2020-2021学年第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质习题

反比例函数的图象和性质

第1课时　反比例函数的图象和性质　[见A本P62]

1．下列四个点中，在反比例函数y＝－的图象上的是(　A　)

A．(3，－2)  B．(3，2)

C．(2，3)  D．(－2，－3)

2．当x>0时，函数y＝－的图象在(　A　)

A．第四象限  B．第三象限

C．第二象限  D．第一象限

3. 已知点P(1，－3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是(　B　)

A．3  B．－3  C.  D．－

4.已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是(　A　)

A．0＜y1＜y2  B．0＜y2＜y1

C．y1＜y2＜0  D．y2＜y1＜0

5. 如图26－1－1，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，横坐标为1，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为(　B　)

图26－1－1

A．1  B．2  C．3  D．4

6. 请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：__答案不唯一，如y＝__．

7．点(2，y1)，(3，y2)在函数y＝－的图象上，则y1__<__y2(填“＞”“＝”或“＜”)．

8．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为__(1，－2)__．

9．如图26－1－2，已知A点是反比例函数y＝(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为__6__．

图26－1－2

10. 在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上一点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝上的点B重合．若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是__2或－2__．

解： 如图所示，

∵点A与双曲线y＝上的点B重合，点B的纵坐标是1，

∴点B的横坐标是，

∴OB＝＝2，

∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，

∴A点坐标为(2，0)，(－2，0)．

故答案为2或－2.

11.已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；

(3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．

解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，

把点A的坐标(2，3)代入解析式，得3＝，解得k＝6.

∴这个函数解析式为y＝.

(2)分别把点B，C的坐标代入y＝，

可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式，

∴点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上．

(3)∵当x＝－3时，y＝－2，当x＝－1时，y＝－6，

又由k＞0知，在x＜0时，y随x的增大而减小，

∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2.

12. 如图26－1－3，Rt△ABC的斜边AC的两个顶点在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，AB与x轴平行，BC＝2，点A的坐标为(1，3)．

(1)求C点的坐标；

(2)求点B所在函数图象的解析式．

图26－1－3

解：(1)把点A(1，3)代入反比例函数y＝得k1＝1×3＝3，

所以过A点与C点的反比例函数解析式为y＝，

∵BC＝2，AB与x轴平行，BC平行于y轴，

∴B点的纵坐标为3，C点的纵坐标为1，

把y＝1代入y＝得x＝3，

∴C点坐标为(3，1)；

(2)∵BC平行于y轴，BC＝2

∴B点横坐标为3　∴B点坐标为(3，3)，

把B(3，3)代入反比例函数y＝得k2＝3×3＝9，

所以点B所在函数图象的解析式为y＝.

13.如图26－1－4，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A(0，0)、B(6，0)，反比例函数的图象经过点C.

图26－1－4

(1)求点C的坐标及反比例函数的解析式．

(2)将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值。

解：(1)过点C作CH⊥x轴，垂足为H.

∴AH＝AB＝3，

∴CH＝＝3，

∴C(3，3)．

设反比例函数的解析式为

y＝，

∴k＝xy＝9，即y＝；

(2)∵将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，

∴设此时的点B坐标为(6，n)，∴6n＝9，解得n＝.

14．如图26－1－5，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y＝(x＞0，k≠0)的图象经过线段BC的中点D.

(1)求k的值；

(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．

图26－1－5

解：(1)依题意知2＝，解得m＝2，∴A(2，2)，代入y＝kx－k得2＝2k－k，解得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x－2.则k＝2.

(2)依题意，S△PAB＝×PC×4＝4，

∴PC＝2，

∴P1(－1，0)，P2(3，0)．

∴ S＝

15.(1)先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y＝(x>0)的图象经过点B，D，求k的值．

(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

图26－1－6

解：(1)①∵AB＝BC＝CD＝ED，

∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED

而∠A＋∠BCA＝∠CBD，∠A＋∠CDB＝∠ECD，∠A＋∠CED＝∠EDM

设∠A＝x，

则可得x＋3x＝84°，则x＝21°，即∠A＝21°

②点B在反比例函数图象上，设点B(3，)，∵BC＝2，∴C(3，＋2)

∵AC∥x轴，点D在AC上，∴D(1，＋2)

∵点D也在反比例函数图象上

∴＋2＝k，解得k＝3.

(2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法。(开放题)

第2课时　反比例函数的图象和性质的运用　

[见B本P62]

1.已知点A(1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　D　)

A．y3＜y1＜y2  B．y1＜y2＜y3

C．y2＜y1＜y3  D．y3＜y2＜y1

【解析】 方法一：分别把各点代入反比例函数y＝求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．

方法二：根据反比例函数的图象和性质比较．

解：方法一：∵点A(1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)都在反比例函数图象上，∴y1＝＝6；y2＝＝3；y3＝＝－2，∵6＞3＞－2，∴y1＞y2＞y3.故选D.

方法二：反比例函数y＝的图象在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．A(1，y1)、B(2，y2)在第一象限，因为1<2，所以y1>y2，又C(－3，y3)在第三象限，所以y3<0，则有y1>y2>y3，故选D.

2. 若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是(　A　)

A．m<－2  B．m<0

C．m>－2  D．m>0

3. 如图26－1－7，函数y1＝与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，当y1<y2时，自变量x的取值范围是(　C　)

A．x＞1  B．－1＜x＜0

C．－1＜x＜0或x＞1  D．x＜－1或0＜x＜1

图26－1－7

图26－1－8

4．若反比例函数y＝的图象过点(－2，1)，则一次函数y＝kx－k的图象过(　A　)

A．第一、二、四象限  B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限  D．第一、二、三象限

5. 如图26－1－8，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(－1，2)，若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　A　)

6. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为__24__．

7. 汽车匀速行驶在相距S千米的甲、乙两地之间，图26－1－9是行驶时间t(h)与行驶速度v(km/h)函数图象的一部分．

图26－1－9

(1)求行驶时间t(h)与行驶速度v(km/h)之间的函数关系。

(2)若该函数图象的两个端点为A(40，1)和B(m，0.5)．求这个函数的解析式和m的值；

(3)若规定在该段公路上汽车的行驶速度不得超过50 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

解：(1)把(40，1)代入t＝，得k＝40，

∴行驶时间t(h)与行驶速度v(km/h)之间的函数关系式是t＝，故答案为t＝.

(2)由(1)得出：函数的解析式为t＝，

把(m，0.5)代入t＝，0.5＝，解得：m＝80；

(3)把v＝50代入t＝，得t＝0.8，

答：汽车通过该路段最少需要0.8小时．

8．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1)

(1)其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为P。若点P的纵坐标是2，求k的值；

(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减少，求k的取值范围；

(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y1>y2时，试比较x1与x2的大小．

解：(1)由题意，设点P的坐标为(m，2)．

∵点P在正比例函数y＝x的图象上，

∴2＝m，即 m＝2.

∴点P的坐标为(2，2)．

∵点P在反比例函数y＝的图象上，

∴2＝，解得k＝5.

(2)∵在反比例函数y＝图象的一支上，y随x的增大而减小，∴k－1>0，解得k>1.

(3)∵反比例函数y＝图象的一支位于第二象限，

∴在该函数图象的每一支上y随x的增大而增大．

∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1>y2，所以x1>x2.

9．已知k1<0<k2，则函数y＝k1x－1和y＝的图象大致是(　A　)

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－1－10所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象为(　B　)

图26－1－10

11．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．

(1)求这两个函数的表达式；

(2)画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

图26－1－11

第11题答图

解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，所以y＝2x；

把A(1，2)代入y＝，得b＝2，所以y＝.

(2)画草图如下：

由图象可知：当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．

12. 如图26－1－12，函数y1＝－x＋4的图象与函数y2＝(x>0)的图象交于A(a，1)，B(1，b)两点．

(1)求函数y2＝的表达式；

(2)观察图象，比较当x>0时，y1与y2的大小．

图26－1－12

第12题答图

解：(1)把点A坐标代入y1＝－x＋4，得a＝3，∴k2＝3.∴y2＝.

(2)由图象可知，当0<x<1或x>3时，y1<y2，当x＝1或x＝3时，y1＝y2，当1<x<3时，y1>y2.

13．如图26－1－13，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象有公共点A(1，2)．直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C.

图26－1－13

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积．

解：(1)将A(1，2)代入一次函数解析式得：k＋1＝2，即k＝1，

∴一次函数解析式为y＝x＋1；

将A(1，2)代入反比例函数解析式得： m＝2，

∴反比例解析式为y＝；

(2)设一次函数与x轴交于D点，令y＝0，求出x＝－1，即OD＝1，

∴A(1，2)，

∴AE＝2，OE＝1，

∵N(3，0)，

∴则B点横坐标为3，

将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝，

∴B(3，4)，即ON＝3，BN＝4，C(3，)，即CN＝，则S△ABC＝S△BDN－S△ADE－S梯形AECN＝×4×4－×2×2－×(＋2)×2＝.