高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计，共6页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。


本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
课程目标
1、了解平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量
解决实际问题的重要思想方法；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
数学学科素养
1.数学抽象：平面向量基底定理理解；
2.逻辑推理：用基底表示向量；
3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.
重点：平面向量基本定理；
难点：平面向量基本定理的理解与应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？
问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？
根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本25-27页，思考并完成以下问题
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、如何定义平面向量的基底？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.
注意：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量.
四、典例分析、举一反三
题型一 正确理解向量基底的概念
例1例1 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up16(→))与eq \(AB,\s\up16(→))；②eq \(DA,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))；③eq \(CA,\s\up16(→))与eq \(DC,\s\up16(→))；④eq \(OD,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】①eq \(AD,\s\up16(→))与eq \(AB,\s\up16(→))不共线；②eq \(DA,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))，则eq \(DA,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))共线；③eq \(CA,\s\up16(→))与eq \(DC,\s\up16(→))不共线；④eq \(OD,\s\up16(→))＝－eq \(OB,\s\up16(→))，则eq \(OD,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
解题技巧（基底向量满足什么条件）
考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．
跟踪训练一
1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1
【答案】B.
【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．
题型二 用基底表示向量
例2 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq \(AC,\s\up15(―→))＝a，eq \(BD,\s\up15(―→))＝b，试用基底a，b表示eq \(AB,\s\up15(―→))，eq \(BC,\s\up15(―→)).
【答案】eq \(AB,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \(BC,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
【解析】 由题意知，eq \(AO,\s\up15(―→))＝eq \(OC,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a，
eq \(BO,\s\up15(―→))＝eq \(OD,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)b.
所以eq \(AB,\s\up15(―→))＝eq \(AO,\s\up15(―→))＋eq \(OB,\s\up15(―→))＝eq \(AO,\s\up15(―→))－eq \(BO,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，
eq \(BC,\s\up15(―→))＝eq \(BO,\s\up15(―→))＋eq \(OC,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
解题技巧： (用基底表示向量的方法)
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
跟踪训练二
如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且eq \f(DC,AB)＝k，设eq \(AD,\s\up15(―→))＝e1，eq \(AB,\s\up15(―→))＝e2，以e1，e2为基底表示向量eq \(DC,\s\up15(―→))，eq \(BC,\s\up15(―→))，eq \(MN,\s\up15(―→)).
【答案】eq \(DC,\s\up15(―→))＝ke2.eq \(BC,\s\up15(―→))＝e1＋(k－1)e2.eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(k＋1,2)e2.
【解析】法一：∵eq \(AB,\s\up15(―→))＝e2，eq \f(DC,AB)＝k，∴eq \(DC,\s\up15(―→))＝keq \(AB,\s\up15(―→))＝ke2.
∵eq \(AB,\s\up15(―→))＋eq \(BC,\s\up15(―→))＋eq \(CD,\s\up15(―→))＋eq \(DA,\s\up15(―→))＝0，
∴eq \(BC,\s\up15(―→))＝－eq \(AB,\s\up15(―→))－eq \(CD,\s\up15(―→))－eq \(DA,\s\up15(―→))＝－eq \(AB,\s\up15(―→))＋eq \(DC,\s\up15(―→))＋eq \(AD,\s\up15(―→))＝e1＋(k－1)e2.
又eq \(MN,\s\up15(―→))＋eq \(NB,\s\up15(―→))＋eq \(BA,\s\up15(―→))＋eq \(AM,\s\up15(―→))＝0，且eq \(NB,\s\up15(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up15(―→))，eq \(AM,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(―→))，
∴eq \(MN,\s\up15(―→))＝－eq \(AM,\s\up15(―→))－eq \(BA,\s\up15(―→))－eq \(NB,\s\up15(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(―→))＋eq \(AB,\s\up15(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up15(―→))＝eq \f(k＋1,2)e2.
法二：同法一得eq \(DC,\s\up15(―→))＝ke2，eq \(BC,\s\up15(―→))＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，
由eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(MB,\s\up15(―→))＋eq \(MC,\s\up15(―→)))得eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(MA,\s\up15(―→))＋eq \(AB,\s\up15(―→))＋eq \(MD,\s\up15(―→))＋eq \(DC,\s\up15(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up15(―→))＋eq \(DC,\s\up15(―→)))＝eq \f(k＋1,2)e2.
题型三 平面向量基本定理的应用
例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq \f(3,2).
【解析】 设eq \(BM,\s\up15(―→))＝e1，eq \(CN,\s\up15(―→))＝e2，
则eq \(AM,\s\up15(―→))＝eq \(AC,\s\up15(―→))＋eq \(CM,\s\up15(―→))＝－3e2－e1，eq \(BN,\s\up15(―→))＝eq \(BC,\s\up15(―→))＋eq \(CN,\s\up15(―→))＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up15(―→))＝λeq \(AM,\s\up15(―→))＝－λe1－3λe2，
eq \(BP,\s\up15(―→))＝μeq \(BN,\s\up15(―→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up15(―→))＝eq \(BP,\s\up15(―→))＋eq \(PA,\s\up15(―→))＝eq \(BP,\s\up15(―→))－eq \(AP,\s\up15(―→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而eq \(BA,\s\up15(―→))＝eq \(BC,\s\up15(―→))＋eq \(CA,\s\up15(―→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
∴eq \(AP,\s\up15(―→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up15(―→))，eq \(BP,\s\up15(―→))＝eq \f(3,5)eq \(BN,\s\up15(―→))，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq \f(3,2).
解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
跟踪训练三
1．在△ABC中，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up16(→))，BE与CD交于点P，且eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq \(AP,\s\up16(→)).
【答案】eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f(3,11) a＋eq \f(2,11)b．
【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝eq \f(1,3)AE，连接DM，则DM//BE.
设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.
又AE＝eq \f(1,4)AC，
∴AC＝12t，EC＝9t，
∴在△DMC中，eq \f(CE,CM)＝eq \f(CP,CD)＝eq \f(9,11)，
∴CP＝eq \f(9,11)CD，∴DP＝eq \f(2,11)CD，
eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DP,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)(eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)\(AB,\s\up16(→))＋\(AC,\s\up16(→))))＝eq \f(3,11)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up16(→))
＝eq \f(3,11) a＋eq \f(2,11)b．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.3.1 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理 例1 例2 例3
注意：

七、作业
课本27页练习，36页习题6.3的1，11题.
教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.
在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.