第2章 2.2.3　两条直线的位置关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？
1．两条直线相交、平行与重合的条件
(1)几何方法判断
若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交⇔k1≠k2；
②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．
(2)向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1．
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1；
l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1＝λA2，,B1＝λB2，,C1＝λC2.))
思考：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？
[提示] 平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2．
2．两条直线垂直
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2．( )
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．
2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为( )
A．－3 B．3 C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
B [因为k＝kAB＝eq \f(3－0,3－2)＝3，所以l的斜率为3．]
3．直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根，则l1与l2的位置关系为 ．
垂直 [由题意知一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根x1·x2＝－1，
∴直线l1、l2的斜率之积k1k2＝－1，∴直线l1⊥l2．]
4．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则a＝ ．
－eq \f(1,2) [因为直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，所以1×(－1)－2a＝0，解得a＝－eq \f(1,2)．]
5．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a＝ ．
－6 [由题意知eq \f(a－－1,3－－2)＝－1，所以a＝－6．]
【例1】 已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
[思路探究] 可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值．
[解] ∵直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m．
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1．
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－mm－2＝0，,2m2－18≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3＝0，,m2≠9，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3或m＝－1，,m≠3且m≠－3，))
∴m＝－1．
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－mm－2＝0，,2m2－18＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3或m＝－1，,m＝3或m＝－3，))∴m＝3．
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.
eq \([跟进训练])
1．l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0．求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
[解] 由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1，
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠eq \f(9,5)．
故当a≠eq \f(9,5)时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a－2－a×－1＝0，,－1－a2－4≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(9,5)，,a≠±\r(3).))
∴当a＝eq \f(9,5)时，l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，))
由(2)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(9,5)，,a＝±\r(3)，))不成立，∴直线l1与l2不重合．
综上所述：当a≠eq \f(9,5)时，两直线相交，当a＝eq \f(9,5)时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合．
【例2】 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
[思路探究] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；
(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．
[解] (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2．
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得
k1＝eq \f(3－a,a－2－3)＝eq \f(3－a,a－5)，k2＝eq \f(a－2－3,－1－2)＝eq \f(a－5,－3)．
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即eq \f(3－a,a－5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－5,－3)))＝－1，解得a＝0．
综上所述，a的值为0或5．
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
eq \([跟进训练])
2．分别判断下列两直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)．
(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)．
(3)直线l1的斜率为eq \f(1,3)，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行．
[解] (1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝eq \f(3－2,20－10)＝eq \f(1,10)，k1·k2＝－10×eq \f(1,10)＝－1．所以直线l1与l2垂直．
(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．
(3)直线l1的斜率为k1＝eq \f(1,3)，直线l2的斜率为k2＝－eq \f(2,3)，k1·k2＝－eq \f(2,9)≠－1，所以直线l1与l2不垂直．
[探究问题]
1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？
[提示] 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－eq \f(1,2)，BC边所在直线的斜率kBC＝2．由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
2．若已知直角三角形ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？
[提示] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2．
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2．
【例3】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
[思路探究] 利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．
[解] 由斜率公式得kOP＝eq \f(t－0,1－0)＝t，
kQR＝eq \f(2－2＋t,－2t－1－2t)＝eq \f(－t,－1)＝t，kOR＝eq \f(2－0,－2t－0)＝－eq \f(1,t)，
kPQ＝eq \f(2＋t－t,1－2t－1)＝eq \f(2,－2t)＝－eq \f(1,t)．所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ．
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”
[解] 由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－－4)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)．
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”
[解] 因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，
则由中点坐标公式知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0＋1－2t,2)＝\f(1＋x,2)，,\f(0＋2＋t,2)＝\f(t＋y,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2t，,y＝2.))所以R点的坐标是(－2t,2)．
1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2．判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．
1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两条直线平行的步骤．
(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法．
(3)判断图形形状的方法步骤．
3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．
1．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是( )
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或2
B [由已知，得a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1．当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2．]
2．如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．－eq \r(3) D．eq \r(3)
C [∵k1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
又l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
∴k2＝－eq \r(3)．]
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．－8 B．0
C．2 D．10
A [由已知，得eq \f(4－m,m＋2)＝－2，∴m＝－8．]
4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为 ．
±2 [由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2．]
5．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
[解] (1)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)＝tan 135°＝－1，
解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1．
(2)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)，且eq \f(－7－2,0－3)＝3．
则eq \f(m－3,2m2)＝－eq \f(1,3)，解得m＝eq \f(3,2)或m＝－3．
(3)令eq \f(m－3,2m2)＝eq \f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq \f(3,4)或m＝－1．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)
2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)
3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点)
1．通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养．
2．借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养．
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
两条直线相交、平行、重合的判定
两条直线垂直的判定
直线平行与垂直的综合应用