高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角综合训练题

课时分层作业(八)　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是(　　)

A．5　　　　 B．20

C．10 D．40

C　[根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，

Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，

令10－3r＝1，解得r＝3，

所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.]

2．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)

A．2n   B.

C．2n＋1   D.

D　[令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n， ①

令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n， ②

①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，

∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.]

3．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(　　)

A．奇数　 B．偶数

C．3的倍数　 D．被3除余1的数

A　[9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．]

4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.]

5．在(x－)2 020的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)

A．23 029 B．－23 029

C．23 030 D．－23 030

B　[因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 029.]

二、填空题

6．在的展开式中，中间项是________．

－160x3　[由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.]

7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．

7或0　[7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.]

8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.

62　[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，

使得连续三项C，C，C，有＝且＝.

化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.

故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]

三、解答题

9．已知二项式(1－x)10.

(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；

(2)求展开式中各二项式系数之和；

(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．

[解]　(1)展开式共11项，中间项为第6项，

T6＝C(－x)5＝－252x5；

(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024.

(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，

令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.

10．已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．

[解]　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8.的展开式共有9项，其中T5＝C(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.

11．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)

A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4

C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5

C　[Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．]

12．(多选题)关于下列(a－b)10的说法，正确的是(　　)

A．展开式中的二项式系数之和是1 024

B．展开式的第6项的二项式系数最大

C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

ABD　[由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．]

13．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．

　[因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

再令x＝－1，得

310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，

两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.]

14．(一题两空)如图所示，满足如下条件：

①第n行首尾两数均为n；

②表中的递推关系类似“杨辉三角”．

则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．

1

2　2

3　4　3

4　7　7　4

5　11　14　11　5

6　16　25　25　16　6

……

46　　[由图表可知第10行的第2个数为：

(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，

第n行的第2个数为：

[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.]

15．把通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)的数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，求S(10,6)对应于数阵中的数．

1

3　5

7　9　11

13　15　17　19

……

[解]　设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，

∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.