高中数学人教版新课标A选修4-5二 综合法与分析法课后练习题

 www.ks5u.com第二讲  证明不等式的基本方法

2.2  综合法与分析法

A级　基础巩固

一、选择题

1．若a＞0，b＞0，则必有(　　)

A.＞2b－a　　　　 B.＜2b－a

C.≥2b－a   D.≤2b－a

解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，

所以a＋≥2b，即≥2b－a.

答案：C

2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)

A．x＋y≥2(＋1)   B．xy≤＋1

C．x＋y≤2(＋1)2   D．xy≥2(＋1)

解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，

所以(x＋y)＋1＝xy≤.

所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，

解得x＋y≥2(＋1)．

答案：A

3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是(　　)

A.＞   B.＞

C．a＋＞b－   D．aa＞ab

解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以＞.

答案：B

4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a2＋b2＋c2≥2

B．(a＋b＋c)2≥3

C.＋＋≥2

D．abc(a＋b＋c)≤

解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.

又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，

所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．

答案：B

5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.

反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．

如：a＝，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.

答案：B

二、填空题

6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．

解析：a＋b＞a＋b⇔(＋)(－)2＞0⇔a≥0，b≥0，且a≠b.

答案：a≥0，b≥0，且a≠b

7．若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.

其中正确的不等式的序号为________．

解析：因为＜＜0，

所以b＜a＜0，故②③错．

答案：①④

8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．

解析：因为a2＋b2＝c2，

所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，

所以≤，

又因为a＋b＞c，所以＞1.

所以的取值范围是(1，]．

答案：(1，]

三、解答题

9．求证：＜2－.

证明：21＜25⇒＜5⇒2＜10⇒10＋2＜20⇒(＋)2＜(2)2⇒＋＜2⇒＜2－.

所以原不等式成立．

10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜.

证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.

所以a2＋ab＋b2＝a＋b.

所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.

所以a＋b＞1.

要证a＋b＜，只需证3(a＋b)＜4，

只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，

即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，

只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，

而a，b为不相等的正数，

所以(a－b)2＞0一定成立．

故a＋b＜成立．

综上所述，1＜a＋b＜.

B级　能力提升

1．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是(　　)

A．(a＋b)≥4

B．a3＋b3≥2ab2

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

D.≥－

解析：因为a＞0，b＞0，

所以(a＋b)≥2·2≥4，

当且仅当a＝b时等号成立，故A恒成立；

a3＋b3≥2ab2，取a＝，b＝，则B不成立；

a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；

若a＜b，则≥－恒成立；

若a≥b，则()2－(－)2＝2(－b)≥0，

所以≥－，故D恒成立．

答案：B

2．若n为正整数，则2与2＋的大小关系是________．

解析：要比较2与2＋的大小，只需比较(2)2与的大小，即4n＋4与4n＋4＋的大小．

因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.

所以2＜2＋.

答案：2＜2＋

3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：

(1)若ab＞cd，则＋＞＋；

(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．

证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，

(＋)2＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.

因此＋>＋.

(2)①若|a－b|<|c－d|，

则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，

由(1)得＋>＋.

②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2即a＋b＋2>c＋d＋2，

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，

因此|a－b|<|c－d|，

综上所述＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．