2.3.5 点与点，点与线，线与线对称专题-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

这是一份2.3.5 点与点，点与线，线与线对称专题-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版），

考点一：点关于点对称
实质：该点是两对称点连线段的中点 方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点关于对称点坐标为
平面内点，关于点对称
1.求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.
1. B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）
2.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
2. eq \r(17) 解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17)．
考点二：点关于直线对称
实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’,y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
1.求点A(-1,3)关于直线L：2x-y+3=0的对称点B的坐标.
1.设B坐标(a，b)，则线段AB中点坐标，则 ，
即B点坐标。
2. 求点A（1，3）关于直线：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
2.直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），
则AA′的中点B的坐标为
由题意可知，，解得. 故所求点A′的坐标为
3. 求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
3.设A(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为A′(x1，y1)
∴ 解得： ∴A′(－6，－8)
∴A(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为(－6，－8)
4.若直线：和直线关于直线对称，那么直线恒过定点 （1，1）
4.直线恒过定点（0，2），则（0，2）关于直线的对称点必在直线上
5.如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6
C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
5.答案：A 易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．
于是|A1A′|＝eq \r(（4＋2）2＋（2－0）2)＝2eq \r(10).
6.若一束光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
6.B 取直线2x－y＋2＝0上一点A(0，2)，设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0的对称点为B(a，b)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5，))所以B点坐标为(3，5)．
联立方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4，))
所以直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1，4)．
所以反射光线在经过点B(3，5)和点P(1，4)的直线上，
故其直线方程为y－4＝eq \f(4－5,1－3)(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.
7.已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0，0)，M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，
并求出这个最大值．
7.解：设点O(0，0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点为O′(x0，y0)，则OO′的中点坐标为，联立：2×eq \f(x0,2)－eq \f(y0,2)＋1＝0和 eq \f(y0,x0)＝－eq \f(1,2)，
解得x0＝－eq \f(4,5)，y0＝eq \f(2,5).所以O′，则直线MO′的方程为y－3＝eq \f(13,4)x.
直线MO′与直线l：2x－y＋1＝0的交点P即为所求，
相应的||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝eq \f(\r(185),5).
考点三：直线关于点对称
直线关于点的对称
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
1. 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
2.直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是( D )
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
3.与直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线为( )
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
3.D 设直线上点P(x0，y0)关于点(1，－1)对称的点为P′(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)＝1，,\f(y＋y0,2)＝－1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2－x，,y0＝－2－y.))
代入2x0＋3y0－6＝0得2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，得2x＋3y＋8＝0.
考点四：直线关于直线对称
1.当与l相交时 方法：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
1.求直线:2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0的对称直线的方程。
由，得 ，即与l的交点P坐标为（3，-2）。
在上取一点A（2，0），设点A关于l的对称点B坐标为(x，y)，
，即 ，解得 ，即点B。
因为P，B在l上，可得方程2x+11y+16=0。
2.和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为
2.答案：5x＋4y＋1＝0 设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线5x－4y＋1＝0上，所以5x＋4y＋1＝0，故所求直线方程为5x＋4y＋1＝0.
3.已知直线l的方程是y＝2x＋3，则l关于y＝－x对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y－3＝0 D．2x－y＝0
3. A 在直线l上取两点A(0,3)，B(－2，－1)，则点A，B关于直线y＝－x的对称点为A′(－3,0)，B′(1,2)，所以所求直线的方程是eq \f(y,2)＝eq \f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.
4. 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
4. 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），
则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
5.已知P(-1，2) ，M(1，3)， 直线：y=2x+1
（1）求点P关于直线l的对称点R坐标；
（2）求直线PM关于直线l的对称的直线方程；
5.解：（1）设点P关于直线l的对称点R坐标(x,y)， ，得
（2）的坐标满足直线l的方程，又点P关于直线l的对称点为，
则MR直线为所求的直线，方程为11x+2y-17=0.点M（x,y）
直线Ax+By+C=0
关于x轴对称
（x,-y）
Ax+B(-y)+C=0
关于y轴对称
（-x,y）
A(-x)+By+C=0
关于原点对称
（-x,-y）
A(-x)+B(-y)+C=0
关于直线y=x对称
（y,x）
Ay+Bx+C=0
关于直线y=-x对称
（-y,-x）
A(-y)+B(-x)+C=0
关于直线
关于直线
关于直线对称
（）
关于直线对称
（）