高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆备课课件ppt

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1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.
XUE XI MU BIAO
知识点　直线与椭圆的位置关系
消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
例1　(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
A.a1＋c1＝a2＋c2 B .a1－c1＝a2－c2
解析　由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.
命题角度1　直线与椭圆的位置关系
(1)有两个不同的公共点；
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
解　设动点P的坐标是(x，y)，
解　设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，经检验符合题意.∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解析　最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆 ＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离.
4.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则
解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
∴a－c＝m＋R ，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
∵a2－c2＝b2 ，
5.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是____________.
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
1.知识清单：(1)直线与椭圆的位置关系.(2)弦长公式.2.方法归纳：判别式法.3.常见误区：代数计算中的运算失误.
KE TANG XIAO JIE
A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断
所以可推断直线与椭圆相交.
消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交.
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
A.m>1 B.m>0C.0解析　方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
A.9x－y－4＝0 B.9x＋y－5＝0C.4x＋2y－3＝0 D.4x－2y－1＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点A，B在椭圆上，
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2).
10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的标准方程；
解　由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解　由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里.设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，
∴x＝2，y＝±3，∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3).
12.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
解析　方法一　设直线l的方程为y＝x＋t，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
方法二　根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，
15.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
解析　假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a－c)；(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).
(1)求椭圆C的方程；
解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
解　显然直线AB的斜率不为0，设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，
解得t2＝1，∴直线方程为x＝±y－1，即y＝x＋1或y＝－x－1.