试卷 2020-2021学年苏科版八年级数学下册期末复习大题压轴题知识考点梳理卷（原卷+解析版）

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2020-2021学年苏科版八年级数学下册期末复习大题压轴题知识考点梳理卷


【题型1 四边形综合—新定义类】
【例1】（2020春•邗江区期末）定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝23，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．

【变式1-1】（2020春•清江浦区期末）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的5×7的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求顶点D在网格格点上；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=207，BC＝5，点E在BC边上，连接DE画AF⊥DE于点F，若DE=54CD，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，则BM的长为　4或6或265　．

【变式1-2】（2020春•高邮市期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四边形”的是　 　．（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长．
（3）如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和．

【变式1-3】（2020春•扬中市期末）阅读：顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．八（1）班的宣传小组A、B、C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形．
A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形．
B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形．
C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形．（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）
（一）操作与画图
1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是什么．
2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）．
3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置．

（二）证明与计算
1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形．
2．已知矩形AB＝6，BC＝8，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱形的面积最大值是　 　．
（三）拓展与应用
如图（备用图），矩形ABCD的最大内接菱形的面积是矩形面积的59，则AB：AD＝　 　．
【题型2 四边形综合—动点类】
【例2】（2020春•姑苏区期末）如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E﹣B﹣C匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ＝5，设△PAQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．
（1）图①中AB＝　 　，BC＝　 　，图②中m＝　 　．
（2）点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．

【变式2-1】（2020春•张家港市期末）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝　 　时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在点P运动的过程中，线段PB上有一点M，且PM＝5，求四边形OAMP的周长最小值．

【变式2-2】（2020•福州期末）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

【变式2-3】（2020春•吴中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8厘米，BC＝10厘米，点D在BC上，且CD＝6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）EP＝　 　；（用t的代数式表示）
（2）如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

【题型3 四边形综合—旋转类】
【例3】（2020春•高邮市期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，两条对角线相交于点O，以O为顶点作正方形OEFG，将正方形OEFG绕点O旋转．
（1）旋转过程中，正方形OEFG与正方形ABCD重叠部分的面积为　 　；
（2）连接BG，EC，延长EC交BG于点H，判断EC与BG的位置关系，并说明理由；
（3）连接DE，当以B、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，求点D到OE的距离．

【变式3-1】（2020春•徐州期末）已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE＝AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为　 　，数量关系为　 　．
（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB＝3，AE＝1，则线段AP的取值范围为　 　．

【变式3-2】（2020春•江都区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于　 　；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE2+AG2的值；
（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值．

【变式3-3】（2020秋•红桥区期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

【题型4 四边形综合—探索类】
【例4】（2020春•宝应县期末）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）探究猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　；
②BC、CD、CF之间的数量关系为：　 　；
（2）深入思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝22，CD=14BC，请求出OC的长．
【变式4-1】（2020春•秦淮区期末）我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE=12DF，又可证图中的四边形　 　为平行四边形，可得BC与DF的关系是　 　，于是推导出了“DE∥BC，DE=12BC”．
寻找图形，完成证明
（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF=2BE．
构造图形，解决问题
（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．

【变式4-2】（2020春•溧水区期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．
证明思路如下：
第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明△AEM≌△ANM．

请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE＝∠CDG．
其中所有正确结论的序号是　 　．

【深入研究】
如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　 　．
【变式4-3】（2020春•盐城期末）社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，∠MON＝90°，点A为边OM上一定点，点B为边ON上一动点，以AB为一边在∠MON的内部作正方形ABCD，过点C作CF⊥OM，垂足为点F（在点O、A之间），交BD于点E，试探究△AEF的周长与OA的长度之间的等量关系．
该兴趣小组进行了如下探索．

【题型5 与反比例函数图像有关的探索】
【例5】（2020春•南京期末）我们已经学习过反比例函数y=1x的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y=-1x2的图象和性质进行探索，并解决下列问题：
（1）该函数的图象大致是　 　．

（2）写出该函数两条不同类型的性质：
①　 　；
②　 　；
（3）写出不等式-1x2+4＞0的解集．
【变式5-1】（2020春•秦淮区期末）（1）分式1x有意义的条件是　 　，该分式的值　 　（填“会”或“不会”）为零，由此可以判断出反比例函数y=1x的图象与y轴和x轴都没有公共点．
（2）类比（1），下列直线中，与函数y=1x-1-2的图象没有公共点的是　 　．（填写所有满足要求的选项的序号）
①经过点（1，0）且平行于y轴的直线；
②经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线；
③经过点（0，2）且平行于x轴的直线；
④经过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线．
（3）已知函数y=1x-1-2的图象可以由y=1x的图象平移得到．请你结合（2）中的结论，画出函数y=1x-1-2的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质．
【变式5-2】（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y=4x-1的图象性质．
（1）补充表格，并画出函数的图象．
①列表：
x
…
﹣3
﹣1
0
2
3
5
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4

1
…
②描点并连线，画图．
（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：　 　；
（3）函数y=4x-1的图象是由函数y=4x的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为　 　；
（4）根据上述经验，猜一猜函数y=4x-1+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围
　 　．

【变式5-3】（2020春•玄武区期末）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P，原点，两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“奇点”，例如：如图①，过点P（4，4）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所有点 P是奇点，请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（2，2），D（﹣4，﹣4），E（103，﹣5），其中是平面直角坐标系中的奇点的有　 　；（填字母代号）
（2）我们可以从函数的角度研究奇点，已知点P（x，y）是第一象限内的奇点．
Ⅰ．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
Ⅱ．借鉴研究一次函数和反比例函数的经验，类似地可以对Ⅰ中所求出的图象和性质进行探索，下列结论正确的是　 　（填写所有正确的序号）；
①图象与坐标轴没有交点；
②在第一象限内，y随着x的增大而减小；
③对于图象上任意一点（x，y），（x﹣2）•（y﹣2）是一个定值．
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上奇点的个数随着k的值变化而变化，直接写出奇点的个数及对应的k的取值范围．
【题型6 反比例函数与一次函数综合类】
【例6】（2020春•泰兴市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b），其中a＜b，与坐标轴的交点分别为C，D，AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求a+b的值；
（2）求直线l的函数表达式；
（3）若AD＝OD，求k的值；
（4）若P为x轴上一点，BP∥OA，若a，b均为整数，求点P的坐标．

【变式6-1】（2020春•石狮市期末）如图，点P是反比例函数y=2x（x＞0）图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D，E，与经过点（2，5）的双曲线y=kx（k≠0，x＞0）交于点A，B，连接AB．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OB．若点P的横坐标为2，求△AOB的面积；
（3）若直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：AM＝BN．

【变式6-2】（2020春•溧阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＜0）的图象经过点（﹣6，1），直线y＝mx+m与y轴交于点（0，﹣2）．
（1）求k，m的值；
（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx+m于点A，交函数y=kx（x＜0）的图象于点B．
①当n＝﹣1时，判断线段PA与PB的数量关系，并说明理由；
②若PB≥2PA，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【变式6-3】（2020春•泰州期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=4x的图象上．
（1）求点P的坐标；
（2）若OA＝OB，则：
①∠P的度数为　 　；
②求出此时直线AB的函数关系式；
（3）如果直线AB的关系式为y＝kx+n，且0＜n＜2，作反比例函数y=-nx，过点（0，1）作x轴的平行线与y=4x的图象交于点M，与y=-nx的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx+n的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．

【题型7 反比例函数与四边形综合类】
【例7】（2020春•镇江期末）如图，动点M在函数y=3x（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线，交函数y=1x（x＞0）的图象于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y＝kx+b．
（1）若点M的坐标为（1，3）
①B点坐标为　 　，C点坐标为　 　，直线BC的函数表达式为　 　；
②点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
（2）连接BO、CO．
①当OB＝OC时，求OB的长度；
②试证明△BOC的面积是个定值．

【变式7-1】（2020春•丰县期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【变式7-2】（2020春•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标　 　；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【变式7-3】（2020春•邗江区期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
（1）D点坐标为　 　，k＝　 　．
（2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？
②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为y＝k1x，根据图象直接写出不等式k1x＜kx的x的取值范围；
（3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．


【题型8 反比例函数应用题综合类】
【例8】（2020春•沙坪坝区校级期末）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一个圈舍内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系．
（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；
（2）请补全函数图象；
（3）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？

【变式8-1】（2020秋•北京期末）为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．
根据题中所提供的信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时y关于x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式是　 　；
研究表明，
①当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；
②当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，你认为此次消毒有效吗？请说明理由．

【变式8-2】（2020春•海州区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？

【变式8-3】（2020秋•兰州期末）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是 　千米/小时，最高风速维持了　 　小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　 　小时．

【题型9 分式混合运算的应用类】
【例9】（2020秋•五华区校级期中）【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
【解决问题】
小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了m千克商品，小颖两次购买商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且a≠b）．
（1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元/千克？
（2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低．
【变式9-1】（2020秋•遵义期末）七千年前中国长江流域的先民们就曾种植水稻，到目前国内杂交稻的种植面积有2亿亩．2019年10月21日至22日，被袁隆平看作突破亩产“天花板”关键的第三代杂交水稻，在湖南省衡阳市衡南县清竹村以首次公开测产方式全面亮相，其潜能巨大．如图，“第三代一号”水稻的实验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（m＞n）正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为（m﹣n）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克．
（1）试建立代数式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m，n均为正数）
（2）高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？

【变式9-2】（2020春•新昌县期末）小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加200元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满!”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x，y的代数式表示）
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
【变式9-3】（2020春•杭州期末）商店常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设甲种糖的单价为a元/千克，乙种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克甲种糖和n千克乙种糖混合而成的什锦糖单价为ma+nbm+n元/千克．
（1）当a＝25，b＝30时，求20千克的甲种糖和30千克的乙种糖混合而成的什锦糖单价．
（2）在（1）的基础上，要把什锦糖单价降低2元，则需减少乙种糖多少千克？
（3）现有A、B两种混合方案，A方案是由x千克甲种糖和x千克乙种糖混合而成，B方案是由y元甲种糖和y元乙种糖混合而成，你认为哪一种方案的单价低？请说明理由．
【题型10 分式方程应用题综合类】
【例10】（2020秋•章贡区期末）某中学教学楼需要在规定时间内改造完以迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如表（部分信息）：
甲：（1）施工一天，需付甲工程队2.1万元；
（2）单独完成这项工程可提前两天完成．
乙：（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；
（2）单独完成这项工程会延期8天才可以完成．
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：（1）学校规定的期限是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【变式10-1】（2020秋•綦江区期末）轻轨3号线北延伸段渝北空港广场站的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元，付乙工程队工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
【变式10-2】（2020春•拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【变式10-3】（2020秋•沙坪坝区期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？