2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练【新课标全国卷理数】考点3 导数及其应用

【新课标全国卷理数】考点3 导数及其应用—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练

【易错点分析】

1.用导数求函数的单调区间的方法：

（1）当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或求出单调区间.

（2）当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，从而确定单调区间.

（3）不等式或及方程均不可解时求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号，得单调区间.

2.已知函数单调性，求参数范围的方法：

（1）利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集.

（2）转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”.

（3）可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.

3.已知函数求极值：求求方程的根，列表检验在的根的附近两侧的符号，下结论.

4.求函数在上的最大值和最小值的步骤：

（1）若所给的闭区间不含参数，

①求函数在内的极值；

②求函数在区间端点的函数值，；

③将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.

1.已知曲线在点处的切线方程为，则(   )
A. B.
C. D.

2.已知函数有极值，则实数a的取值范围是(   )
A. B.
C. D.

3.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

4.已知函数与函数的图像在区间上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(   )

A. B.  C. D.

5.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

6.已知定义域为R的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

7.已知定义在R上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是________.

8.已知函数，存在m，n，使得，且，则的最小值为_______________.

9.已知函数，其中a为正实数，若在上无最小值，且在上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_____________.

10.已知函数.

（1）求在区间上的值域；

（2）是否存在实数a，对任意的，在上总存在两个不同的使得？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：令，则.
曲线在点处的切线方程为，
即解得故选D.

2.答案：C

解析：，
，
函数在R上存在极值，
函数在R上不是单调函数，
有两个不相等的实数根，
即，
解得或，故选C.

3.答案：C

解析：由题意知，在上恒成立，即在上恒成立.
令，其导函数恒成立.故的最小值为，故.故选C.

4.答案：A

解析：由题意可得在上恰有两个实数解，

即在上恰有两个实数解，

即在上恰有两个实数解.

令，

则，

函数在上单调递增，在上单调递减，

又，

.

5.答案：C

解析：由题意知当时，恒成立，即恒成立.

当时，在上单调递减，成立；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，故.

所以.

当时，恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，

易知为函数在上唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以.

综上可知，的取值范围是.故选C.

6.答案：D

解析：令，则，

定义域为R的函数满足，

在R上恒成立，函数在R上单调递增，

当时，由，知，

当时，不等式显然成立.

当时，，不等式可化为，

整理得，即，

所以，得，所以；

当时，，不等式可化为，

整理得，即，

所以，得，所以.

综上所述，原不等式的解集为.

7.答案：

解析：构造函数，所以，

可得函数在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增.由，即得.又因为，所以不等式的解集为.

8.答案：

解析：易知的定义域为，

.

令，即，，

因为存在m，n，使得，且，

所以在上有两个不相等的实数根m，n，且，，

所以，，

所以

.

令，

则，当时，恒成立，

所以在上单调递减，

所以，即的最小值为.

9.答案：

解析：，

，

若在上无最小值，

则在上单调，

在上恒成立或在上恒成立，

或，

而函数在上单调递减，

且时，时，，

或，而a为正实数，故.①

，

函数在区间上单调递增，

在区间上恒成立，

在区间上恒成立.

而.②

由①②得.

10.答案：（1）易得，当时，单调递增，

当时，单调递减，

且，

在上的值域为.

（2）由已知得，且，

当时，（当且仅当时等号成立），在上单调递增，不合题意.

当时，（当且仅当时等号成立），在上单调递减，不合题意.

当时，令，得.

当时，单调递减，

当时，单调递增，.

由（1）知在上的值域为，

而，

所以对任意的，在区间上总存在两个不同的，使得，

当且仅当

即

由①得.

设，

则，

当单调递减，，

无解.

综上，满足条件的实数a不存在.