时，这时图形的周长l与n的函数解析式为____________．

解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察知，周长与梯形个数关系为l＝3n＋2(n∈N*)．

答案：l＝3n＋2(n∈N*)

12．函数y＝(x≥2)的值域为________．

解析：y＝＝＝3－，在[2，＋∞)上是增函数，所以y≥3－＝，又因为当x∈[2，＋∞)时，3－<3，所以原函数的值域为.

答案：

13．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.

答案：(－1,3)

14．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号)

①y＝；②y＝|x|；③y＝；④y＝x2＋1.

解析：本题主要考查函数的三要素．对于①②④，由于它们的图象都关于y轴对称，故当x∈[1,2]与x∈[－2，－1]时，上述函数对应的值域相同，即它们能够被用来构造“同族函数”．

答案：①②④

三、解答题

15．(1)求函数f(x)＝＋(x－1)0＋的定义域；(要求用区间表示)

(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．

解：(1)要使函数f(x)有意义需满足

解得x≤2且x≠1且x≠－1，

所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2]．

(2)因为f(x＋1)＝x2－2x，

所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，

故f(x)＝x2－4x＋3(x∈R)，所以f(3)＝0.

16．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：

(1)试确定y与x的函数解析式；

(2)求f(－3)，f(1)的值；

(3)若f(x)＝16，求x的值．

解：(1)y＝

(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.

(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，

解得x＝2或x＝－6(舍去)．

若x＜1，则x2＋2＝16，

解得x＝(舍去)或x＝－.

综上，可得x＝2或x＝－.

17．已知奇函数f(x)＝

(1)求实数m的值；

(2)画出函数的图象；

(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

解：(1)当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又因为f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2.

(2)由(1)知f(x)＝

函数f(x)的图象如图所示．

(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，

只需－1<|a|－2≤1，

即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1<a≤3.

所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．

18.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.

(1)试用a，b表示S；

(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

解：(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，

∴ab＝28 800.①

设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，

∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．

(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．

∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．