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2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）
一、单选题（本题共8小题，每小题各3分，共24分）
1．﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．﹣
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
4．下列调查中适合采用普查方式的是（ ）
A．了解一大批炮弹的杀伤半径
B．调查全国初中学生的上网情况
C．旅客登机前的安检
D．了解济南市中小学生环保意识
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．下面是两位同学的对话，根据对话内容，可求出这位同学的年龄是（ ）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
7．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
二、填空题（本题共6小题，每小题各3分，共18分）
9．分解因式：x2﹣25＝ ．
10．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 ．
11．如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 ．
12．有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为2，3，4，随意从每组牌中抽取一张，数字和是6的概率是 ．
13．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是 ．
14．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32016的末位数字是 ．
三、解答题（本题共9小题，满分0分）
15．计算：|﹣3|﹣﹣（）0+32．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
18．哈十七中学为了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若九年级共有500名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
19．为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包．已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的．
（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
（2）甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
20．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a＞b时，max{a，b}＝a；当a≤b时，min{a，b}＝b，如：max{4，﹣2}＝4，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，﹣3}＝ ；
（2）当时，求x的取值范围．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题各3分，共24分）
1．﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．﹣
【分析】先求出这个数的倒数，再求绝对值．
【解答】解：﹣的倒数为﹣2021，
﹣2021的绝对值为2021，
故选：C．
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；
B、（a2）3＝a6，故原式错误；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；
D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，
故选：D．
4．下列调查中适合采用普查方式的是（ ）
A．了解一大批炮弹的杀伤半径
B．调查全国初中学生的上网情况
C．旅客登机前的安检
D．了解济南市中小学生环保意识
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解一大批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、调查全国初中学生的上网情况，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
C、旅客登机前的安检，应采用普查，故此选项符合题意；
D、了解济南市中小学生环保意识，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：C．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可．
【解答】解：∵对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°，
∴∠COB＝2∠CAB＝50°，
故选：C．
6．下面是两位同学的对话，根据对话内容，可求出这位同学的年龄是（ ）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
【分析】设这位同学的年龄是x岁，根据26＝2×（该同学的年龄﹣4）+8，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这位同学的年龄是x岁，
依题意，得：2（x﹣4）+8＝26，
解得：x＝13．
故选：C．
7．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
【分析】因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
由三角形三边关系知，此等腰三角形的三边长度分别为3、7、7，
所以△ABC的周长为3+7+7＝17，
故选：A．
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△COF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题各3分，共18分）
9．分解因式：x2﹣25＝ （x+5）（x﹣5） ．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
10．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 3.8×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：380000用科学记数法表示为：3.8×105．
故答案为：3.8×105．
11．如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 互余 ．
【分析】由∥b，c∥d，根据平行线的性质，可证得∠2＝∠3＝∠4，又由b⊥e，即可得∠1与∠2的关系是互余．
【解答】解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵b⊥e，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
即∠1与∠2的关系是互余．
故答案为：互余．
12．有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为2，3，4，随意从每组牌中抽取一张，数字和是6的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：每组各有3张牌，那么共有3×3＝9种情况，
数字之和等于6的有（2，4）（3，3），（4，2）3种情况，
那么数字和是6的概率是．
13．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是 ．
【分析】首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG，即可求得阴影图形的面积．
【解答】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°，
∴S△BEC＝×2×＝，S正方形＝AB2＝4，
设GN＝x，
∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°，
∴DN＝NG＝x，CN＝NG＝x，
∴x+x＝2，
解得：x＝﹣1，
∴S△CGD＝CD•GN＝×2×（﹣1）＝﹣1，
同理：S△ABF＝﹣1，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（﹣1）﹣﹣（﹣1）＝6﹣3．
故答案为：6﹣3．
14．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32016的末位数字是 0 ．
【分析】通过观察31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得到3+32+33+34+…+32016的末位数字是多少．
【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，
∴3＝3
3+9＝12，
12+27＝39，
39+81＝120
120+243＝363，
363+729＝1092，
1092+2187＝3279，
又∵2016÷4＝504，
∴3+32+33+34+…+32016的末位数字是0，
故答案为：0．
三、解答题（本题共9小题，满分0分）
15．计算：|﹣3|﹣﹣（）0+32．
【分析】根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3﹣3﹣1+9
＝8．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）解：∵△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD＝1，
∵AB＝BC＝2CD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∴CE＝CD，
∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x＝代入求解即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
18．哈十七中学为了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若九年级共有500名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比可以求得本次抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果可以求得C等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
即本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）C等级的人数为：50﹣10﹣20﹣4＝16，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）500×＝40（名），
答：九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有40名．
19．为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包．已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的．
（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
（2）甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，根据“甲工程队工作4天，乙工程队工作（14+4）天，可完成总工程的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可得出乙工程队单独完成这项工程所需时间，设甲工程队工作m天，则乙工程队工作（60﹣3m）天，根据总工程费用＝每天支付给甲工程队的工程费×甲工程队工作的时间+每天支付给乙工程队的工程费×乙工程队工作的时间，结合总工程费用不超过190万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意得：+＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天．
（2）由（1）可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为20×3＝60（天）．
设甲工程队工作m天，则乙工程队工作＝（60﹣3m）天，
依题意得：10m+3（60﹣3m）≤190，
解得：m≤10．
答：甲工程队最多工作10天．
20．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a＞b时，max{a，b}＝a；当a≤b时，min{a，b}＝b，如：max{4，﹣2}＝4，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，﹣3}＝ ﹣1 ；
（2）当时，求x的取值范围．
【分析】（1）原式利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义化简得到不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：max{﹣1，﹣3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）∵max{，}＝，
∴≤，
去分母得：3（x﹣3）≤2（2x+1），
去括号得：3x﹣9≤4x+2，
解得：x≥﹣11．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG＝FP＝BH，DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出FP＝DG＝CD＝8，
CG＝DG＝8，求出DF＝GP＝+10，证出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出AF＝DF＝+10，得出FH＝AF＝+5，AH＝FH＝16+5，即可得出答案．
【解答】解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：
则DG＝FP＝BH，DF＝GP，
∵坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，
∴∠DCG＝30°，
∴FP＝DG＝CD＝8，
∴CG＝DG＝8，
∵∠FEP＝60°，
∴FP＝EP＝8，
∴EP＝，
∴DF＝GP＝8+10+＝+10，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠ADH＝30°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠DAF＝30°＝∠ADF，
∴AF＝DF＝+10，
∴FH＝AF＝+5，
∴AH＝FH＝16+5，
∴AB＝AH+BH＝16+5+8＝24+5≈24+5×1.73≈32.7（米），
答：楼房AB高度约为32.7米．
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
【分析】（1）首先连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD＝90°，然后由圆周角定理，证得∠B＝∠D，由已知∠PAC＝∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．
（2）首先连接BG，易证得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）首先连接BD，由AG2＝AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．
【解答】（1）PA与⊙O相切．
理由：
连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D，
∴∠PAC+∠CAD＝90°，
即DA⊥PA，
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴
∴∠AGF＝∠ABG，
∵∠GAF＝∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB＝AF：AG，
∴AG2＝AF•AB；
（3）解：如图3，连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AG2＝AF•AB，AG＝AC＝2，AB＝4，
∴AF＝＝，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
即，
解得：AE＝2，
∴EF＝＝1，
∵EG＝＝4，
∴FG＝EG﹣EF＝4﹣1＝3，
∴S△AFG＝FG•AE＝×3×2＝3．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）
一、单选题（本题共8小题，每小题各3分，共24分）
1．﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．﹣
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
4．下列调查中适合采用普查方式的是（ ）
A．了解一大批炮弹的杀伤半径
B．调查全国初中学生的上网情况
C．旅客登机前的安检
D．了解济南市中小学生环保意识
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．下面是两位同学的对话，根据对话内容，可求出这位同学的年龄是（ ）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
7．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
二、填空题（本题共6小题，每小题各3分，共18分）
9．分解因式：x2﹣25＝ ．
10．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 ．
11．如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 ．
12．有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为2，3，4，随意从每组牌中抽取一张，数字和是6的概率是 ．
13．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是 ．
14．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32016的末位数字是 ．
三、解答题（本题共9小题，满分0分）
15．计算：|﹣3|﹣﹣（）0+32．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
18．哈十七中学为了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若九年级共有500名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
19．为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包．已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的．
（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
（2）甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
20．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a＞b时，max{a，b}＝a；当a≤b时，min{a，b}＝b，如：max{4，﹣2}＝4，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，﹣3}＝ ；
（2）当时，求x的取值范围．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省张家界市中考数学仿真试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题各3分，共24分）
1．﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．﹣
【分析】先求出这个数的倒数，再求绝对值．
【解答】解：﹣的倒数为﹣2021，
﹣2021的绝对值为2021，
故选：C．
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；
B、（a2）3＝a6，故原式错误；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；
D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，
故选：D．
4．下列调查中适合采用普查方式的是（ ）
A．了解一大批炮弹的杀伤半径
B．调查全国初中学生的上网情况
C．旅客登机前的安检
D．了解济南市中小学生环保意识
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解一大批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、调查全国初中学生的上网情况，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
C、旅客登机前的安检，应采用普查，故此选项符合题意；
D、了解济南市中小学生环保意识，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：C．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可．
【解答】解：∵对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°，
∴∠COB＝2∠CAB＝50°，
故选：C．
6．下面是两位同学的对话，根据对话内容，可求出这位同学的年龄是（ ）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
【分析】设这位同学的年龄是x岁，根据26＝2×（该同学的年龄﹣4）+8，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这位同学的年龄是x岁，
依题意，得：2（x﹣4）+8＝26，
解得：x＝13．
故选：C．
7．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
【分析】因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
由三角形三边关系知，此等腰三角形的三边长度分别为3、7、7，
所以△ABC的周长为3+7+7＝17，
故选：A．
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△COF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题各3分，共18分）
9．分解因式：x2﹣25＝ （x+5）（x﹣5） ．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
10．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380000用科学记数法表示为 3.8×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：380000用科学记数法表示为：3.8×105．
故答案为：3.8×105．
11．如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 互余 ．
【分析】由∥b，c∥d，根据平行线的性质，可证得∠2＝∠3＝∠4，又由b⊥e，即可得∠1与∠2的关系是互余．
【解答】解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵b⊥e，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
即∠1与∠2的关系是互余．
故答案为：互余．
12．有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为2，3，4，随意从每组牌中抽取一张，数字和是6的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：每组各有3张牌，那么共有3×3＝9种情况，
数字之和等于6的有（2，4）（3，3），（4，2）3种情况，
那么数字和是6的概率是．
13．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是 ．
【分析】首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG，即可求得阴影图形的面积．
【解答】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°，
∴S△BEC＝×2×＝，S正方形＝AB2＝4，
设GN＝x，
∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°，
∴DN＝NG＝x，CN＝NG＝x，
∴x+x＝2，
解得：x＝﹣1，
∴S△CGD＝CD•GN＝×2×（﹣1）＝﹣1，
同理：S△ABF＝﹣1，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（﹣1）﹣﹣（﹣1）＝6﹣3．
故答案为：6﹣3．
14．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32016的末位数字是 0 ．
【分析】通过观察31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得到3+32+33+34+…+32016的末位数字是多少．
【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，
∴3＝3
3+9＝12，
12+27＝39，
39+81＝120
120+243＝363，
363+729＝1092，
1092+2187＝3279，
又∵2016÷4＝504，
∴3+32+33+34+…+32016的末位数字是0，
故答案为：0．
三、解答题（本题共9小题，满分0分）
15．计算：|﹣3|﹣﹣（）0+32．
【分析】根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3﹣3﹣1+9
＝8．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）解：∵△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD＝1，
∵AB＝BC＝2CD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∴CE＝CD，
∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x＝代入求解即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
18．哈十七中学为了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若九年级共有500名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比可以求得本次抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果可以求得C等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
即本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）C等级的人数为：50﹣10﹣20﹣4＝16，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）500×＝40（名），
答：九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有40名．
19．为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包．已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的．
（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
（2）甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，根据“甲工程队工作4天，乙工程队工作（14+4）天，可完成总工程的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可得出乙工程队单独完成这项工程所需时间，设甲工程队工作m天，则乙工程队工作（60﹣3m）天，根据总工程费用＝每天支付给甲工程队的工程费×甲工程队工作的时间+每天支付给乙工程队的工程费×乙工程队工作的时间，结合总工程费用不超过190万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意得：+＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天．
（2）由（1）可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为20×3＝60（天）．
设甲工程队工作m天，则乙工程队工作＝（60﹣3m）天，
依题意得：10m+3（60﹣3m）≤190，
解得：m≤10．
答：甲工程队最多工作10天．
20．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a＞b时，max{a，b}＝a；当a≤b时，min{a，b}＝b，如：max{4，﹣2}＝4，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，﹣3}＝ ﹣1 ；
（2）当时，求x的取值范围．
【分析】（1）原式利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义化简得到不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：max{﹣1，﹣3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）∵max{，}＝，
∴≤，
去分母得：3（x﹣3）≤2（2x+1），
去括号得：3x﹣9≤4x+2，
解得：x≥﹣11．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG＝FP＝BH，DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出FP＝DG＝CD＝8，
CG＝DG＝8，求出DF＝GP＝+10，证出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出AF＝DF＝+10，得出FH＝AF＝+5，AH＝FH＝16+5，即可得出答案．
【解答】解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：
则DG＝FP＝BH，DF＝GP，
∵坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，
∴∠DCG＝30°，
∴FP＝DG＝CD＝8，
∴CG＝DG＝8，
∵∠FEP＝60°，
∴FP＝EP＝8，
∴EP＝，
∴DF＝GP＝8+10+＝+10，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠ADH＝30°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠DAF＝30°＝∠ADF，
∴AF＝DF＝+10，
∴FH＝AF＝+5，
∴AH＝FH＝16+5，
∴AB＝AH+BH＝16+5+8＝24+5≈24+5×1.73≈32.7（米），
答：楼房AB高度约为32.7米．
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
【分析】（1）首先连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD＝90°，然后由圆周角定理，证得∠B＝∠D，由已知∠PAC＝∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．
（2）首先连接BG，易证得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）首先连接BD，由AG2＝AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．
【解答】（1）PA与⊙O相切．
理由：
连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D，
∴∠PAC+∠CAD＝90°，
即DA⊥PA，
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴
∴∠AGF＝∠ABG，
∵∠GAF＝∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB＝AF：AG，
∴AG2＝AF•AB；
（3）解：如图3，连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AG2＝AF•AB，AG＝AC＝2，AB＝4，
∴AF＝＝，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
即，
解得：AE＝2，
∴EF＝＝1，
∵EG＝＝4，
∴FG＝EG﹣EF＝4﹣1＝3，
∴S△AFG＝FG•AE＝×3×2＝3．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
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