人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课时训练

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若椭圆=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为(　　)

A.2 B.-2 C. D.-

解析设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又

①-②,得=0,

即=0,

所以所求直线的斜率为=-.

答案D

2.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析由c=,得a2+b2=7.∵焦点为F(,0),

∴可设双曲线方程为=1, ①

并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,

∴x1+x2=-,

由已知得-=-×2,解得a2=2,

故双曲线的方程为=1.

答案D

3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得解得

不妨设M(1,2),N(4,4),所以=(0,2),=(3,4),所以=8.

答案D

4.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是(　　)

A.+1 B.

C. D.-1

解析①△ABC为等腰直角三角形,如果C=,圆锥曲线E为椭圆,e=.

②△ABC为等腰直角三角形,如果C=,A或B为直角,圆锥曲线E为椭圆,e=-1.

③△ABC为等腰直角三角形,如果C=,A或B为直角,圆锥曲线为双曲线,e=+1.

答案ABD

5.已知双曲线=1(a>0,b>0),则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为　　　　　. 

解析设一个焦点为F(c,0),其中c2=a2+b2,过F且垂直于x轴的弦为AB,则A(c,y0),∵A(c,y0)在双曲线上,∴=1.∴y0=±b=±.

∴|AB|=2|y0|=.

答案

6.在直角坐标系中任给一条直线,它与抛物线y2=2x交于A,B两点,则的取值范围为　　　　　. 

解析设直线方程为x=ty+b,代入抛物线y2=2x,得y2-2ty-2b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2b,∴=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=b2-2b=(b-1)2-1,∴的取值范围为[-1,+∞).

答案[-1,+∞)

7.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.

解由已知条件知直线l的方程为y=kx+,

代入椭圆方程得+(kx+)2=1,

整理得x2+2kx+1=0,

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,

所以k的取值范围为.

8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.

所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

解得因此所求圆的方程为

(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

能力提升练

1.已知直线y=k(x+2)与双曲线=1,有如下信息:联立方程组消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:(1)当A=0时,该方程恒有一解;(2)当A≠0时,Δ=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.(1,] B.[,+∞)

C.(1,2] D.[2,+∞)

解析依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-2≤-,即0<m≤4,又e=,所以e≥.

答案B

2.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)

A.p=2 B.F为AD中点

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2

解析如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y=,

联立得12x2-20px+3p2=0.

解得xA=p,xB=p,由|AF|=p+=2p=4,得p=2.∴抛物线方程为y2=4x,xB=p=,则|BF|=+1=.

|BD|=,

∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|==4,

则F为AD中点.∴运算结论正确的是A,B,C.

答案ABC

3.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=　　　　　. 

解析设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立得y2-4my-4=0,

y1+y2=4m,y1y2=-4.

而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),

=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).

∵∠AMB=90°,

∴=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)

=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5

=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5

=4m2-4m+1=0.∴m=.∴k==2.

答案2

4.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.

解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为=1.

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立

整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.

由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·-=-1,化简得k2=,从而k=±.

所以,直线PB的斜率为或-.

5.在椭圆=1上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离.

解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=x+m,

代入=1,

并整理得4x2+3mx+m2-7=0,Δ=9m2-16(m2-7)=0,

解得m2=16,即m=±4,

故两切线方程为y=x+4和y=x-4,

显然y=x-4,即3x-2y-8=0距l最近,且最短距离d=.

由

故切点为P.

6.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).

(1)求抛物线C的方程;

(2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.

(1)解由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.

(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线MN的方程为x=t(y+1)+3,

代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0.

所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3.

所以k1·k2=

=

==-,

所以k1·k2是定值.

7.已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b).

(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;

(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.

解(1)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴a2-3b2=0,∴x2+3y2=3,

即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.

(2)由

得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.

∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点,∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0.              ①

且x1+x2=-,x1x2=.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则

∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN.

设kAN表示直线AN的斜率,

又k≠0,∴kAN·k=-1.即·k=-1,

得3k2=2m-1. ②

∵3k2>0,∴m>.

将②代入①得2m-1-m2+1>0,即m2-2m<0,

解得0<m<2,∴m的取值范围为.

素养培优练

(2019全国Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.

①证明:△PQG是直角三角形;

②求△PQG面积的最大值.

解(1)由题设得=-,化简得=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.

(2)①设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.              (ⅰ)

设G(xG,yG),则-u和xG是方程(ⅰ)的解,故xG=,由此得yG=.

从而直线PG的斜率为=-.

所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.

②由①得|PQ|=2u,|PG|=,

所以△PQG的面积S=|PQ||PG|=.

设t=k+,则由k>0,得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在区间[2,+∞)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.

因此,△PQG面积的最大值为.