2021年江苏省苏州市工业园区中考数学模拟试卷（3月份）（word版 含答案）

这是一份2021年江苏省苏州市工业园区中考数学模拟试卷（3月份）（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省苏州市工业园区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．﹣5的倒数是（　　）
A． B．±5 C．5 D．﹣
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
3．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）

A． B．1 C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（　　）

A．或2 B． C．或2 D．
9．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．波波同学根据图文信息，解读出以下结论：
①乙车速度是80km/h；
②m的值为1；
③a的值为40；
④乙车比甲车早h到达B地．
其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．16的平方根是　 　．
13．把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　 　．
14．若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图面积为15π，则该圆锥的母线长是　 　．
15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围　 　．
16．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6．那么CF的长等于　 　．

17．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　 　．
18．如图，⊙O的半径为，点B为⊙O上一动点，∠B＝30°，AC是⊙O的切线，BC与⊙O交于点D，则CD的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：．
21．（6分）习近平总书记指出“餐饮浪费现象，触目惊心，令人心痛”．为此我市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生共有　 　人，扇形统计图中，“B组”所对圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有学生1500人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若有剩饭的学生按平均每人剩20g米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭．

22．（6分）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没•狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没•狂野大陆》表示为D．
（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是　 　；
（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？

23．（8分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．

24．（8分）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
25．（8分）已知抛物线W：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线W的解析式和顶点坐标；
（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
26．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．
（1）求证：∠ECD＝∠EDC；
（2）若BC＝2OC，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D是边AB的中点．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动．当点P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ＝∠A，∠DPQ＝90°，且点Q与点C在直线AB同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点Q落在边AC上时，求t的值．
（2）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积．
（3）取边AC的中点E，连接EQ．当EQ∥AB时，直接写出t的值．


2021年江苏省苏州市工业园区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．﹣5的倒数是（　　）
A． B．±5 C．5 D．﹣
【分析】根据倒数的定义，即可求出﹣5的倒数．
【解答】解：∵﹣5×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：D．
2．我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：21500000＝2.15×107．
故选：B．
3．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
【分析】由平行线的性质得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得三角形ACD是直角三角形，进而得出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．
【解答】解：∵sin45°＝，
∴α+15°＝45°，
∴α＝30°，
故选：B．
5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】只要证明BE＝BC即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，
∴BE＝BC＝3，
∵AB＝2，
∴AE＝BE﹣AB＝1，
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（　　）

A．或2 B． C．或2 D．
【分析】设CE＝x，则C′E＝x，证明四边形MNCD是矩形，由矩形的性质得出∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5，由折叠的性质得出C′D＝CD＝5，求出MC′＝3，由勾股定理得出x2﹣（4﹣x）2＝22，解方程可得出答案．
【解答】解：设CE＝x，则C′E＝x，
∵矩形ABCD中，AB＝5，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM，
∴DM＝CN＝4，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∵∠NCD＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5
由折叠知，C′D＝CD＝5，
∴MC′＝＝＝3，
∴C′N＝5﹣3＝2，
∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x，
∴C′E2﹣NE2＝C′N2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝22，
解得，x＝，即CE＝．
故选：B．
9．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”的坐标为（x，y），
当x≥0时，则y＝x﹣3，所以，x（x﹣3）＝1，
解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；
当x＜0时，则y＝﹣x﹣3，所以，x（﹣x﹣3）＝1，
解得：x3＝，x4＝．
∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．
故选：C．
10．甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．波波同学根据图文信息，解读出以下结论：
①乙车速度是80km/h；
②m的值为1；
③a的值为40；
④乙车比甲车早h到达B地．
其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先由函数图象中的信息求出m的值，再根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车，再把y＝260代入y＝40x﹣20求得甲车到达B地的时间，再求出乙车行驶260km需要260÷80＝3.25h，即可得到结论．
【解答】解：120÷（3.5﹣2）＝80km/h（千米/小时），
即乙车速度是80km/h，故①正确；
由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1．故②正确；
120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，
故③正确；
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，
得，
解得，
∴y＝40x﹣20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y＝260代入y＝40x﹣20得，x＝7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车的行驶260km需要260÷80＝3.25（h），
∴7﹣（2+3.25）＝（h），
∴乙车比甲车早h到达B地．故④错误，
综上所述，正确结论的有①②③，共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　x≠4　．
【分析】分式有意义，分母不能为0，即x﹣4≠0，x≠4．
【解答】解：∵x﹣4≠0，
∴x≠4．
故答案为：x≠4．
12．16的平方根是　±4　．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
13．把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
14．若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图面积为15π，则该圆锥的母线长是　5　．
【分析】设该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到×2π×3×l＝15π，然后解关于l的方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×3×l＝15π，解得l＝5．
即该圆锥的母线长为5．
故答案为5．
15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围　k＜且k≠0　．
【分析】由方程有两个不相等的实数根得△＞0，解不等式可得k的范围．
【解答】解：根据题意知[﹣（k﹣1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，
解得：k＜且k≠0．
故答案为：k＜且k≠0．
16．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6．那么CF的长等于　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AC∥EF∥BD，
∴＝，即＝，
解得，CF＝，
故答案为：．
17．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　﹣4＜y≤4　．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
18．如图，⊙O的半径为，点B为⊙O上一动点，∠B＝30°，AC是⊙O的切线，BC与⊙O交于点D，则CD的最小值为　2　．

【分析】过点A作直径AE，连接ED，AD，过D作DF⊥AC于F，由圆周角定理得到∠E＝30°，∠ADE＝90°，结合切线的性质推出∠FAD＝30°，根据含30°角直角三角形的性质求出AD，DF，根据垂线段最短即可得到CD的最小值．
【解答】解：过点A作直径AE，连接ED，AD，如图，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠EAD＝90°，
∵AC为切线，
∴EA⊥AC，
∴∠EAC＝90°，即∠EAD+∠FAD＝90°，
∴∠E＝∠FAD，
∵∠B＝30°，
∴∠FAD＝∠E＝∠B＝30°，
∵AE＝8，
∴AD＝AE＝4，
过D作DF⊥AC于F，
∴DF＝AD＝2，
∵CD≥DF，
∴CD≥2，
∴CD的最小值是2，
故答案为2．

三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+﹣×
＝﹣2+﹣
＝﹣2．
20．（5分）解方程：．
【分析】观察可得2﹣x＝﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），
得：x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝1，
检验：x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
21．（6分）习近平总书记指出“餐饮浪费现象，触目惊心，令人心痛”．为此我市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生共有　120　人，扇形统计图中，“B组”所对圆心角的度数为　72°　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有学生1500人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若有剩饭的学生按平均每人剩20g米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭．

【分析】（1）用A组人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；求出B组所占的百分比，再乘以360°即可得出“B组”所对应的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数乘以C组所占的百分比得出C组的人数，进而补全条形统计图；
（3）用总人数乘以午饭有剩饭的学生人数所占的百分比求出这日午饭有剩饭的学生人数，再乘以平均每人剩米饭的克数即可得出午饭浪费的总克数．
【解答】解：（1）这次被抽查的学生数是：72÷60%＝120（人），
“B组”所对应的圆心角的度数为：360°×＝72°．
故答案为：120，72°．

（2）C组的人数为：120×10%＝12（人），补全条形统计图如下：


（3）这日午饭有剩饭的学生人数为：1500×＝450（人），
450×20＝9000（克）＝9（千克），
答：这日午饭将浪费了9千克米饭．
22．（6分）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没•狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没•狂野大陆》表示为D．
（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是　　；
（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？

【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）共有四部电影，分别是《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没•狂野大陆》，
则波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是．
故答案为：；

（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知共有16种等可能结果，其中两人观看同一部电影的有4种结果，
所以两人观看同一部电影的概率为＝．
23．（8分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．

【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，

∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
（2）∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝＝100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
24．（8分）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：，
解得：71≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴波波共有4种进货方案，
方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；
方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；
方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；
方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元．
答：波波共有4种进货方案，方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元．
25．（8分）已知抛物线W：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线W的解析式和顶点坐标；
（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
【分析】（1）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；
（2）分①a+1＜1、②a＜1≤a+1、③a≥1三种情况，分别表示出二次函数在最小值求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（−1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
则y＝（x+1）（x−3），
即抛物线C的表达式为y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4；
∴顶点坐标为（1，−4）；
（2）①当a+1＜1时，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2−2（a+1）−3＝2a，
解得a＝1−（正值舍去）；
②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，
则函数的最小值为1−2−3＝2a，
解得：a＝−2（舍去）；
③当a≥1时，
则函数的最小值为a2−2a−3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）．
综上，a的值为1−或2+．
26．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．
（1）求证：∠ECD＝∠EDC；
（2）若BC＝2OC，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出∠EDC+∠ODA＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠OAC，得出∠EDC＝∠ACO，即可得出结论；
（2）设DE＝x，则CE＝DE＝x，OE＝2+x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；
（3）过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，当∠A＝15°时，∠DOF＝30°，得出DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°，S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝15π﹣9，当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝12π﹣9，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC+∠ODA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠ACO+∠OAC＝90°，
∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴OA＝OB，
∴∠ODA＝∠OAC，
∴∠EDC＝∠ACO，
∵∠ECD＝∠ACO，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）解：∵BC＝2OC，OB＝OA＝6，
∴OC＝2，
设DE＝x，
∵∠ECD＝∠EDC，
∴CE＝DE＝x，
∴OE＝2+x，
∵∠ODE＝90°，
∴OD2+DE2＝OE2，
即：62+x2＝（2+x）2，
解得：x＝8，
∴DE＝8；
（3）解：过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，如图2所示：
当∠A＝15°时，∠DOF＝30°，
∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°，
S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝＝15＝15π﹣9，
当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，
∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝120°，
S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝＝12π﹣×6×3＝12π﹣9，
∴当∠A从15°增大到30°的过程中，AD在圆内扫过的面积＝（15π﹣9）﹣（12π﹣9）＝3π+9﹣9．


28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D是边AB的中点．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动．当点P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ＝∠A，∠DPQ＝90°，且点Q与点C在直线AB同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点Q落在边AC上时，求t的值．
（2）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积．
（3）取边AC的中点E，连接EQ．当EQ∥AB时，直接写出t的值．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝10，证明AP＝PD＝，求出PB即可解决问题．
（2）分两种情形：当0＜t＜时，DQ＝BD＝5，△PDQ≌△NDB，△MPB≌△MNQ，如图2中．当＜t＜时，由（2）可知，t＝时，△APQ≌△DPQ，如图1中，分别求解即可．
（3）分两种情形：如图3中，当点Q落在BC的中点处时，QE∥AB．如图4中，取BC的中点M，过点M作MN⊥AB于N，当PQ＝MN时，EQ∥AB．分别求出BP即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10．
如图1中，当点Q落在AC上时，

∵∠A＝∠QDP，
∴QA＝QD，
∵QP⊥AD，
∴PA＝PD，
∵BD＝AD＝5，
∴PD＝，
∴BP＝BD+DP＝5+，
∴t＝÷4＝．

（2）当0＜t＜时，DQ＝BD＝5，
存在△PDQ≌△NDB，△MPB≌△MNQ两种情况，如图2中，

∴（5﹣4t）＝5，
解得t＝，
此时重叠部分的面积＝×3×4﹣×1×＝．
当＜t＜时，由（2）可知，t＝时，△APQ≌△DPQ，如图1中，
此时重叠部分的面积＝．
综上所述，满足条件的重叠部分的面积为或．

（3）如图3中，当点Q落在BC的中点处时，QE∥AB．

∵BQ＝3，
∴PB＝BQ•cosB＝3×＝，
∴t＝÷4＝．
如图4中，取BC的中点M，过点M作MN⊥AB于N，当PQ＝MN时，EQ∥AB．

∵MN＝PQ＝BM•sinB＝3×＝，
∴PD＝＝，
∴PB＝，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．