2021年江苏省无锡市梁溪区中考数学模拟试卷（word版 含答案）

这是一份2021年江苏省无锡市梁溪区中考数学模拟试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省无锡市梁溪区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
3．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a+a＝a2 C．（a3）3＝a6 D．2a•a＝2a2
4．（3分）若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1
5．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，9，10，9，这组数据的众数是（　　）
A．9 B．8.5 C．8 D．7
6．（3分）如图所示几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．梯形
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（　　）

A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为10，则点B坐标是（　　）

A．（5，2） B．（5，2） C．（2，） D．（2，）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．（2分）分解因式：x2﹣5x＝　 　．
12．（2分）今年鼋头渚风景区每天最大承载量核定为96000人，用科学记数法表示这个数据是　 　．
13．（2分）已知二次根式3，请写出一个它的同类二次根式：　 　．
14．（2分）方程＝的解为　 　．
15．（2分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是　 　．
16．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为　 　cm2．
17．（2分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC中点，F为AB边上一动点，连EF，点B关于EF的对称点记做B′，则DB′的最小值是　 　．
18．（2分）已知A（a，2）、B（4，b）都在一次函数y＝x+3的图象上，把函数图象平移一段距离后，若线段AB扫过的面积为12，则此时新图象对应的函数表达式是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（）﹣1+|﹣2|；
（2）（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线．求证：AM＝DN．

22．（8分）有1、2、3、4、5这五个数字，从中随机抽取两个数字．求所抽取的两个数字之和大于余下三个数字之和的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．
视力
频数/人
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝　 　，b＝　 　．
（2）请在答题卡上把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校学生视力达到4.9及以上的学生共约有多少人？

24．（8分）小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法识别，如下表所示．
请解答下列问题：
名称
单价（元）
数量
金额（元）
墨水
15
■（瓶）
■
毛笔
40
■（支）
■
字帖
■
2（本）
90
合计
5（件）
185
（1）小明购买墨水和毛笔各多少？
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为上一点，PC、PD分别与直线AB交于M、N，延长DC至点E，使得∠CPE＝∠PDC．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若OM•ON＝6，求AB的长．

26．（8分）如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标为A（﹣1，﹣1），B（3，﹣1），C（1，2），D（﹣1，1）．请用不含刻度的直尺和圆规作图并解答问题：
（1）请在图中作出这个平面直角坐标系；
（2）过点A作一条直线把四边形ABCD的面积二等分，并直接写出该直线对应的函数表达式．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与坐标轴分别交于A、B、C，其中A（﹣1，0），图象的对称轴直线l1交BC于E，且CE：EB＝1：2，平行于x轴的直线l2交y轴于F（0，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）P为函数图象上一点，P到直线l2的距离为d，试说明在l1上存在一定点Q，无论P在何处，始终有d﹣PQ＝．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，A（﹣3，0），B（2，0），D在y轴上．直线l从BC出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD向左平移，分别与CD、BD交于E、F．设△DEF的面积为S，直线l平移时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数表达式；
（3）过点B作BG⊥l，垂足为G，连接AF、AG，设△AFG的面积为S1，△BFG的面积为S2，当S1+S2＝S时，若点P（1﹣a，a+3）在△DEF内部（不包括边），求a的取值范围．


2021年江苏省无锡市梁溪区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．
故选：B．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件，进行选择即可．
【解答】解：x﹣2≥0，
x≥2，
故选：B．
3．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a+a＝a2 C．（a3）3＝a6 D．2a•a＝2a2
【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方进行计算，判断即可．
【解答】解：A、a•a2＝a1+2＝a3，本选项计算错误；
B、a+a＝2a，本选项计算错误；
C、（a3）3＝a3×3＝a9，本选项计算错误；
D、2a•a＝2a2，本选项计算正确；
故选：D．
4．（3分）若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【解答】解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
故选：D．
5．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，9，10，9，这组数据的众数是（　　）
A．9 B．8.5 C．8 D．7
【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数，本题得以解决．
【解答】解：数据7，8，9，8，6，9，10，9按照从小到大排列是：6，7，8，8，9，9，9，10，
故这组数据的众数是9，
故选：A．
6．（3分）如图所示几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一行三个矩形．
故选：D．
7．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．梯形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
故选：C．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（　　）

A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【分析】利用轴对称将DE、EF、DF转化为线度PQ，要求PQ最小，只要AE最小即可解答．
【解答】解：作E关于AB的对称点P，E关于AC的对称点Q，连接AP，AQ，
由对称性可知DE＝PD，EF＝QF，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝PD+DF+FQ，
∴C△DEF要想最小，只要PQ最小即可，
在△APQ中，AP＝AQ，∠PAQ＝2∠BAC，
∴只要AP最小，
∵AP＝AE，
而E与C重合时，AE最小为3，
作AH⊥PQ于H，
在Rt△APH中，
∵∠PAH＝∠BAC，
∴sin∠PAH＝sin∠BAC，
∴，
∴PH＝，
∴PQ＝2PH＝，

故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为10，则点B坐标是（　　）

A．（5，2） B．（5，2） C．（2，） D．（2，）
【分析】设点B坐标为（a，b）则点E坐标为（，），可用含a，b的式子表示k，点F纵坐标与点B纵坐标相同，则可以用含a，b式子表示出点F坐标，由翻折可得FO＝BF，联立两点距离公式可求a，b的值．
【解答】解：设点B坐标为（a，b），则ab＝10①，
∵点E为OB中点，
∴点E坐标为（，），
∴k＝•＝＝＝，y＝，
yB＝yF＝b，
将y＝b代入y＝得x＝，
∴点F坐标为（，b），
由翻折可得FB＝FO，
∴a﹣＝②，
联立方程①②解得b＝或b＝﹣（舍），
∴a＝＝2．
∴点B坐标为（2，）．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．（2分）分解因式：x2﹣5x＝　x（x﹣5）　．
【分析】直接提取公因式x分解因式即可．
【解答】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
12．（2分）今年鼋头渚风景区每天最大承载量核定为96000人，用科学记数法表示这个数据是　9.6×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96000＝9.6×104．
故答案为：9.6×104．
13．（2分）已知二次根式3，请写出一个它的同类二次根式：　2（答案不唯一）　．
【分析】利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：二次根式3，写出一个它的同类二次根式：2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
14．（2分）方程＝的解为　x＝6　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6＝x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故答案为：x＝6
15．（2分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是　9　．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9．
16．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为　6π　cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．
17．（2分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC中点，F为AB边上一动点，连EF，点B关于EF的对称点记做B′，则DB′的最小值是　2　．
【分析】连接DE，DB′．利用勾股定理求出DE，根据DB′≥DE﹣EB′，可得DB′≥2﹣2，由此可得结论．
【解答】解：如图所示，连接DE，DB′．

∵点B关于直线EF对称点为B′，
∴B′E＝BE，
∴在△DB′E中，DB′+B′E＞DE，
当D、B′、D在三点共线时DB′取得最小值，
在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝BC＝3，
∴DE＝＝＝5，
∴DB′＝DE﹣B′E＝DE﹣BE＝5﹣3＝2．
18．（2分）已知A（a，2）、B（4，b）都在一次函数y＝x+3的图象上，把函数图象平移一段距离后，若线段AB扫过的面积为12，则此时新图象对应的函数表达式是　y＝x+1或y＝x+5　．
【分析】求得A、B的坐标，设平移的距离为h，线段AB扫过的面积为（xB﹣xA）•h＝12或（yB﹣yA）•h＝12，求得h的值即可求解．
【解答】解：∵A（a，2）、B（4，b）都在一次函数y＝x+3的图象上，
∴2＝+3，b＝+3，
∴a＝﹣2，b＝5，
∴A（﹣2，2），B（4，5），
设平移的距离为h，
∵线段AB扫过的面积为12，
当沿y轴平移时，（xB﹣xA）•h＝12，即（4+2）•h＝12，解得h＝2；
∴此时，新图象对应的函数表达式是y＝x+1或y＝x+5；
当沿x轴平移时，（yB﹣yA）•h＝12，即（5﹣2）•h＝12，解得h＝4；
∴此时，新图象对应的函数表达式是y＝（x±4）+3，即y＝x+1或y＝x+5；
故答案为y＝x+1或y＝x+5．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（）﹣1+|﹣2|；
（2）（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）．
【分析】（1）分别根据二次根式的性质，负整数指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
（2）分别根据完全平方公式以及平方差公式化简即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3+2
＝2；
（2）原式＝a2+2a+1﹣a2+9
＝2a+10．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利配方法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；

（2），
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜3，
则不等式组的解集为1＜x＜3．
21．（8分）如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线．求证：AM＝DN．

【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠E＝∠B，利用AAS证明△ABM与△DEN全等，进而证明即可．
【解答】证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠B＝∠E，
∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线，
∴BM＝BC，EN＝EF．
∴BM＝EN．
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（SAS），
∴AM＝DN．
22．（8分）有1、2、3、4、5这五个数字，从中随机抽取两个数字．求所抽取的两个数字之和大于余下三个数字之和的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】列表得出所有等可能结果，由这5个数的和为15，结合题意得出所抽取的两个数字之和必须为8或9，据此得出所抽取的两个数字之和大于余下三个数字之和的结果有4种，根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下，

1
2
3
4
5
1

3
4
5
6
2
3

5
6
7
3
4
5

7
8
4
5
6
7

9
5
6
7
8
9

由表可知，共有20种结果，
∵这5个数的和为15，
∴由题意知，所抽取的两个数字之和必须为8或9，
∴所抽取的两个数字之和大于余下三个数字之和的结果有4种，
∴所抽取的两个数字之和大于余下三个数字之和的概率为＝．
23．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．
视力
频数/人
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝　60　，b＝　0.21　．
（2）请在答题卡上把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校学生视力达到4.9及以上的学生共约有多少人？

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次抽查的人数，然后即可计算出a和b的值；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生视力达到4.9及以上的学生共约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：22÷0.11＝200（人），
a＝200×0.3＝60，b＝42÷200＝0.21，
故答案为：60，0.21；
（2）由（1）知，a＝60，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）2400×（0.3+0.05）
＝2400×0.35
＝840（人），
答：该校学生视力达到4.9及以上的学生共约有840人．

24．（8分）小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法识别，如下表所示．
请解答下列问题：
名称
单价（元）
数量
金额（元）
墨水
15
■（瓶）
■
毛笔
40
■（支）
■
字帖
■
2（本）
90
合计
5（件）
185
（1）小明购买墨水和毛笔各多少？
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
【分析】（1）设小明购买墨水x瓶，毛笔y支，根据总价＝单价×数量，结合表格内的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用单价＝总价÷数量可求出字帖的单价，设再次购买墨水m瓶，字帖n本，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设小明购买墨水x瓶，毛笔y支，
依题意得：，
解得：．
答：小明购买墨水1瓶，毛笔2支．
（2）字帖的单价为90÷2＝45（元）．
设再次购买墨水m瓶，字帖n本，
依题意得：15m+45n＝150，
∴m＝10﹣3n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买1瓶墨水，3本字帖；
方案2：购买4瓶墨水，2本字帖；
方案3：购买7瓶墨水，1本字帖．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为上一点，PC、PD分别与直线AB交于M、N，延长DC至点E，使得∠CPE＝∠PDC．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若OM•ON＝6，求AB的长．

【分析】（1）作直径PQ，连接CQ，由圆周角定理及直角三角形的性质得出∠CPQ+∠CPE＝90°，则可得出结论；
（2）证明△OPN∽△OMP，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：作直径PQ，连接CQ，

∴∠PCQ＝90°，
∴∠CPQ+∠Q＝90°，
∵＝，
∴∠Q＝∠D，
∵∠CPE＝∠D，
∴∠CPE＝∠Q，
∴∠CPQ+∠CPE＝90°，
∴PQ⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠D+∠DNB＝90°，
∵∠DNB＝∠ONP，
∴∠D+∠ONP＝90°，
∵∠OPC+∠Q＝90°，∠Q＝∠D，
∴∠OPC＝∠ONP，
又∵∠PON＝∠PON，
∴△OPN∽△OMP，
∴，
∴OP2＝OM•ON＝6，
∴OP＝，
∴AB＝2．
26．（8分）如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标为A（﹣1，﹣1），B（3，﹣1），C（1，2），D（﹣1，1）．请用不含刻度的直尺和圆规作图并解答问题：
（1）请在图中作出这个平面直角坐标系；
（2）过点A作一条直线把四边形ABCD的面积二等分，并直接写出该直线对应的函数表达式．

【分析】（1）先作AD的垂直平分线得到x轴，垂足为M，再截取MO＝MD，过O点作x轴的垂线得到y轴；
（2）利用面积的计算得到D点和E点到AB的距离相等，则DE∥AB，则过D点作y轴的垂线交BC于E，所以直线AE满足条件，然后利用得到待定系数法求直线的解析式．
【解答】解：（1）如图，

（2）四边形ABCD的面积＝×（2+3）×2+×3×2＝8，
设该直线与BC的交点为E，则S△ABC＝4，
而AB＝4，
∴E点到AB的距离为2，
∴DE平行AB，
即E点为BC与过D的水平格线的交点，
则直线AE为所作；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，﹣1），C（1，2）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
当y＝1时，﹣x+＝1，解得x＝，
∴E（，1）
设直线AE的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，﹣1），E（，1）代入得，解得，
∴所求直线解析式为y＝x﹣．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与坐标轴分别交于A、B、C，其中A（﹣1，0），图象的对称轴直线l1交BC于E，且CE：EB＝1：2，平行于x轴的直线l2交y轴于F（0，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）P为函数图象上一点，P到直线l2的距离为d，试说明在l1上存在一定点Q，无论P在何处，始终有d﹣PQ＝．

【分析】（1）由l1∥y轴，故OG：GB＝1：2，设OG＝m，则BG＝2m，而AG＝BG，则1+m＝2m，解得m＝1，故点G的坐标为（1，0）、点B（3，0），进而求解；
（2）设点P的坐标为（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，即4﹣n＝（m﹣1）2，设点Q的坐标为（1，q），则d＝5﹣n，则PQ＝＝，得到（n﹣q）2＝（﹣n）2＝（4﹣n）＝（﹣n）2，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线对称轴交x轴于点G，

∵l1∥y轴，故OG：GB＝1：2，
设OG＝m，则BG＝2m，
∵AG＝BG，则1+m＝2m，解得m＝1，
故点G的坐标为（1，0）、点B（3，0），
则由点A、B的坐标设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设点P的坐标为（m，n），
则n＝﹣m2+2m+3，即4﹣n＝（m﹣1）2，
设点Q的坐标为（1，q），则d＝5﹣n，
由则PQ＝＝，
∵d﹣PQ＝，
则PQ＝d﹣＝﹣n，
∴（4﹣n）+（n﹣q）2＝（﹣n），
∴（n﹣q）2＝（﹣n）2＝（4﹣n）＝（﹣n）2，
∴q＝，
故点Q的坐标为（1，）．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，A（﹣3，0），B（2，0），D在y轴上．直线l从BC出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD向左平移，分别与CD、BD交于E、F．设△DEF的面积为S，直线l平移时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数表达式；
（3）过点B作BG⊥l，垂足为G，连接AF、AG，设△AFG的面积为S1，△BFG的面积为S2，当S1+S2＝S时，若点P（1﹣a，a+3）在△DEF内部（不包括边），求a的取值范围．

【分析】（1）AB＝2﹣（﹣3）＝5＝AD＝CD，则OD＝＝4，即可求解；
（2）由△DEF∽△DCB，则S：S△DBC＝（DE：CD）2＝（5﹣t）2：52，即可求解；
（3）S1+S2＝GF×h＝t××4＝t＝S，求得t＝2.5，得到直线l的表达式为y＝x+①，由点P的坐标知，点P在直线y＝﹣x+4②上，联立①②求出交点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）∵AB＝2﹣（﹣3）＝5＝AD＝CD，
则OD＝＝4，
故点C的坐标为（5，4）；

（2）S△DBC＝CD×OD＝5×4＝10，
∵l∥BC，
∴△DEF∽△DCB，
则S：S△DBC＝（DE：CD）2＝（5﹣t）2：52，
∴S＝10×＝t2﹣4t+10；

（3）设直线l与x轴交于点K，则BK＝CE＝t，

∵l∥AD，故∠GKB＝∠ADO，
则tan∠GKB＝tan∠ADO＝，则sin∠GKB＝，则sin∠GBK＝，
则KG＝BKsin∠GBK＝t，
则GF＝5﹣（5﹣t）﹣t＝t，则EF＝DE＝5﹣t，
设点B到AD的距离为h，
则S△ABD＝×AB×OD＝AD×h，则h＝OD＝4，
∴S1+S2＝GF×h＝t××4＝t＝S，
而S＝10×＝t2﹣4t+10；
故点E（2.5，4）；
由点A、D的坐标得，直线AD表达式为y＝x+4，
故设直线l的表达式为y＝x+t，
将点E的坐标代入上式得：4＝×+t，解得t＝，
故直线l的表达式为y＝x+①，
令y＝x+＝0，解得x＝﹣，
故点K的坐标为（﹣，0），
由点P的坐标知，点P在直线y＝﹣x+4②上，
联立①②并解得，
两个函数的交点坐标为（，），
则0＜xP＜，
则0＜1﹣a＜，
解得﹣＜a＜1．