选修4-5二 综合法与分析法同步达标检测题

二　综合法与分析法

课后篇巩固探究

1.求证.

证明:因为都是正数,

所以要证,

只需证()2>()2,

展开得5+2>5,即2>0,显然成立,

所以不等式.

上述证明过程应用了(　　)

A.综合法 B.分析法

C.综合法、分析法混合 D.间接证法

解析分析法是“执果索因”,基本步骤:要证……只需证……,只需证……,结合证明过程,证明过程应用了分析法.故选B.

答案B

2.下面对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是运用综合法的是(　　)

A.∀x∈R,且x≠0有f(-x)=(-x)+=-=-f(x),则f(x)是奇函数

B.∀x∈R,且x≠0有f(x)+f(-x)=x++(-x)+=0,∴f(x)=-f(-x),则f(x)是奇函数

C.∀x∈R,且x≠0,∵f(x)≠0,∴=-1,∴f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数

D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2.f(-1)=-f(1),则f(x)是奇函数

解析D项中,选取特殊值进行证明,不是综合法.

答案D

3.若1<x<10,下面不等式正确的是(　　)

A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x)

B.lg x2<(lg x)2<lg(lg x)

C.(lg x)2<lg(lg x)<lg x2

D.lg(lg x)<(lg x)2<lg x2

解析因为1<x<10,所以0<lgx<1,于是0<(lgx)2<lgx,lgx2=2lgx>lgx>0.

又lg(lgx)<0,所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.

答案D

4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证a”,索的“因”应是(　　)

A.a-b>0 B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

解析由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证a,索的“因”应是(a-b)(a-c)>0.

答案C

5.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)

A.A≥B B.A≤B

C.A>B D.A<B

解析∵()2=a+2+b,

∴A2-B2>0.

又A>0,B>0,

∴A>B.

答案C

6.导学号26394035设x1,x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则(　　)

A.|x1|>2,且|x2|>2

B.|x1+x2|<4

C.|x1+x2|>4

D.|x1|=4,且|x2|=16

解析由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0,所以|p|>4.又x1+x2=-p,所以|x1+x2|=|p|>4.

答案C

7.等式“”的证明过程:“等式两边同时乘得,左边==1,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用的证明方法是　　　　　.(填“综合法”或“分析法”) 

答案综合法

8.若a>c>b>0,则的符号是　　　　　. 

解析

=

=

=,

因为a>c>b>0,

所以a-b>0,a-c>0,b-c<0,abc>0.

因此<0.

答案负

9.导学号26394036已知a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.

求证1<a+b<.

证明∵a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,

∴a2+ab+b2=a+b.

∴(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b.

∴a+b>1.

要证a+b<,只需证3(a+b)<4,

只需证3(a+b)2<4(a+b),

即3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),

只需证a2-2ab+b2>0,只需证(a-b)2>0,

而a,b为不相等的正数,∴(a-b)2>0显然成立.

故而a+b<成立.

综上,1<a+b<.

10.导学号26394037在△ABC中,已知△ABC的面积为,外接圆的半径为1,三边长分别为a,b,c,求证.

证明设外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.

∵S=,R=1,S=,

∴abc=1,且a,b,c不全相等,否则a=1与a=2Rsin60°=矛盾,∴=bc+ac+ab.

又bc+ac≥2=2,ca+ab≥2=2,bc+ab≥2=2,

∵a,b,c不全相等,

∴上述三式中“=”不能同时成立.

∴2(bc+ac+ab)>2(),

即bc+ac+ab>.

因此.