【新课标新高考】2022届高考数学一轮复习考点基础题练习 考点4 导数及其应用

考点4 导数及其应用

一、选择题

1.已知是的导数，则(   )

A. B. C. D.

2.函数的图象在点处的切线方程为(   )

A. B. C. D.

3.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

4.已知函数,若在处取得极小值,则a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

5.已知函数满足，则时，(   )

A.有极小值但无极大值 B.有极大值但无极小值

C.既有极大值又有极小值 D.既无极小值也无极大值

6.已知函数的定义域为，对任意，则的解集为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

7.下列函数中，在处的导数等于1的是(   )

A. B. C. D.

8.已知函数的定义域为,则(   )

A.为奇函数  B.在上单调递增

C.恰有4个极大值点 D.有且仅有4个极值点

9.已知函数在处取得最小值，则(   )

A. B. C. D.

10.设是函数的导数,若,且,

则下列各项正确的是(   )

A.  B.

C. D.

三、填空题

11.设，且，则___________.

12.设函数，则曲线在点处的切线方程为________.

13.已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.

14.已知的定义域为,是的导函数,且满足,若是偶函数,,则不等式的解集为_________.

四、解答题

15.已知函数，.

（1）判断函数的单调性；

（2）若，且，证明：.

参考答案

1.答案：B

解析：因为，所以，所以.

2.答案：A

解析：因为，所以，所以，故函数的图象在点处的切线方程为，即.故选A.

3.答案：C

解析：因为在R上单调递增，

所以在R上恒成立，

即在R上恒成立.

令，

又，

所以，所以.

4.答案：D

解析：因为，所以，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当且时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增,满足题意；当时,在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.故a的取值范围为，故选D.

5.答案：B

解析：由题意得，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以有极大值但无极小值，故选B.

6.答案：B

解析：设，所以，由题意知恒成立，

所以函数在R上单调递增，又因为.

所以要使，即，只需，故选B.

7.答案：BD

解析：A.，当时，；

B.，当时，；

C.，当时，；

D.，当时，.故选BD.

8.答案：BD

解析：因为的定义域为，所以是非奇非偶函数.

，

.

当时，，在上单调递增.

显然，令，得，

分别作出在区间上的图像，如图所示，

由图可知，这两个函数的图像在区间上共有4个公共点，且两图像在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.

9.答案：ACD
解析：由题意知，函数的定义域为，
.令，易知
在上单调递增.而，
，所以由函数零点存在定理及函
数在处取得最小值知，，使
.从而当时，，此时
，所以在上单调递减；当
时，，此时，所以在上单调递
增.所以，所以
.又，所以，所以
，故选ACD.
 

10.答案：ABD

解析：由知,在R上单调递增,则故A正确;恒有,即,所以的图象是向上凸起的,如图所示,由导数的几何意义知,随着x的增加,的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以故B正确,又,所以由图易知,故D正确,C错误,因此选ABD

11.答案：1

解析：因为，所以，又，所以，解得，故.

12.答案：

解析：本题考查导数的几何意义.因为,所以,所以,故曲线在点处的切线方程为.

13.答案：

解析：.因为在上有3个不同的极值点，所以在上有3个不同的实根，所以在上有2个不同的实根（且不等于1）.由，得.令，则，显然函数在单调递减，在单调递增.又，因为，所以.

14.答案：

解析：令,则,因为,所以当时,,故在上单调递增.因为是偶函数,所以,所以为偶函数.因为,所以不等式可转化为,可得,得或,所以不等式的解集为.

15.答案：（1）【解】，，
由得，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
(2)【证明】，且，
由（1）知，不妨设.
要证，只需证明，
而，在上单调递减，
故只需证明.
又，只需证明.
令函数，
则，
当时，，，故，
在上单调递增，故在上，
成立，故成立.