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高中数学人教版新课标A选修4-5一 比较法练习题
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-5一 比较法练习题,共6页。试卷主要包含了1 比较法,又a1≠a3,等内容,欢迎下载使用。
www.ks5u.com第二讲 证明不等式的基本方法2.1 比较法A级 基础巩固一、选择题1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( )A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q解析:因为p-q=+-a-b=≤0,所以p≤q.答案:B2.已知a,b都是正数,P=, Q=,则P,Q的大小关系是( )A.P>Q B.P<QC.P≥Q D.P≤Q解析:因为a,b都是正数,所以P>0,Q>0.所以P2-Q2=-()2=≤0.所以P2-Q2≤0.所以P≤Q.答案:D3.已知a,b,c均大于1,且logac·logbc=4,则下列一定正确的是( )A.ac≥b B.ab≥cC.bc≥a D.ab≤c解析:因为logac·logbc==4,所以lg2c=4lg a·lg b≤(lg a+lg b)2=(lg ab)2.又c>1,a>1,b>1,所以lg c≤lg ab,即c≤ab.答案:B4.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为( )A.a5>b5 B.a5<b5C.a5=b5 D.不确定解析:由等比数列的性质知a5=,由等差数列的性质知b5=2b3-b1.又a1≠a3,故a5-b5=-2b3+b1==>0.因此,a5>b5.答案:A5.已知a>0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是( )A.P>Q B.P<QC.P=Q D.大小不确定解析:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga.当0<a<1时,0<a3+1<a2+1,0<<1,所以loga>0,即P-Q>0,所以P>Q.当a>1时,a3+1>a2+1>0,>1,所以loga>0,即P-Q>0,所以P>Q.故应选A.答案:A二、填空题6.若-1<a<b<0,则,, a2,b2中最小的是________.解析:依题意,有>,a2>b2,故只需比较与b2的大小.因为b2>0,<0,所以<b2.所以,,a2,b2中最小的是.答案:7.设x=a2b2+5, y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件是________.解析:由x>y得a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0,故a=-2,b=-不同时成立.答案:a=-2,b=-不同时成立8.若0<a<b<1,P=log,Q=(loga+logb),M=log (a+b),则P,Q,M的大小关系是________.解析:因为0<a<b<1,所以>,所以log<log=log (ab)=(loga+logb),即P<Q,又<a+b,所以log>log (a+b),即P>M,所以Q>P>M.答案:Q>P>M三、解答题9.已知a∈R,求证:3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2.证明:3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3(1+a2+a4)-(1+a2+a4+2a+2a3+2a2)=2-2a-2a3+2a4=2(1-a)2(1+a+a2)≥0,即3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2.10.已知a,b,c∈R+,求证:aabbcc≥(abc).证明:因为a,b,c是正数,不妨设a≥b≥c>0,则≥1,≥1,≥1.因为=abc=·≥1,所以aabbcc≥(abc).B级 能力提升1.已知a>b>0, c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是( )A.m<n B.m>nC.m≥n D.m≤n解析:因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd>0,>,所以m>0,n>0.又因为m2=ac+bd-2,n2=ac+bd-(ad+bc),又由ad+bc>2,所以-2>-ad-bc,所以m2>n2,所以m>n.答案:B2.已知a>0,对于大于1的自然数n,总有<,则a的取值范围是________.解析:因为0<a<a,且>,所以0<a<1.答案:(0,1)3.(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy;(2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.证明:(1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+≤++xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy) 2.将上式中的右式减左式,得y+x+(xy)2]-xy(x+y)+1]=(xy)2-1]-xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)·(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.从而所要证明的不等式成立.(2)设logab=x,logbc=y,由换底公式得logca=,logba=,logab=,logac=xy.于是,所要证明的不等式即为x+y+≤++xy,其中x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)成立知所要证明的不等式成立.
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